专题10 指数函数-2021-2022学年高一数学上学期高频考点专题突破（人教A版2019必修第一册）学案

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\l "_Tc17736453" 模块一：指数幂运算 PAGEREF _Tc17736453 \h 2
\l "_Tc17736454" 考点1：分数指数幂运算 PAGEREF _Tc17736454 \h 2
\l "_Tc17736455" 模块二：指数函数图像的应用3
\l "_Tc17736456" 考点2：指数幂比较大小3
\l "_Tc17736457" 模块三：指数型复合函数4
\l "_Tc17736458" 考点3：指数型复合函数4
\l "_Tc17736459" 课后作业：8
专题10 指数函数
模块一：指数幂运算
1．根式
⑴ 如果存在实数，使得 (，，)，则叫做的次方根．
⑵ 当有意义的时候，叫做根式，叫做根指数．
⑶ 根式的性质：① ，(，且)；②
2．分数指数
⑴ 规定正数的正分数指数幂的意义：
⑵ 规定正数的负分数指数幂的意义：
3．实数指数幂的运算法则
； ； （其中，，对任意实数，）．
考点1：分数指数幂运算
例1.（1） ．
【解答】解：，
故答案为：110
例2.（1）已知，且，求的值．
【解答】解：，①
又，，②
．
，．③
将②、③代入①式得．
（2）已知，求的值．
【解答】解：由，
则，
则，
则，
则，
模块二：指数函数图像的应用
指数函数：一般地，函数且，叫做指数函数.
指数函数图象与性质：
考点2：指数幂比较大小
例3.(1)已知，，，则
A．B．C．D．
【解答】解：，
，，
又，，
又，
．
故选：．
(2)已知；；，则
A．B．C．D．
【解答】解：为减函数，，
故，
为增函数，，
故，
故，
故选：．
模块三：指数型复合函数
重点讲解内层是指数函数的复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性的问题
考点3：指数型复合函数
例4.（1）求函数的定义域、值域和单调区间．
【解答】解：根据题意，函数的定义域显然为．
令．
是的增函数，
当时，（1），而．
，即值域为，．
当时，为增函数，是的增函数，
由越大推出越大，越大推出越大
即越大越大
即原函数单调增区间为，；
当时，为减函数，是的增函数，
由越大推出越小，越小推出越小，
即越大越小
即原函数单调减区间为，．
证明同上．
（2）函数的值域为
A．B．C．，D．，
【解答】解：令
单调递减
即
故选：．
（3）当时，函数的值域为
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：，
设，
，，
则函数等价为，
，
，
即函数的值域为，．
故选：．
例5.已知定义域为的函数是奇函数．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）判断并用定义法证明函数的单调性．
【解答】解：（Ⅰ）是上的奇函数，
，则，解得，
的解析式为；
（Ⅱ），
是上的减函数；
证明如下：在上任取，
则
；
，，，，
；即；
上的减函数．
例6.已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求，的值；
（2）若在上是增函数，求不等式的解集．
【解答】（本小题满分12分）
解：（1）定义域为的函数是奇函数，
由题意知函数为定义在上的奇函数可知，解得
由（1），知，解得．
（2）由在上是增函数且为奇函数，
即，则有，
解得，
不等式的解集为．
例7.已知函数是上的奇函数．
（1）求的值；
（2）证明：函数是上的增函数；
（3）是否存在使对任意，均成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）函数是上的奇函数．
，
解得．
证明：（2）由（1）知，定义域为，
在上任取，，令，
，，，，
，
函数是上的增函数．
解：（3）假设存在使对任意，均成立，
在上既是奇函数，又是增函数，
对任意，均成立，
，即，
，解得．
的取值范围是，．
课后作业：
1. 已知，则
A．B．C．D．
【解答】解：，，
，
，，
，
故选：．
2． ．
【解答】解：．
故答案为：．
3．已知，则 7 ； ．
【解答】解：，
，
，
，
．
故答案为：．
4．如果函数在区间，上的最大值是14，则实数的值为 ．
【解答】解：设，则函数等价为，
对称轴为，
若，则，
此时函数的最大值为（a），即，
即或，
即或（舍，
若，则，
此时函数的最大值为，即，
即或，
即或（舍，
解得，
综上3或；
故答案为：3或；
5．求函数的定义域、值域和单调区间．
【解答】解：函数的定义域为；
令，则，
，，
，，
即函数的值域为，，
在，上为增函数，在，上为减函数，
为减函数，
函数的单调递增区间为，；单调递减区间为，
6．已知．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）证明是定义域内的增函数；
（3）求的值域．
【解答】（1），为奇函数
（2）
在上任取，，且
，
而在上为增函数，，即
在上为增函数．
（3），而，即，．
所以的值域是．
图象
定义域
值域
性质
⑴ 过定点，即时，
⑵ 在上是减函数
⑵ 在上是增函数