山东省济南市2022届高三下学期3月一模考试数学试题 含答案

这是一份山东省济南市2022届高三下学期3月一模考试数学试题 含答案，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的模为（ ）
A．B．C．D．2
3．某学校于3月12日组织师生举行植树活动，购买垂柳、银杏、侧柏、海桐四种树苗共计1200棵，比例如图所示．高一、高二、高三报名参加植树活动的人数分别为600，400，200，若每种树苗均按各年级报名人数的比例进行分配，则高三年级应分得侧柏的数量为（ ）
A．34B．46C．50D．70
4．已知，则的值为（ ）
A．B． C．D．
5．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．C．D．
6．我们通常所说的ABO血型系统是由A，B，O三个等位基因决定的，每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成，且两个等位基因分别来自于父亲和母亲，其中AA，AO为A型血，BB，BO为B型血，AB为AB型血，OO为O型血．比如：父亲和母亲的基因型分别为AO，AB，则孩子的基因型等可能的出现AA，AB，AO，BO四种结果，已知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为AB型，不考虑基因突变，则小明是A型血的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．“”的一个充分条件是（ ）
A．B．C．D．
8．已知直线与直线相交于点P，点，O为坐标原点，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式共6项B．常数项为64
C．所有项的系数之和为729D．所有项的二项式系数之和为64
10．在棱长为1的正方体中，O为正方形的中心，则下列结论正确的是（ ）
A． B．平面
C．点B到平面的距离为D．直线BO与直线的夹角为
11．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．为偶函数B．的值域为
C．在上单调递减D．的图象关于直线不对称
12．平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线C．则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C与y轴的交点为，B．曲线C关于x轴对称
C．面积的最大值为2D．的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，满足，，则的值为______．
14．已知圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则该圆锥的体积为______．
15．已知椭圆的焦点分别为，，且是抛物线焦点，若P是与的交点，且，则的值为______．
16．已知函数，对任意非零实数x，均满足．则的值为______；函数的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知数列的前n项和；
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
18．（12分）
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．
（1）求B：
（2）若D为边AC的中点，且，，求a．
19．（12分）
如图，矩形ABCD中，，，将沿AC折起，使得点D到达点P的位置，．
（1）证明：平面平面ABC；
（2）求直线PC与平面ABC所成角的正弦值．
20．（12分）
第56届世界乒乓球锦标赛将于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮．现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得1分．
（1）已知某局比赛中双方比分为8：8，此时甲先连续发球2次，然后乙连续发球2次，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，求该局比赛甲以11：9获胜的概率；
（2）已知在本场比赛中，前两局甲获胜，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立．两人又进行了X局后比赛结束，求X的分布列与数学期望．
21．（12分）
在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，实轴长为4．
（1）求C的方程；
（2）如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若O，A，N，M四点共圆，求点P的坐标．
22．（12分）
设函数．
（1）若有两个不同的零点，求实数a的取值范围；
（2）若函数有两个极值点，，证明：．
2022年高三模拟考试
数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．3；14．；15．；16．0，（第一空2分，第二空3分）．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【解析】
（1）当时，，
当时，符合上式，所以．
（2）因为，
所以．
18．【解析】
（1）因为，由正弦定理得：，
因为，所以，又，所以，
因为，所以．
（2）延长BD到点M使，连接AM，
在中，，，，，
由余弦定理得：，
即：，解得：或（舍），所以．
19．【解析】
（1）因为，，，所以，所以，
又因为，，PB，平面PAB，所以平面PAB，
因为平面ABC，所以平面平面PAB．
（2）作于点O，以O为坐标原点，以过O垂直于平面PAB的直线，OB，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
因为，，所以，，所以，
因为平面ABC的法向量为，
所以，
所以直线PC与平面ABC所成角的正弦值为．
20．【解析】
（1）设事件“在比分为8：8的条件下甲以11：9获胜”，
则．
（2）随机变量X的所有可能取值为：2，3，4，5，
，，
，，
所以随机变量X的分布列为：
所以．
21．【解析】
（1）因为实轴长为4，即，，又，所以，，
故C的方程为．
（2）由O，A，N，M四点共圆可知，，
又，即，
故，
即，所以．
设，，，
由题意可知，则直线，直线，
因为M在直线l上，所以，代入直线AG方程，可知，
故M坐标为，所以，
又，由，则，
整理可得，
当直线GH斜率不存在时，显然不符合题意，
故设直线，代入双曲线方程：中，
可得，所以，，
又
，
所以
故，即，所以点P坐标为．
22．【解析】
（1）令，则有2个零点，等价于存在两个正根．
所以，解得，
所以使得有两个零点的a的取值范围是．
（2），
因为，，且有两个极值点，，
所以，为的两个不同解．
由（1）知，且，，不妨设，
．
要证明，
只需证，因为，所以，
只需证，注意到，
只需证，两边同除得，
因为，只需证，
设，令，则只需证即可．
则，令，
则，所以在上单调递增，
所以，即，
所以在上单调递增，所以，得证．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
C
A
B
C
A
B
题号
9
10
11
12
答案
CD
ABC
AB
ABD
X
2
3
4
5
P