专题09 三角函数与三角恒等变换经典小题-2022年新高考数学高频考点 题型专项练习(新高考适用)

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专题09 三角函数与三角恒等变换经典必刷小题100题
(初级)1-40题
一、单选题
1．为了得到函数的图象．只需把函数的图象上所有的点（　　）
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度
D．向右平行移动个单位长度
【答案】C
【分析】
根据三角函数图形变换中的原理求解，求解过程中注意系数对平移情况的影响.
【详解】
因为，所以把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度即可．故选C.
2．已知，，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】
将已知等式两边平方可得，进而可得，解得，利用同角三角函数基本关系式可求，进而即可求解的值．
【详解】
解：因为，，
两边平方，可得，可得，
所以，即，
所以解得，（负值舍去），可得，
所以．
故选：．
3．设函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的最大值为
B．的一个零点为
C．的最小正周期为
D．的图象关于直线对称
【答案】B
【分析】
利用三角函数的恒等变形公式化简为“一角一函”的形式，然后利用三角函双E图象与性质进行判定.
【详解】
，所以的最小正周期为，的最大值为，C，A正确；当时，，所以的图象关于直线对称，D正确；因为，所以不是函数的零点，B错误，
故选：B.
4．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；
解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.
【详解】
解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
5．将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象.若在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据平移法则写出f(x)的函数解析式，根据单调性，结合正弦函数的性质写出关于的不等式组，求解即得.
【详解】
，
当时，，
由，有，，
有，得.
故选：B
6．已知函数，的图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
在各选择支的函数中取特值计算，并与已知图象比较，采用排除方法可作出判定.
【详解】
取x=0,对于A：；对于B：；对于C：；对于D：，结合图象中f(0)=0,故排除BD.
取x=,对于A：,对于C：,结合图象，可排除C.
故选：A.
【点睛】
本题考查根据图象判定解析式，可以利用特殊值法进行排除.
7．化简（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】
利用同角三角函数的商数关系化切为弦，然后利用平方关系和正弦的二倍角公式化简转化为特殊角的三角函数即可得解.
【详解】
原式
．
故选：B．
【点睛】
本题考查同角三角函数的关系，特殊角三角函数值，二倍角的正弦公式，利用商数关系切化弦是解决问题的关键.
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用两角和差公式和二倍角公式化简求值即可．
【详解】
因为，
所以，
即，
则，
.
故选：A
9．已知函数，现将的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由函数，根据函数图象的平移变换与放缩变换法则，可得到函数，由，可得，利用正弦函数的单调性可得结果.
【详解】
将函数的图象向左平移个单位长度，
得到的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，
得到函数的图象， ，
∵ ，
所以，
∴，∴，
∴在上的值域为，
故选：A.
10．函数的图像沿轴向右平移个单位()，所得图像关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先利用平移变换得到平移后的函数的解析式，根据图象的对称性得到关于a的方程，求得a的所有值，然后取其中的最小正值即得答案.
【详解】
的图象向右平移a个单位得的图象，
所得图象关于轴对称，
所以,
因此a的最小正值为，
故选：D.
【点睛】
本题考查三角函数的图象的平移变换和对称性，切记每一个变换总是对字母而言.
结合三角函数的图象的对称性，得到：
函数是奇函数；
函数是偶函数；
函数是奇函数；
函数是偶函数.
11．将函数（）在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，进而整体代入法得出函数的单调递减区间，利用子集关系列出不等式组，求解可得的取值范围．
【详解】
．
在上单调递减，依题意有
∴，，且，∴
当时满足题意，∴，
故选：C
12．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋tan αtan β＝，则α，β的大小关系是（ ）
A．α