（全国通用）2022年中考数学一轮复习高频考点精讲精练 专题04 整式运算（原卷版+解析版）学案

专题04 整式运算

一、单项式及多项式

【高频考点精讲】

1．单项式乘单项式

单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注意：在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；

2．单项式乘多项式

（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

（2）注意事项：

①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；

②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；

③注意确定积的符号。

【热点题型精练】

1．（2021•海南中考）下列整式中，是二次单项式的是（　　）

A．x2+1 B．xy C．x2y D．﹣3x

解：A、x2+1是多项式，故此选项不合题意；

B、xy是二次单项式，符合题意；

C、x2y是次数为3的单项式，不合题意；

D、﹣3x是次数为1的单项式，不合题意；

答案：B．

2．（2021•湘潭中考）单项式3x2y的系数为 　3　．

解：3x2y＝3•x2y，其中数字因式为3，

则单项式的系数为3．

答案：3．

3．（2021•泰兴模拟）多项式3x2y+2xy的次数为 　3　．

解：∵多项式3x2y+2xy的最高次项为3x2y，其次数是3，

∴多项式3x2y+2xy的次数是3．

答案：3．

4．（2021•宜兴模拟）写出一个次数是2，且字母只有a、b的三项式 　a2+b+1　．

解：由题意可得：a2+b+1（答案不唯一）

答案：a2+b+1（答案不唯一）．

二、整式混合运算

【高频考点精讲】

1．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似；

2．“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来。

【热点题型精练】

5．（2021•重庆中考）计算3a6÷a的结果是（　　）

A．3a6 B．2a5 C．2a6 D．3a5

解：3a6÷a＝3a5．

答案：D．

6．（2021•山西中考）下列运算正确的是（　　）

A．（﹣m2n）3＝﹣m6n3 B．m5﹣m3＝m2 

C．（m+2）2＝m2+4 D．（12m4﹣3m）÷3m＝4m3

解：（﹣m2n）3＝﹣m6n3，故选项A正确；

m5﹣m3不能合并为一项，故选项B错误；

（m+2）2＝m2+4m+4，故选项C错误；

（12m4﹣3m）÷3m＝4m3﹣1，故选项D错误；

答案：A．

7．（2021•嘉峪关中考）对于任意的有理数a，b，如果满足+＝，那么我们称这一对数a，b为“相随数对”，记为（a，b）．若（m，n）是“相随数对”，则3m+2[3m+（2n﹣1）]＝（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3

解：∵（m，n）是“相随数对”，

∴+＝，

∴＝，

即9m+4n＝0，

∴3m+2[3m+（2n﹣1）]

＝3m+2[3m+2n﹣1]

＝3m+6m+4n﹣2

＝9m+4n﹣2

＝0﹣2

＝﹣2，

答案：A．

8．（2021•衡阳中考）计算：（x+2y）2+（x﹣2y）（x+2y）+x（x﹣4y）．

解：原式＝(x2+4xy+4y2)+(x2﹣4y2)+(x2﹣4xy)

＝x2+4xy+4y2+x2﹣4y2+x2﹣4xy

＝3x2．

三、幂的运算

【高频考点精讲】

（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

am•an＝am+n（m，n是正整数），拓展：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）

（2）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘.

