（全国通用）2022年中考数学一轮复习高频考点精讲精练 专题21 圆（原卷版+解析版）学案

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【高频考点精讲】
1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
2、垂径定理的推论
（1）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
3、垂径定理的应用：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。
【热点题型精练】
1．（2021•凉山州中考）点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
2．（2021•自贡中考）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是（ ）
A．9.6B．4C．5D．10
3．（2021•长沙中考）如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为 ．
4．（2021•成都中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为 ．
5．（2021•淄博中考）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是（ ）
A．12寸B．24寸C．13寸D．26寸
6．（2021•柳州中考）往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度AB＝24cm，则水的最大深度为（ ）
A．5cmB．8cmC．10cmD．12cm
7．（2021•黔东南州中考）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 cm．
8．（2020•宁夏中考）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是 寸．
考点02 圆周角定理
【高频考点精讲】
1、圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
注意：圆周角必须同时满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两条边都与圆相交。
2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论：半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
3、解题技巧：解决圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角。
【热点题型精练】
9．（2021•抚顺中考）如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点E，连接OC，BD．若∠ABD＝20°，∠AED＝80°，则∠COB的度数为（ ）
A．80°B．100°C．120°D．140°
10．（2021•营口中考）如图，⊙O中，点C为弦AB中点，连接OC，OB，∠COB＝56°，点D是上任意一点，则∠ADB度数为（ ）
A．112°B．124°C．122°D．134°
11．（2021•荆州中考）如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上，若A（2，0），D（4，0），以O为圆心、OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE，则∠BED的度数是（ ）
A．15°B．22.5°C．30°D．45°
12．（2021•武汉中考）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若＝，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（ ）
A．21.9°＜α＜22.3°B．22.3°＜α＜22.7°
C．22.7°＜α＜23.1°D．23.1°＜α＜23.5°
13．（2021•盘锦中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是 ．
14．（2021•黑龙江中考）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝6，以点O为圆心，3为半径的⊙O，与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点，则PC+PD的最小值为 ．
考点03 圆内接四边形的性质
【高频考点精讲】
1、圆内接四边形的对角互补。
2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
【热点题型精练】
15．（2021•吉林中考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（ ）
A．30°B．45°C．50°D．65°
16．（2021•泰安中考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为（ ）
A．2﹣2B．3﹣C．4﹣D．2
17．（2021•海南中考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是（ ）
A．30°B．35°C．45°D．60°
18．（2021•雅安中考）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为（ ）
A．45°B．60°C．72°D．36°
19．（2021•宁夏中考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝150°，弦AC＝2，则⊙O的半径等于 ．
20．（2021•常德中考）如图，已知四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠BOD＝80°，则∠BCD＝ ．
考点04 三角形的外接圆与外心
【高频考点精讲】
三角形的外接圆与外心
1、外接圆定义：经过三角形的三个顶点的圆。
2、外心定义：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点。
3、注意事项：
（1）锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部。
（2）找三角形的外心，就是找三角形三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个。
【热点题型精练】
21．（2021•内江中考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为（ ）
A．4B．2C．3D．
22．（2021•梧州中考）在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在x轴正半轴上有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是（ ）
A．3+4B．12C．6+3D．6
23．（2021•黄冈中考）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，垂足为点D，AE，CB的延长线交于点F．若OD＝3，AB＝8，则FC的长是（ ）
A．10B．8C．6D．4
24．（2021•湖州中考）如图，已知点O是△ABC的外心，∠A＝40°，连结BO，CO，则∠BOC的度数是（ ）
A．60°B．70°C．80°D．90°
25．（2021•张家界中考）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°，点D是BC的中点，连接OD，OB，OC，则∠BOD＝ ．
26．（2021•黑龙江中考）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为 ．
考点05 切线的性质
【高频考点精讲】
1、圆的切线垂直于经过切点的半径。
2、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
3、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
4、切线性质的运用：由切线长定理可知，如果出现圆的切线，可以连接过切点的半径，得出垂直关系。
【热点题型精练】
27．（2021•青岛中考）如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点A是的中点，过点A画⊙O的切线，交BC的延长线于点D，连接EC．若∠ADB＝58.5°，则∠ACE的度数为（ ）
A．29.5°B．31.5°C．58.5°D．63°
28．（2021•湘潭中考）如图，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，直线l切⊙O于点C，延长OD交l于点F，若AE＝2，∠ABC＝22.5°，则CF的长度为（ ）
A．2B．2C．2D．4
