2021年福建省福州第十六中学中考数学三模试卷（word版含答案）

这是一份2021年福建省福州第十六中学中考数学三模试卷（word版含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年福建省福州十六中中考数学三模试卷
一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）与2021相加和为零的数是（　　）
A．﹣2021 B．−12021 C．0 D．12021
2．（4分）2021年国家统计局、国务院第七次全国人口普查领导小组办公室5月11日发布，全国人口超过1400000000人．其中，1400000000用科学记数法表示为（　　）
A．14×108 B．1.4×109 C．0.14×1010 D．1.4×108
3．（4分）如图所示的几何体左视图是（　　）

A． B． C． D．
4．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．2a×3a＝6a C．（a2）3＝a6 D．a2•a3＝a6
5．（4分）一名射击运动员连续打靶8次，命中的环数如图所示，则命中环数的众数与中位数分别为（　　）

A．9环与8环 B．8环与9环 C．8环与8.5环 D．8.5环与9环
6．（4分）实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）

A．a＜0 B．a＜b C．b+5＞0 D．|a|＞|b|
7．（4分）如图，在五边形ABCDE中，∠A＝∠B，∠C＝∠D＝∠E＝90°，DE＝DC＝3，AB=2，则五边形ABCDE的周长是（　　）

A．12+2 B．11+2 C．10+2 D．9+2
8．（4分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　）
A．3（x﹣1）=6210x B．6210x−1=3
C．3x﹣1=6210x D．6210x=3
9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（10，0），B（8，0），点C，D是以OA为直径的半圆上两点，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标是（　　）

A．（2，3） B．（2，4） C．（1，2） D．（1，3）
10．（4分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3（a＞0），当1≤x≤m时，3﹣4a≤y≤4，则m的取值范围为（　　）
A．1≤m≤2 B．1≤m≤4 C．m≥4 D．2≤m≤4
二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）与23最接近的整数是 　 　．
12．（4分）因式分解：2a2﹣2＝　 　．
13．（4分）方差公式S2=15[（6−x）2+（9−x）2+（14−x）2+（15−x）2+（16−x）2]，则公式中x=　 　．
14．（4分）若一个圆锥的底面半径为3，侧面展开图的圆心角为120°，则该圆锥体的侧面积为 　 　．
15．（4分）下列四个命题：
①一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；
②一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；
③一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；
④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．
其中假命题的是 　 　．（只填序号）
16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，sin∠A=35，将平行四边形ABCD放置在平面直角坐标系中，且AD⊥x轴，点D的横坐标为1，点C的纵坐标为2，恰有一条双曲线y=kx（k＞0，x＞0）同时经过B，D两点，则点B的纵坐标是 　 　．

三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（8分）计算：4cos30°+2﹣1−12．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：BE＝DF．

19．（8分）先化简，再求值：2x+1−x−3x2−1，其中x＝2021．
20．（8分）已知直线l：y＝kx（k≠0）经过点A（﹣1，2）．点P为直线l上一点，其横坐标为m．过点P作y轴的垂线，与函数y=4x（x＞0）的图象交于点Q．
（1）求k的值；
（2）①求点Q的坐标（用含m的式子表示）；
②若△POQ的面积大于3，直接写出点P的横坐标m的取值范围．

21．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点M是BC的中点．
（1）在AM上求作一点E，使△ADE∽△MAB（尺规作图，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求AE的长．

22．（10分）如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，∠ABE＝2∠E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tanE=13，BD＝1，求AB的长．

23．（10分）中国人民大学和法国调查公司益普素合作，调查了腾讯服务的6000名用户（男性4000人，女性2000人），从中随机抽取了60名（女性20人），统计他们出门随身携带现金（单位：元），规定：随身携带的现金在100元以下（不含100元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”．
（1）①：根据已知条件，将下列表格补充完整（其中a＝30，d＝8）．

