高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行教案设计

第八章 立体几何初步

8.5.1直线与直线平行

一、教学目标

1. 掌握基本事实4和等角定理；

2.能运用基本事实4与等角定理解决一些简单的相关问题.

3.通过对直线与直线平行的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养.

二、教学重难点

基本事实4与等角定理的运用．

三、教学过程：

（1）创设情景

阅读课本，然后请大家动手将一张长方形的纸如图对折几次后打开.

（2）新知探究

问题1:，观察这些折痕有怎样的位置关系？并推测平面几何中“平行线的传递性”在空间是否成立？

学生回答，教师点拨,揭示出基本事实4

问题2:在平面中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等吗？在空间呢？

学生回答，教师点拨,揭示出等角定理,从而提出本节课所学内容

（3）新知建构

基本事实4:平行于同一条直线的两条直线互相平行．

用符号可表示为：．（试从棱柱或圆柱中找到模型）

思考：经过直线外一点有几条直线和这条直线平行？

生答:有且只有1条

等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，

那么这两个角相等．

（4）数学运用

例1.如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,若M,N分别是A′D′,C′D′的中点,求证:四边形ACNM是梯形.

【答案】证明见解析.

【解析】如图所示,连接A′C′,

因为M,N分别是A′D′,C′D′的中点,

所以MN∥A′C′,且MN=A′C′.

由正方体的性质可知

A′C′∥AC,且A′C′=AC.

所以MN∥AC,且MN=AC, 所以四边形ACNM是梯形.

变式训练1:已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，若＝＝，＝＝，则四边形EFGH形状为____.

【答案】梯形

【解析】如右图在△ABD中，∵＝＝，

∴EH∥BD且EH＝BD.

在△BCD中，∵＝＝，

∴FG∥BD且FG＝BD，∴EH∥FG且EH>FG，

∴四边形EFGH为梯形.   故答案为：梯形

例2.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点.

求证：∠NMP＝∠BA1D.

【答案】答案见解析

【解析】如图，连接CB1、CD1，∵CDA1B1，

∴四边形A1B1CD是平行四边形，

∴A1D∥B1C.

∵M、N分别是CC1、B1C1的中点，∴MN∥B1C，

∴MN∥A1D.

∵BCA1D1，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1．

∵M、P分别是CC1、C1D1的中点，∴MP∥CD1，

∴MP∥A1B，

∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反，

∴∠NMP＝∠BA1D.

变式训练:下列命题中,正确的结论有(　 　)

①若果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,则这两个角相等;

②若两条相交直线和另两条相交直线分别平行,则这两组直线所成的锐角(或直角)相等;

③若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行.

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

【答案】B

【解析】　①中,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故①错误;②中,如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等,故②正确;③中,两条直线和第三条直线所成的角相等,这两条直线不一定平行,故③错.   故选:B.

例3:如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．

（1）求证：四边形BB1M1M为平行四边形；

（2）求证：∠BMC＝∠B1M1C1.

【答案】答案见解析

【解析】　(1)∵ABCD­A1B1C1D1为正方体．

∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，

又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，

∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，

∴四边形AMM1A1为平行四边形，

∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.

又AA1＝BB1且AA1∥BB1，

∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，

∴四边形BB1M1M为平行四边形．

(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，

∴B1M1∥BM.

同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，

∴C1M1∥CM.∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，

∴∠BMC＝∠B1M1C1.

法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，

∴B1M1＝BM.

同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，

∴C1M1＝CM.

又∵B1C1＝BC，

∴△BCM≌△B1C1M1，

∴∠BMC＝∠B1M1C1.

变式训练:(多选)如图,在四面体中,分别是的中点,则下列说法中正确的是(    )

A．四点共面 B．

C． D．四边形为梯形

【答案】ABC

【解析】由中位线定理,易知,,,.于A,由基本事实易得P,所以四点共面,故A中的说法正确；对于B,根据等角定理,得,故B中的说法正确；对于C,由等角定理,知,,所以,故C中的说法正确；由三角形的中位线定理知,,,,所以,所以四边形为平行四边形,故D中的说法不正确.   故选:ABC．

四、小结：

基本事实4:平行于同一条直线的两条直线互相平行．

用符号可表示为：．（试从棱柱或圆柱中找到模型）

等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，

那么这两个角相等．

五、作业：习题8.5.1