29．（2021•广元中考）如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．π﹣2C．1D．
30．（2021•泰安中考）如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是（ ）
A．50°B．48°C．45°D．36°
31．（2021•泰州中考）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为 ．
32．（2021•河池中考）如图，在平面直角坐标系中，以M（2，3）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则点B的坐标是 ．
33．（2021•南京中考）如图，FA，GB，HC，ID，JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ＝ °．
34．（2021•陕西中考）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 ．
考点06 三角形的内切圆与内心
【高频考点精讲】
内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
2、内心定义：三角形三个内角角平分线的交点。
3、任何三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形。
4、三角形内心的性质：
（1）三角形的内心到三角形三边的距离相等。
（2）三角形的内心与三角形顶点的连线平分内角。
【热点题型精练】
35．（2021•西宁中考）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，连接OE，OF，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．4﹣πD．
36．（2020•随州中考）设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（ ）
A．h＝R+rB．R＝2rC．r＝aD．R＝a
37．（2020•济宁中考）如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4．则△DBC的面积是（ ）
A．4B．2C．2D．4
38．（2020•金华中考）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（ ）
A．65°B．60°C．58°D．50°
39．（2020•青海中考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝ ．
40．（2020•达州中考）已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4﹣19，则△ABC的内切圆半径＝ ．
41．（2021•毕节中考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D，连接BD，BE．
（1）求证：DB＝DE；
（2）若AE＝3，DF＝4，求DB的长．
考点07 弧长及扇形面积计算
【高频考点精讲】
1、弧长计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
2、扇形面积计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
①S扇形＝πR2
②S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积解题技巧：将不规则图形面积转化为规则图形的面积。常用方法：①直接用公式法；②和差法；
③割补法。
【热点题型精练】
42．（2021•牡丹江中考）一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为3cm的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为（ ）
A．45cmB．40cmC．35cmD．30cm
43．（2021•广安中考）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地有观赏路（劣弧AB）和便民路（线段AB）．已知A、B是圆上的点，O为圆心，∠AOB＝120°，小强从A走到B，走便民路比走观赏路少走（ ）米．
A．6π﹣6B．6π﹣9C．12π﹣9D．12π﹣18
44．（2021•黔西南州中考）图1是一把扇形书法纸扇，图2是其完全打开后的示意图，外侧两竹条OA和OB的夹角为150°，OA的长为30cm，贴纸部分的宽AC为18cm，则的长为（ ）
A．5πcmB．10πcmC．20πcmD．25πcm
45．（2021•兰州中考）如图，传送带的一个转动轮的半径为10cm，转动轮转n°，传送带上的物品A被传送6πcm，则n＝ ．
46．（2021•河南中考）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在上，∠BAC＝22.5°，则的长为 ．
考点08 圆锥的计算
【高频考点精讲】
1、圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线叫做圆锥的母线。顶点与底面圆心的连线叫圆锥的高。
2、圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。
3、圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl．
4、圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl
5、圆锥的体积＝×底面积×高
6、注意事项：
（1）圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等。
（2）圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等。
【热点题型精练】
47．（2021•德州中考）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，以点A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，连接AE，则阴影部分的面积为（ ）
A．6﹣B．4﹣C．6﹣D．6﹣
48．（2021•宁夏中考）如图，已知⊙O的半径为1，AB是直径，分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧．两弧相交于C、D两点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
49．（2021•遂宁中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积为（ ）
A．16π﹣12B．16π﹣24C．20π﹣12D．20π﹣24
50．（2021•东营中考）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，以E为圆心，BE长为半径画弧交对角线AC于点F，若∠BAC＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BEF的面积为 ．
51．（2021•荆门中考）如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为 ．
52．（2021•重庆中考）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝4，∠CAB＝36°，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
53．（2021•德阳中考）已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则圆锥侧面展开图的圆心角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
54．（2021•湖北中考）用半径为30cm，圆心角为120°的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（ ）
A．5cmB．10cmC．15cmD．20cm
55．（2021•镇江中考）设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（ ）
A．有最大值πB．有最小值π
C．有最大值πD．有最小值π
56．（2021•广元中考）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A．B．C．D．1
57．（2021•河池中考）如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是 ．
58．（2021•徐州中考）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为8cm，扇形的圆心角θ＝90°，则圆锥的底面圆半径r为 cm．
59．（2021•邵阳中考）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）