广东省深圳市高级中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学（含答案）练习题

这是一份广东省深圳市高级中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学（含答案）练习题，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题等内容，欢迎下载使用。
深圳高级中学（集团）2020-2021学年第一学期期中考试高二数学审题人：命题人：一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．设，则“”是“”的(  A  )条件A．充分不必要       B．必要不充分 C．充要        D．既不充分也不必要2．抛物线的焦点坐标为(  C  )A．B． C．  D．3．已知向量，向量，若与垂直，则μ=(C)A．B． C． D．4．正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，E为的中点，则与所成角的余弦值为(C)A.  B.   C.   D.5．如图所示，点F是抛物线的焦点，点A，B分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于x轴，则的周长的取值范围是DA.  B.  C.   D.6．是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面平行的是 (  B   )A．是平面内两条直线，且．B．是两条异面直线，，且．C．内不共线的三点到的距离相等．D．都垂直于平面．7．在中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为（ C  ）A． B． C． D．38．直线与椭圆：交于、两点，以线段为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆的离心率为(  B  )A．B．C．D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9．已知双曲线的方程为：，则下列说法正确的是(  BC  )A．焦点为 B．渐近线方程为C．离心率e为 D．焦点到渐近线的距离为10．已知函数的部分图象如图所示，则(  AD  )A．B．C．D．11．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，、为上两点，且的长为定值，则下面四个值中是定值的是（ACD）A．点到平面的距离B．直线与平面所成的角C．三棱锥的体积D．△的面积12．如图，过点作两条直线和分别交抛物线于和(其中位于x轴上方)，直线交于点Q.则下列说法正确的是（ABC）A．两点的纵坐标之积为B．点Q在定直线上C．最小值是2D．无论旋转到什么位置，始终有【详解】设点，将直线l的方程代入抛物线方程得：.则.故A正确；由题得，直线的方程为，直线的方程为，消去y得，将代入上式得，故点Q在直线上，故B正确；计算可知选项C错误；因为，但，所以D错误.故选：AB.二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若，则．14．数列中，，，．若其前项和为126，则______．615．体积为的三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，，，，则球的表面积为________.16．已知双曲线的焦点为，，实轴长为2，则双曲线的离心率是________；若点是双曲线的渐近线上一点，且，则的面积为________．；三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线中，若问题中的△ABC存在，求出△ABC的面积；若问题中的△ABC不存在，请说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，．解：（1）由题设及正弦定理得．因为sinA0，所以．由，可得，故．因为，故，因此B=60°．………...………………5分 选择①：即a=2c, 根据余弦定理有，=...................................8分代入b=3, 解得c=a=2,所以面积S==..............................................10分选择②:==,代入a+c=6，解得ac=9, 结合a+c=6, 所以a=c=3........8分所以面积S=.....................10分选择③：==，代入ac=15, 解得a+c=3，..................................8分结合ac=15，无解，所以△ABC不存在..........................10分 18．设数列的前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。【解析】（1）当=1时，有…………2分又由可得两式相减得……………3分即有…………4分故数列是以2为首项，2为公比的等比数列，………5分………………6分评分要点：1、如果用则必须说明，否则扣1分。2、求出递推公式后必须要有文字说明数列为等比数列，无文字说明直接写通项公式扣1分。（2）解法一：由（1）知，所以…………7分令，……8分为使为等差数列，则是关于n的一次函数，所以，………9分此时，当时，………10分当时，，………11分所以是以为首项，为公差的等差数列。………12分评分要点：如果没有说明是关于n的一次函数扣1分。解法二：由（1）知，所以…………7分令，若为等差数列，则有构成等差数列，…………8分即有即……………9分此时，当时，………10分当时，，………11分所以是以为首项，为公差的等差数列。………12分19．（12分）如图所示，在直四棱柱中，，点是棱上一点.（1）求证：；（2）试确定点的位置，使得平面平面.证明：（1）因为平面，平面，所以.又因为，且，平面，平面所以平面.而平面，所以.（2）当点为棱的中点时，平面平面.如图，取的中点，的中点，连接交于点，连接.则，即是的中点.因为是的中点，，所以.因为在直四棱柱中所以平面又因为平面所以平面平面又平面平面，平面.所以平面.当点为棱的中点时所以，且.所以是平行四边形，即.所以平面.又因为平面所以平面平面.20．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）O是坐标原点，过椭圆的右焦点直线交椭圆于P，Q两点，求△OPQ的最大值．【解析】（1）由得，所以…………1分由点在椭圆上得解得， …………2分…………3分所求椭圆方程为…………4分(2) F（0，1），设直线:x=my+1, 代入方程化简得(3m2+4)y2+6my-9=0, 由韦达定理得y1+y2=, y1y2=................6分△OPQ的面积为，所以求ABC的最大值即求|y2-y1|的最大值。7分（y1-y2）2=(y1+y2)2-4y1y2=.....................9分令上式可表示成，当t=1时取得最大值9，此时=..........12分 21．在多面体ABCDPE中，四边形ABCD是直角梯形，平面，，，，的余弦值为，（1）求证：（2）求平面BCE与平面ADE所成角（锐角）的余弦值 20. 解析：（1）取...........1分  ..........................2分  ……………………………3分 ......................................4分 ……………………………5分（2）在中，..................................6分平面平面，..............................7分以AD所在直线为X轴，BA所在直线为Y轴，A为原点建立空间直角坐标系.   A（0,0,0）      B（0,-2,0）     C（2,-2,0） D（4，0，0）P（0,0,2) ………8分 设 ……………………………9分   …10分 设平面BCE的一个法向量   ……………………………11分 设平面BCE与平面ADE所成角为  .....12分22．（本小题满分12分）已知抛物线经过点，在点处的切线交轴于点，直线经过点且垂直于轴.（Ⅰ）求线段的长；（Ⅱ）设不经过点和的动直线交于点和，交于点，若直线、、的斜率依次成等差数列，试问：是否过定点？请说明理由.【解析】（Ⅰ）由抛物线经过点，得 ，故，的方程为………………2分在第一象限的图象对应的函数解析式为，则故在点处的切线斜率为，切线的方程为令得，所以点的坐标为故线段的长为………………5分（Ⅱ）恒过定点，理由如下：由题意可知的方程为，因为与相交，故由，令，得，故设由消去得：则，………………7分直线的斜率为，同理直线的斜率为直线的斜率为因为直线、、的斜率依次成等差数列，所以即………………10分整理得：，因为不经过点，所以所以，即故的方程为，即恒过定点………………12分