第六章 平面向量及其应用（客观题题型全覆盖）- 学年高一数学下学期期末备考专题全攻略（人教A版2019）学案

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第六章 平面向量及其应用客观题题型全覆盖类型对应典例与向量概念有关的问题典例一平面向量的线性运算典例二平面向量的坐标运算典例三平面向量的数列积典例四与平面向量有关的最值问题典例五典例一：向量相关的概念问题1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若，都是单位向量，则；③若，则或；则所有正确命题的号是（    ）A．③ B．① C．①③ D．①②【答案】B【详解】零向量的长度为零，方向是任意的，故①正确单位向量是指长度为1的向量，两个单位向量不一定相等，故②错误两个向量长度相等，推不出这两个向量相等或者是相反向量，故③错误故选：B2．已知非零向量与共线，下列说法不正确的是（ ）A．或 B．与平行C．与方向相同或相反 D．存在实数，使得【答案】A【详解】非零向量与共线，对于，，，故错误；对于，向量与共线，向量与平行，故正确；对于，向量与共线，与方向相同或相反，故正确；对于，与共线，存在实数，使得，故正确.故选：A.3．下列结论中，正确的是（    ）A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．若向量与都是单位向量，则C．若向量与是平行向量，则与的方向相同D．若两个向量相等，则它们的模相等【答案】D【详解】A．两个向量相等，则两个向量可以平移至起点和终点重合，但两个向量不一定起点和终点重合，故错误；B．单位向量的模长都相等，但是方向不一定相同，故错误；C．若两个向量是平行向量，则这两个向量的方向也可以相反，故错误；D．相等向量的模长相等，方向相同，故正确，故选：D.4．下列关于向量的命题正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则【答案】C【详解】选项A，向量的长度相等，方向不一定相同，从而得不出，即该选项错误；选项B，长度相等,向量可能不平行，该选项错误；选项C，显然可得出，该选项正确；选项D，得不出，比如不共线，且，该选项错误.故选：C.（多选）5．已知是三个平面向量，则下列叙述错误的是（    ）A．若，则B．若，且，则C．若，则D．若，则【答案】ABC【详解】A，若，可取，，则，故A错误；B，若，且，当， 时，则与不一定相等，故B错误；C，若，当时，与不一定平行，故C错误；D，若，则，所以，，故，故D正确.故选：ABC（多选）6.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（    ）A．若，则B．，若与平行，则C．非零向量和满足，则与的夹角为D．点，与向量同方向的单位向量为【答案】BCD【详解】对于A，若且，可满足条件，但，故A不正确；对于B，由条件，若这两向量平行，有，解得，故B正确；对于C，由条件可知，以向量和为边对应的四边形为一个角是的菱形，则与的夹角为，故C正确；对于D，可得，因此与同方向的单位向量为，故D正确.故选：BCD.典例二、平面向量的线性运算1．在平行四边形中，（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为四边形为平行四边形，所以,所以，故选：D2．已知，是两个不共线的非零向量，若，则实数（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以存在，使得，所以，又因为是两个不共线的非零向量，所以，解得故选：A3．设，是两个不共线的平面向量，若，，且与共线，则实数的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由与共线，即，所以有=，所以，消去可得，则．故选：C．4．已知平面向量，，满足，设向量，向量，则（    ）A． B．2 C． D．【答案】D【详解】，故选：D5．若点是所在平面内的一点，满足，则（    ）A． B．4 C． D．3【答案】C【详解】，，得．故选：C．6．如图，在等边中，，向量在向量上的 投影向量为（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】由题知D点是BC的四等分点，设三角形边长为a，则，，，则向量在向量上的投影向量为：，故选：D7．如图，在平行四边形中，，若，则（    ）A． B．1 C． D．【答案】D【详解】,又∵，不共线 ，根据平面向量基本定理可得,∴,故选：D.8 ．设点在内部，且有，点是边的中点，设与的面积分别为，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，所以设为的中点，由为的中点.则,所以,则三点共线，且,如图.所以,则点到的距离是点到的距离的倍.所以故选：C9．是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定经过的（    ）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】B【详解】因为分别表示向量方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线一致，又因为，所以，所以向量的方向与的角平分线一致所以点的轨迹一定经过的内心．故选：B．（多选）10．设点M是所在平面内一点则下列说法正确的是（    ）A．若点M是边的中点，则B．若，则点M在边的延长线上C．若点M是的重心，则D．若且，则的面积是的面积的【答案】ACD【详解】对于A选项：因为点M是边的中点，由向量的加减法运算得：则整理得：，故A选项正确；对于B选项：因为所以即,所以点M在边的延长线上，故B选项错误；对于C选项：点M是的重心，所以,故C选项正确；对于D选项：因为且，所以，整理得,如图取AC，AB三等分点靠近A点，则,所以，故的面积是的面积的，故D选项正确.故选：ACD.典例三：平面向量的坐标运算（多选）1．已知向量，，则下列说法正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．若与的夹角为120°，则或D．若与的夹角为锐角，则【答案】AB【详解】由，得，故A正确；由，得，故B正确；当与的夹角为120°时，，即，解得或.代入验证为增根，则舍去，故，故C错误；当与的夹角为锐角时，有，则解得且，故D错误；故选：AB.2．已知，，，，则锐角x等于（    ）A． B． C．或 D．或【答案】D【详解】.解，，，或，，或.故选：D．3．如图，半径为1的扇形的圆心角为，点C在弧上，且，若，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】如图所示，以O为原点，OB为x轴，建立直角坐标系，，，即，，，即，又，，，解得，，故选：B4．