（am）n＝amn（m，n是正整数）

（3）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

（ab）n＝anbn（n是正整数）

（4）同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．

am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）

【热点题型精练】

9．（2021•南京中考）计算（a2）3•a﹣3的结果是（　　）

A．a2 B．a3 C．a5 D．a9

解：（a2）3•a﹣3＝a6•a﹣3＝a6﹣3＝a3．

答案：B．

10．（2021•泸州中考）已知10a＝20，100b＝50，则a+b+的值是（　　）

A．2 B． C．3 D．

解：∵10a×100b＝10a×102b＝10a+2b＝20×50＝1000＝103，

∴a+2b＝3，

∴原式＝（a+2b+3）＝×（3+3）＝3，

答案：C．

11．（2021•常德中考）下列计算正确的是（　　）

A．a3•a2＝a6 B．a2+a2＝a4 

C．（a3）2＝a5 D．＝a（a≠0）

解：A．a3•a2＝a5，故本选项不合题意；

B．a2+a2＝2a2，故本选项不合题意；

C．（a3）2＝a6，故本选项不合题意；

D.，故本选项符合题意；

答案：D．

12．（2021•凉山州中考）阅读以下材料：

苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．

对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log39可以转化为指数式32＝9．

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：

设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，

∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M•N）．

又∵m+n＝logaM+logaN，

∴loga（M•N）＝logaM+logaN．

根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：

（1）填空：①log232＝　5　，②log327＝　3　，③log71＝　0　；

（2）求证：loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；

（3）拓展运用：计算log5125+log56﹣log530．

解：（1）log232＝log225＝5，log327＝log333＝3，log71＝log770＝0；

答案：5，3，0；

（2）证明：设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，

∴＝＝am﹣n，由对数的定义得m﹣n＝loga，

又∵m﹣n＝logaM﹣logaN，

∴loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；

（3）原式＝log5（125×6÷30）

＝log525

＝2．

四、完全平方公式及其几何背景

【高频考点精讲】

1．完全平方公式

（1）（a±b）2＝a2±2ab+b2；

（2）特征：

①左边是两个数的和的平方；

②右边是三项式，其中首末两项分别是两项的平方，为正，中间一项是两项积的2倍；符号与左边的运算符号相同。

2．验证完全平方公式的几何图形

（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）

【热点题型精练】

13．（2021•台州中考）已知（a+b）2＝49，a2+b2＝25，则ab＝（　　）

A．24 B．48 C．12 D．2

解：（a+b）2＝a2+2ab+b2，将a2+b2＝25，（a+b）2＝49代入，可得

2ab+25＝49，

则2ab＝24，

所以ab＝12，

答案：C．

14．（2021•贵阳中考）（1）有三个不等式2x+3＜﹣1，﹣5x＞15，3（x﹣1）＞6，请在其中任选两个不等式，组成一个不等式组，并求出它的解集；

（2）小红在计算a（1+a）﹣（a﹣1）2时，解答过程如下：

小红的解答从第 　一　步开始出错，请写出正确的解答过程．

（1）解：第一种组合：，

解不等式①，得x＜﹣2，

解不等式②，得x＜﹣3

∴原不等式组的解集是x＜﹣3；

第二种组合：，

解不等式①，得x＜﹣2，

解不等式②，得x＞3，

∴原不等式组无解；

第三种组合：，

解不等式①，得x＜﹣3，

解不等式②，得x＞3，

∴原不等式组无解；

（任选其中一种组合即可）；

（2）一，

解：a（1+a）﹣（a﹣1）2

＝a+a2﹣（a2﹣2a+1）

＝a+a2﹣a2+2a﹣1

＝3a﹣1．

答案：一．

15．（2020•枣庄中考）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（　　）

A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2

解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b＝a﹣b，

则面积是（a﹣b）2．

答案：C．

16．（2021•顺义模拟）将一个长为2a，宽为2b的矩形纸片（a＞b），用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（　　）

A．a2+b2 B．a2﹣b2 C．（a+b）2 D．（a﹣b）2

解：中间空的部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，

＝（a+b）2﹣4ab，

＝a2+2ab+b2﹣4ab，

＝（a﹣b）2；

答案：D．

五、平方差公式及其几何背景

【高频考点精讲】

1．平方差公式

（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2

（2）特征：

①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；

②右边是相同项的平方减去相反项的平方；

2．验证平方差公式的几何图形

【热点题型精练】

17．（2021•扬州中考）计算：20212﹣20202＝　4041　．

解：20212﹣20202

＝（2021+2020）×（2021﹣2020）

＝4041×1

＝4041

答案：4041．

18．（2021•广安中考）若x、y满足，则代数式x2﹣4y2的值为 　﹣6　．

解：∵x﹣2y＝﹣2，x+2y＝3，

∴x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝3×（﹣2）＝﹣6，

答案：﹣6．

19．（2020•郴州中考）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（　　）

A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） 

C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2﹣x＝x（x﹣1）

解：由图可知，

图1的面积为：x2﹣12，

图2的面积为：（x+1）（x﹣1），

所以x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．

答案：B．

20．（2021•宜昌中考）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（a＞6）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　）

A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定

解：矩形的面积为（a+6）（a﹣6）＝a2﹣36，

∴矩形的面积比正方形的面积a2小了36平方米，

答案：C．