手机支付
非手机支付
合计
男
a
b
　 　
女
c
d
　 　
合计
　 　
　 　
60
②：用样本估计总体，由①可得，若从腾讯服务的女性用户中随机抽取1位，这1位女性用户是“手机支付族”的概率是多少？
（2）某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案：
方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元；
方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖一次，抽奖规则如下：从装有4个小球（其中2个红球2个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出2个小球（逐个放回后抽取），若摸到1个红球则打9折，若摸到2个红球则打8.5折，若未摸到红球按原价付款．
如果你打算用手机支付购买某样价值1500元的商品，请从实际付款的平均金额的角度分析，选择哪种优惠方案更划算．
24．（12分）如图1，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝AC，点E在线段AD上，点F在线段AC上，连接EF，且EF∥CD．
（1）连接BE，若AE＝3，AB＝32，求线段BE的长．
（2）将△AFE绕A点沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接BF、CF，CF交AE边于点P，延长BF交AE于M，且M为AE的中点，求证：AE+BF＝2AP．
（3）如图3，将△AEF绕A点沿逆时针方向旋转，连接CF，N为CF的中点，连接BN、AN，若ABAF=455，在旋转的过程中，当线段BN的长最大时，请直接写出S△ACNS△BCN的值．
25．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）．
（1）若点（﹣1，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；
（2）该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，y1−y2x1−x2＞0；当0＜x1＜x2时，y1−y2x1−x2＜0，抛物线与x轴交于点B，C，若△ABC为等腰直角三角形．
①求抛物线的解析式；
②点P与点O关于点A对称，点D在抛物线上，点D关于抛物线对称轴的对称点为E，若直线PD与抛物线存在另一交点F，求证：E，O，F三点在同一条直线上．

2021年福建省福州十六中中考数学三模试卷
答案与解析
一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）与2021相加和为零的数是（　　）
A．﹣2021 B．−12021 C．0 D．12021
【分析】根据有理数加法法则：相反数相加为0可得答案．
【解答】解：﹣2021+2021＝0．
故选：A．
2．（4分）2021年国家统计局、国务院第七次全国人口普查领导小组办公室5月11日发布，全国人口超过1400000000人．其中，1400000000用科学记数法表示为（　　）
A．14×108 B．1.4×109 C．0.14×1010 D．1.4×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1400000000＝1.4×109．
故选：B．
3．（4分）如图所示的几何体左视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看是一个矩形中间为虚线，
故选：C．
4．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．2a×3a＝6a C．（a2）3＝a6 D．a2•a3＝a6
【分析】直接利用合并同类项法则、单项式乘法、幂的乘方以及同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：选项A：a2和a3不是同类项，不能合并，不符合题意；
选项B：2a×3a＝6a2，不符合题意；
选项C：（a2）3＝a2×3＝a6，符合题意；
选项D：a2•a3＝a2+3＝a5，不符合题意；
故选：C．
5．（4分）一名射击运动员连续打靶8次，命中的环数如图所示，则命中环数的众数与中位数分别为（　　）

A．9环与8环 B．8环与9环 C．8环与8.5环 D．8.5环与9环
【分析】根据众数的定义找出出现次数最多的数；根据中位数的定义求出最中间两个数的平均数即可．
【解答】解：根据统计图可得：
8出现了3次，出现的次数最多，
则众数是8；
∵共有8个数，
∴中位数是第4和5个数的平均数，
∴中位数是（8+9）÷2＝8.5；
故选：C．
6．（4分）实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）

A．a＜0 B．a＜b C．b+5＞0 D．|a|＞|b|
【分析】根据数轴可以发现b＜a，且，由此即可判断以上选项正确与否．
【解答】解：A．∵2＜a＜3，a＞0，答案A不符合题意；
B．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴a＞b，∴答案B不符合题意；
C．∵﹣4＜b＜﹣3，∴b+5＞0，∴答案C符合题意；
D．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴|a|＜b|，∴答案D不符合题意．
故选：C．
7．（4分）如图，在五边形ABCDE中，∠A＝∠B，∠C＝∠D＝∠E＝90°，DE＝DC＝3，AB=2，则五边形ABCDE的周长是（　　）