在三角形中，为线段上的动点，若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】根据题意得点为线段三等分点靠近点的点，点为线段三等分点靠近点的点，所以，，所以，所以.故选：B.5．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则的值为（    ）A．1 B． C．5 D．【答案】A【详解】解：以所在直线为轴，以为原点，如图建立坐标系，则，则，所以，，则.故选:A6．已知向量，，，则的最小值为（    ）A．B．C．D．【答案】D【详解】因为向量，，所以，因此，当且仅当时，取得最小值.故选：D.（多选）7.已知平面向量，，都是单位向量，且，则的值可能为（    ）A．0 B．1 C．-1 D．2【答案】ABD【详解】因为平面向量，，都是单位向量，且，所以不妨设，，，则，因为，所以，当时，取最大值为，当时，取最小值为，故选:ABD.（多选）8．已知等腰中，P为内部及边上的点，则的值可能是（    ）A． B． C．24 D．16【答案】ACD【详解】如图，以为轴，的中垂线为轴建立如图所示的直角坐标系，显然在轴上，由，得，设，则，，因为为内部及边上的点，所以时，取得最小值，时，取得最大值24（内部及边上到点距离最大），故选：ACD．典例四：平面向量的数量积（多选）1．已知m，n是实数，为向量，则下列运算中正确的有（    ）A． B．若，则C． D．【答案】AD【详解】A选项：，满足向量的运算法则，所以A正确；B选项：当时，，但是，不一定相等，所以B不正确；C选项：表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以两个向量不一定相等，所以C不正确；D选项：，满足向量的数量积的运算法则，所以D正确.故选：AD2．已知向量满足，且，向量与与的夹角都是，则与的夹角为（    ）A．0 B． C． D．【答案】C【详解】设与的夹角为θ，,得，解得.故选：C.3．已知，若向量，，则向量与所成的角为锐角的概率是（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】向量与所成的角为锐角等价于，且与不同向，则，则满足的向量有，，，，，，其中或时，与同向，故舍去，共有4种情况满足条件，又的取法共有种，则向量与所成的角为锐角的概率是故选：B4．已知向量，，，则向量与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意可得，所以，，因为，因此，.故选：C.5．已知满足则与夹角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意，向量满足，可得，所以，又由，所以，设向量与夹角为，则.故选：A.6．已知向量、满足，，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】，可得，因为，因此，.故选：D.7．己知非零平面向量满足，则的最小值是（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【详解】依题意，，，，当时，上述最后等式不成立，从而有，，当且仅当时取“=”，又，当且仅当与同方向时取“=”，则有，解得，当且仅当=时取“=”，所以的最小值是4.故选：A（多选）8.已知O为的外心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【详解】由题知：，，则，故A错误；同理，；，故B正确；，，C正确；，则，由外心的性质有，，，则，即 ，由正弦定理有：，D正确；故选：BCD.9．已知向量，，且对任意，恒成立，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】由得，即对任意恒成立，所以，，所以，所以A错误；由得，由，所以B错误；由，得，所以C正确；由，所以D错误.故选：C.10．如图，在中，，点P为边上的一动点，则最小值为（    ） A． B． C． D．0【答案】A【详解】由题意，设，，，所以，，又，，所以，当时，是最小值，所以的最小值是．故选：A典例五：与平面向量有关的最值问题1．已知平面向量、满足，，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由已知可得，，由三角不等式可得，即，故选：C.2．已知A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且，则的最小值为（    ）A．10 B．9 C．8 D．4【答案】C【详解】因为A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且，所以当且仅当，即时等号成立．故选：C3．已知的外心为，角的对边为，则的值是（    ）A． B． C．1 D．2【答案】D【详解】取BC中点D，连接OD，AD，如图所示：因为O为的外心，所以OD为BC的垂直平分线，所以，即，所以，又，同理，根据题意得：，所以，所以.故选：D4．如图，在等腰△中，已知分别是边的点，且，其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】在等腰△中，，则，∵分别是边的点，∴，，而，∴两边平方得：，而，∴，又，即，∴当时，最小值为，即的最小值为.故选：C5．半径为的圆上有三点､､满足，点是圆内一点，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图，与交于点，由得： 四边形是菱形，且，则，，由图知，，而，∴，同理，，而，∴，∴，∵点是圆内一点，则，∴，故选：A.6．已知、、是直线上三个相异的点，平面内的点，若正实数、满足，则的最小值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】∵，∴，由于、、是直线上三个相异的点，所以，又，，由基本不等式得，当且仅当时取等号．故选：B．7．如图，在平面四边形ABCD中，，若点E为边CD上的动点，则的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【详解】连接BD,可知为等腰三角形，而，
 所以为等边三角形，，设 =所以当时，上式取最小值 ，故选：A.8．在边长为1的菱形中，，若点，满足，，其中且，则的最大值为（    ）A． B．3 C． D．【答案】C【详解】由题意可得由可得，由可得，又，所以则，当且仅当，即时取等号，此时故选：C.（多选）9．如图，点是直线上的动点，点在直线外，点在直线上，则（    ）A．有最小值B．有最大值C．D．直线上有且只有一点(不同于点)，使得【答案】ACD【详解】，为定点，则为定值，，为定值，设为，则，这是关于的二次函数，由二次函数性质知它有最小值，无最大值，A正确B错误；，由图可知，所以，即，C正确；若，则，，，记与的夹角为，则，不重合，则，所以，，即与夹角为钝角，这样的点只有一个，D正确．故选：ACD．