第六章 平面向量及其应用之解三角形检测卷（1）- 学年高一数学下学期期末备考专题全攻略（人教A版2019）

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第六章 平面向量及其应用之解三角形检测卷（1）一、单选题1.在中，角的对边分别为，且，，，则（    ）．A． B． C． D．【答案】B【详解】在中，由余弦定理得：，即，解得：或（舍），.故选：B.2．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ）A．1 B．-1 C．-2 D．2【答案】B【详解】由题设知：，而得，∵，∴.故选：B.3．已知的内角，，的对边分别为，，，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：  因为，所以由正弦定理可得，因为为角形内角，所以，所以，即，可得，因为，所以．故选：A4．在中，角，，所对的边分别为，，，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的取值不可能为（    ）A．3 B．4 C． D．【答案】B【详解】由已知，到直线的距离为，所以当或时，即或时，满足条件的三角形有且只有一个.所以对于A，符合，故三角形有一解；对于B：当b=4时，符合，故三角形有两解；对于C：符合，故三角形有一解；对于D：符合，故三角形有一解.故选：B.5．在中，若满足，则该三角形的形状为（    ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【详解】由三角函数的诱导公式，可得，又由正弦定理得，即，可得，因为，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形.故选：D.6．为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，，则间的距离为（    ）A． B．2 C． D．4【答案】B【详解】在中，，即，，和中，，是等边三角形，，在中，，所以，．故选：B7．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”，可用公式（其中a，b，c，S为三角形的三边和面积）表示，在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若，且，则面积的最大值为（    ）A．1 B． C． D．【答案】B【详解】由题设，结合余弦定理知：，即，而，∴，，∴当时，.故选：B.8．在中，是边上的点，且，若，则的最小值（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，，所以，即，所以，所以，当且仅当，即时取等号.故选：D 二、多选题9．在中，.若，则等于（    ）A． B． C．2 D．3【答案】BD【详解】因为，所以，在中，因为，所以，即，解得或，当时，因为，所以，.当时，由正弦定理得：所以，综上：或故选：BD.10．的内角的对边分别为，下列结论一定成立的有（    ）A．B．若，则C．若，则是等腰三角形D．若，则是等腰三角形【答案】BC【详解】对于A：因为中，所以，故A错误；对于B：因为，所以，由正弦定理得，所以，即，故B正确；对于C：因为，由正弦定理边化角得，所以，因为，所以或（舍），所以是等腰三角形，故C正确；对于D：因为，且，所以或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故D错误.故选：BC11.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，内角A平分线交BC于点D，，以下结论正确的是（    ）A． B．C． D．的面积为【答案】AC【详解】在中，由，即根据余弦定理得，，即，所以.由倍角公式得，解得.在中，，故选项A正确在中，，解得.故选项B错误；，解得，故选项C正确；由，则，又，,故选项D不正确故选：AC12．在中，角所对的边分别为的面积为S，若，则（    ）A． B．的最大值为1C．的最大值为 D．【答案】ABC【详解】，即，由正弦定理可得，，，即，由正弦定理可得，故A正确；，，,则当时，取得最大值为1，故B正确；由余弦定理得，，，其中，则可得的最大值为，故C正确；由，联立可得，故D错误.故选：ABC.三、填空题13．的内角，，所对的边为，，，，则______.【答案】【详解】由正弦定理，得．，得，即，故答案为：．14．已知内角，，的对边分别为，，，那么当___________时，满足条件“，的有两个.(仅写出一个的具体数值即可)【答案】（内任一数）【详解】由正弦定理得，所以若满足条件的有两个，则且所以故答案为：（内任一数）15．在如图所示四边形中，，，，，，则四边形的面积为________.【答案】【详解】由题意，知：，且，，∴，，∴四边形的面积.故答案为：16．在钝角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则边b的取值范围为________．【答案】【详解】根据，由正弦定理可得，由，即，则 为钝角三角形，则可能是角为钝角，也可能是角为钝角.若角为钝角，则 ，又即解得 若角为钝角，则，又即，解得 故答案为：四、解答题（10分）17．已知的内角、、所对的边分别为、、，且．（1）判断的形状并证明；（2）若，的面积，求的内切圆半径．【答案】（1）是等腰三角形；证明见解析；（2）．【详解】（1）是等腰三角形．下面证明：方法一：因为，所以所以，即所以，所以．在中，，所以，故，所以是等腰三角形．方法二：因为，所以所以，所以，故是等腰三角形．（2）因为，所以，且有，所以，即，所以，故．又，所以．又，所以，所以．（12分）18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角A；（2）若，，求的面积.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由题意及余弦定理得，所以，从而，因为，所以.（2）由，得，所以由正弦定理得又因为，所以，，所以又，所以，所以.从而是等边三角形.因为，所以.（12分）19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.（1）求C；（2）若的面积为，求c的最小值.【答案】（1）；（2）c的最小值为4.【详解】解：（1），由正弦定理得.即，，又，∴，即，，又，∴，即，（2）由题知，即，由余弦定理得，∴，解得或(舍去)，当且仅当时等号成立，∴c的最小值为4.（12）20．已知中，角所对的边分别为边上的高为（1）若，求的值；（2）求的最值【答案】（1）；（2）最小值为2，最大值为【详解】（1）依题意，，而，解得，则，在ABC中，由正弦定理，得.故；（2）由（1）的可知.由余弦定理，得，则，当时，取得最大值，当且仅当等号成立，故最小值为2，最大值为.（12分）21．在中，角的对边分别是，已知，．（1）求证：；（2）若为锐角，求的取值范围．【答案】（1）证明见详解；（2）．【详解】（1）由得则，由正弦定理得；（2）若为锐角，由余弦定理得 所以由得由正弦定理得，所以，又，所以，，，故 ．（12分）22．在①，其中t为角A的平分线AD的长（AD与BC交于点D），②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答在中，内角A，B，C所对的边外别为a，b，c，________.（1）求角A的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）若选①：因为AD为角A的平分线，所以，设，因为，所以，所以，所以，即，又，所以，解得，因为，所以，所以.若选②：因为，由正弦定理角化边得，即，由余弦定理得：，因为，所以.若选③：因为，正弦定理边化角可得，又，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以.（2）由（1）得，利用正弦定理边化角得：=因为，所以，所以，所以