A．12+2 B．11+2 C．10+2 D．9+2
【分析】可连接CE，作AF⊥CE，BG⊥CE于F、G，根据多边形的内角和定理和等腰直角三角形的性质即可求出AB、AE+BC，进而求出答案．
【解答】解：连接CE，作AF⊥CE，BG⊥CE于F、G，
根据五边形的内角和定理和已知条件，可得△CDE，△AEF，△BCG都是等腰直角三角形，
则CE=42，
∴FG＝AB=2，
∴AE+BC＝32×2=6，
所以五边形的周长是3+3+6+2=12+2．
故选：A．

8．（4分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　）
A．3（x﹣1）=6210x B．6210x−1=3
C．3x﹣1=6210x D．6210x=3
【分析】根据单价＝总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：3（x﹣1）=6210x．
故选：A．
9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（10，0），B（8，0），点C，D是以OA为直径的半圆上两点，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标是（　　）

A．（2，3） B．（2，4） C．（1，2） D．（1，3）
【分析】设以OA为直径的半圆的圆心为M，过点C作CE⊥OA于E，过点M作MF⊥CD于F，连接MC，得出CF＝4，MC＝5，四边形CEMF为矩形，易求OE＝1，由勾股定理即可求得MF，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形OCDB是平行四边形，点B的坐标为（8，0），
∴CD∥OA，CD＝OB＝8，
设以OA为直径的半圆的圆心为M，过点C作CE⊥OA于E，过点M作MF⊥CD于F，连接MC，如图所示：
则CF=12CD＝4，MC=12OA＝5，四边形CEMF为矩形，
∴ME＝CF＝4，
∵A（10，0），
∴OA＝10，OM＝5，
∴OE＝OM﹣ME＝5﹣4＝1，
在Rt△CMF中，由勾股定理得：MF=MC2−CF2=52−42=3，
∴点C的坐标为（1，3），
故选：D．

10．（4分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3（a＞0），当1≤x≤m时，3﹣4a≤y≤4，则m的取值范围为（　　）
A．1≤m≤2 B．1≤m≤4 C．m≥4 D．2≤m≤4
【分析】先建立关于m的不等式，再求范围．
【解答】解：∵y＝ax2﹣4ax+3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=−−4a2a=2，
∴当1≤x≤2时，y随x的增大而减少，当x≥2时，y随x的增大而增大．
∴当m≤2时，当1≤x≤m时，y随x的增大而减少．
∴x＝1，y＝4，x＝m，y＝3﹣4a．
∴a﹣4a+3＝4，am2﹣4am+3＝3﹣4a．
∴a=−13，不合题意．
排除A，B．
当m＝3时，∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=−−4a2a=2，
∴1≤x≤m，即1≤x≤3．
∴当x＝1或x＝3时，y＝4，x＝2时，y＝3﹣4a．
∴a﹣4a+3＝4．
∴a=−13，不合题意．
∴m≠3．
∴排除D．
故选：C．
二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）与23最接近的整数是 　5　．
【分析】根据夹逼法估算无理数的大小即可得出答案．
【解答】解：∵16＜23＜25，
∴4＜23＜5，
∵4.52＝20.25，
∴4.5＜23＜5，
∴与23最接近的整数是5．
故答案为：5．
12．（4分）因式分解：2a2﹣2＝　2（a+1）（a﹣1）　．
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（a2﹣1）
＝2（a+1）（a﹣1）．
故答案为：2（a+1）（a﹣1）．
13．（4分）方差公式S2=15[（6−x）2+（9−x）2+（14−x）2+（15−x）2+（16−x）2]，则公式中x=　12　．
【分析】由方差公式可得这组数据为：6，9，14，15，16，由此即可求出平均数．
【解答】解：由方差的计算公式可得这组数据为：6，9，14，15，16，
∴平均数x=15×（6+9+14+15+16）＝12．
故答案为：12．
14．（4分）若一个圆锥的底面半径为3，侧面展开图的圆心角为120°，则该圆锥体的侧面积为 　27π　．
【分析】设侧面展开图所得扇形的半径为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2π•3=120⋅π⋅R180，解得R＝9，然后根据扇形面积公式求解．
【解答】解：设侧面展开图所得扇形的半径为R，
根据题意得2π•3=120⋅π⋅R180，解得R＝9，
所以该圆锥体的侧面积=12•2π•3•9＝27π．
故答案为27π．
15．（4分）下列四个命题：
①一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；
②一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；
③一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；
④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．
其中假命题的是 　①③④　．（只填序号）
【分析】根据平行四边形的判定定理，逐项判断即可．
【解答】解：①一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形，不能证明另一组对边也相等或平行，故错误，是假命题；
②一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形，可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等．故是平行四边形，是真命题；
③一组对边相等，一组对角相等的四边形，不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行，故错误，是假命题；
④一组对边平行，另一组对边相等的四边形，不能证明一组对边平行且相等，故错误，是假命题；
故答案为：①③④．
16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，sin∠A=35，将平行四边形ABCD放置在平面直角坐标系中，且AD⊥x轴，点D的横坐标为1，点C的纵坐标为2，恰有一条双曲线y=kx（k＞0，x＞0）同时经过B，D两点，则点B的纵坐标是 　34　．

