九年级数学 培优竞赛新方法-第3讲 充满活力的韦达定理 讲义学案
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第三讲 充满活力的韦达定理 知识纵横 一元二次方程的根与系数的关系,通常也称为韦达定理,这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的. 韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容,应用广泛,主要体现在: 运用韦达定理,求方程中参数的值; 运用韦达定理,求代数式的值; 利用韦达定理并结合根的判别式,讨论根的符号特征; 利用韦达定理逆定理,构造一元二次方程辅助解题等. 韦达定理具有对称性,设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路.韦达定理,充满活力,它与代数、几何中许多知识可有机结合,生成丰富多彩的数学问题,而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法.例题求解【例1】(1)已知是方程的两个实数根,且,那么实数m的取值范围是_________(河南省中考题)(2) 已知、是方程的两个实数根,则代数式的值为 . (绍兴市竞赛题) 思路点拨 对于(1),运用根与系数关系建立m的不等式,但要注意判别式的制约;对于(2) 所求代数式为、的非对称式,通过根的定义、一元二次方程的变形转化为基本对称式解。【例2】如果方程 的三根可以作为一个三角形的三边线之长,那么,实数m的取值范围是( ) A. B. C. D.(全国初中数学联赛题)思路点拨 设方程的根分别为1、,由三角形三边关系定理、韦达定理建立m的不等式组。 【例3】 已知关于的方程: (1)求证:无论m取什么实数值,这个方程总有两个相异实根.(2)若这个方程的两个实根、满足,求m的值及相应的、.(苏州市中考题)思路点拨 对于(2),先判定、的符号特征,并从分类讨论入手. 【例4】 设、是方程的两个实数根,当m为何值时,有最小值?并求出这个最小值. (第16届江苏省竞赛题) 思路点拨 利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示,再从配方法入手,应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的. 注:应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根,即应用韦达定理解题时,须满足判别式△≥0这一条件,转化是一种重要的数学思想方法,但要注意转化前后问题的等价性.根的分布【例5】为实数,ac<0,且证明一元二次方程 有大于而小于 1 的根。(全国初中数学联赛题) 学历训练基础务实 1.方程的两个实数根分别为 . (烟台市中考题)2.已知关于x的方程有两个实数根,且 . (淮安市中考题)3.设、是方程 的两个根,且 则 (南通市中考题) 4.关于x的一元二次方程的 两个实数根分别是的值是 ( )A.1 B.12 C.13 D.25 (包头市中考题)5.在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,a、b是关于的方程的两根,那么AB边上的中线长是( )A. B. C.5 D.26.若关于x的方程有两个实数根,则实数m的取值范围是( )A. B. C. D. (天津市中考题) 7.已知关于的一元二次方程有两个实数根 。(1)求实数m的取值范围。(2)当时,求m的值。 (毕节市中考题) 8.已知关于的方程有两个实数根.(1) 求p的取值范围; (2)若,求的值. (孝感市中考题) 能力拓展9.已知方程的两根均为正整数,且,那么这个方程两根为 . (“祖冲之杯”邀请赛)10.已知整数p,q满足且关于x的一元二次方程的两个根均为正整数,则p= . (“新知杯”上海市竞赛题)11.△ABC的一边长为5,另两边长恰为方程的两根,则m的取值范围是 . (四川省竞赛题)12.对于一切不小于2的自然数n,关于x的一元二次方程的两根记为则 (全国初中数学联赛题)13.设的两个实数根,则的值为( )A.-29 B.-19 C.-15 D.-9 (第21届江苏省竞赛题)14.若方程 的一个跟大一1,另一个根小于1,则的值为 ( )A.不大于1 B.大于1 C.小于1 D.不小于1 (2011年《数学周报杯》全国初中数学竞赛题)15.若 ,且有的值为( )A. B. C. D. (全国初中数学联赛题)16.设a,b为整数,并且一元二次方程x2+(2a+b+3)x+(a2+ab+6)=0有等根α,而一元二次方程2ax2+(4a-2b-2)x+(2a-2b-1)=0有等根β;那么,以α,β为根的整系数一元二次方程是( )A.2x2+7x+6=0 B.2x2+x-6=0C.x2+4x+4=0 D.x2+(a+b)x+ab=0 (2011年江西省竞赛题)17.设时关于x的一元二次方程的两个实数根,求的最大值。 (全国初中数学竞赛题) 18.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+(3a-1)x+2a2-1=0的两个实数根,其满足(3x1-x2)(x1-3x2)=-80.求实数a的所有可能值. (2011四川省竞赛题) 综合创新 19、已知关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2=0的两根x1,x2满足x12-x22=0,双曲线y=(x>0)经过Rt△OAB斜边OB的中点D,与直角边AB交于C,求S△OBC.(荆州市中考题) 20、已知关于x的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1,求的值。(2011年“《数学周报》”杯全国初中数学竞赛题)
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