【分析】连接DB，作BH⊥AD于H，DE⊥BC于E，如图，先利用三角函数的定义得到sin∠A=BDAD=35，设BD＝3t，则AD＝5t，AB＝4t，BH=125t，再利用平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC＝5t，CD＝AB＝4t，接着计算出CE=165t，，然后表示出B（1+125t，2﹣5t），k＝2−165t，再利用反比例函数图象上点的坐标特征得到2−165t＝（1+125t）（2﹣5t），解方程求出t即可求得点B的纵坐标．
【解答】解：连接DB，作BH⊥AD于H，DE⊥BC于E，如图，
∵AB⊥BD，
∴∠ABD＝90°，
在Rt△ABD中，sin∠A=BDAD=35，
设BD＝3t，则AD＝5t，
∴AB=AD2−BD2=4t，
在Rt△ABH中，sin∠A=BHAB=35，
∴BH=35•4t=125t，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝5t，CD＝AB＝4t，
而AD⊥x轴，
∴BC⊥x轴，
在Rt△CDE中，CE=DC2−DE2=(4t)2−(125t)2=165t，
∵点D的横坐标为1，点C的纵坐标为2，
∴D（1，k），B（1+125t，2﹣5t），k＝2−165t，
∵双曲线y=kx（k＞0，x＞0）同时经过B，D两点，
∵1•k＝（1+125t）（2﹣5t），即2−165t＝（1+125t）（2﹣5t），
整理得4t2﹣t＝0，解得t1＝0（舍去），t2=14，
∴2﹣5t＝2﹣5×14=34，
故答案为：34．

三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（8分）计算：4cos30°+2﹣1−12．
【分析】原式利用特殊角的三角函数值，负整数指数幂法则，以及二次根式性质计算即可求出值．
【解答】解：原式＝4×32+12−23=12．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：BE＝DF．

【分析】本题考查平行四边形性质的应用，要证BE＝DF，可以通过证△ABE≌△CDF转而证得边BE＝DF．要证△ABE≌△CDF，由平行四边形的性质知AB＝CD，AB∥CD，∠BAE＝∠DCF，又知AE＝CF，于是可由SAS证明△ABE≌△CDF，从而BE＝DF得证．本题还可以通过证△ADF≌△CBE来证线段相等．
【解答】证明：证法一：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD．
∴∠BAE＝∠DCF．
在△ABE和△CDF中，
AB=CD∠BAE=∠DCFAE=CF
∴△ABE≌△CDF．
∴BE＝DF．
证法二：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠DAF＝∠BCE．
∵AE＝CF，
∴AF＝AE+EF＝CF+EF＝CE．
在△ADF和△CBE中，
AD=BC∠DAF=∠BCEAF=CE
∴△ADF≌△CBE．
∴BE＝DF．
19．（8分）先化简，再求值：2x+1−x−3x2−1，其中x＝2021．
【分析】根据分式的减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：2x+1−x−3x2−1
=2(x−1)−(x−3)(x+1)(x−1)
=2x−2−x+3(x+1)(x−1)
=x+1(x+1)(x−1)
=1x−1，
当x＝2021时，原式=12021−1=12020．
20．（8分）已知直线l：y＝kx（k≠0）经过点A（﹣1，2）．点P为直线l上一点，其横坐标为m．过点P作y轴的垂线，与函数y=4x（x＞0）的图象交于点Q．
（1）求k的值；
（2）①求点Q的坐标（用含m的式子表示）；
②若△POQ的面积大于3，直接写出点P的横坐标m的取值范围．

【分析】（1）将点A的坐标代入y＝kx得：2＝﹣k，即可求解；
（2）①设点P的坐标为（m，﹣2m），当y＝﹣2m=4x时，x=−2m，即可求解；
②由△POQ的面积=12PQ×yP=12×（−2m−m）×（﹣2m）＞3，即可求解．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入y＝kx得：2＝﹣k，
即k＝﹣2；

（2）①由（1）知，y＝﹣2x，
设点P的坐标为（m，﹣2m），
当y＝﹣2m=4x时，x=−2m，
故点Q的坐标为（−2m，﹣2m）；
②△POQ的面积=12PQ×yP=12×（−2m−m）×（﹣2m）＞3，

解得m＞1或m＜﹣1，
由函数y=4x（x＞0），则m＜0，
故m＜﹣1．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点M是BC的中点．
（1）在AM上求作一点E，使△ADE∽△MAB（尺规作图，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求AE的长．

【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）先根据矩形的性质，得到AD∥BC，则∠DAE＝∠AMB，又由∠DEA＝∠B，根据有两角对应相等的两三角形相似，即可证明出△DAE∽△AMB，根据相似三角形的对应边成比例，即可求出DE的长，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解（1）过D 作DE⊥AM于E，△ADE即为所求；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AMB，
又∵∠DEA＝∠B＝90°，
∴△DAE∽△AMB，
∴DE：AD＝AB：AM，
∵M是边BC的中点，BC＝6，
∴BM＝3，
又∵AB＝4，∠B＝90°，
∴AM＝5，
∴DE：6＝4：5，
∴DE=245，
∴AE=AD2−DE2=62−(245)2=185．

22．（10分）如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，∠ABE＝2∠E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tanE=13，BD＝1，求AB的长．

【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到∠ABE＝∠BOC，根据平行线的性质得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙O的切线；
（2）连接AC，BC，根据圆周角定理得到∠BCE＝90°，推出∠BCD＝∠OCE，得到∠BCD＝∠E，根据三角函数的定义得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OE＝OC，
∴∠E＝∠OCE，
∵∠BOC＝∠E+∠OCE，
∴∠BOC＝2∠E，
∵∠ABE＝2∠E
∴∠ABE＝∠BOC，
∴AB∥OC，
∵AB⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接AC，BC，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BCE＝90°，
∴∠OCE+∠OCB＝90°，
∵∠OCB+∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝∠OCE，
∴∠BCD＝∠E，
∵∠A＝∠E，tanE=13，BD＝1，
∴CDAD=BDCD=13，
∴AD＝9，
∴AB＝8．

23．（10分）中国人民大学和法国调查公司益普素合作，调查了腾讯服务的6000名用户（男性4000人，女性2000人），从中随机抽取了60名（女性20人），统计他们出门随身携带现金（单位：元），规定：随身携带的现金在100元以下（不含100元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”．
（1）①：根据已知条件，将下列表格补充完整（其中a＝30，d＝8）．

手机支付
非手机支付
合计
男
a
b
　40　
女
c
d
　20　
合计
　42　
　18　
60
②：用样本估计总体，由①可得，若从腾讯服务的女性用户中随机抽取1位，这1位女性用户是“手机支付族”的概率是多少？
（2）某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案：
方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元；
方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖一次，抽奖规则如下：从装有4个小球（其中2个红球2个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出2个小球（逐个放回后抽取），若摸到1个红球则打9折，若摸到2个红球则打8.5折，若未摸到红球按原价付款．
如果你打算用手机支付购买某样价值1500元的商品，请从实际付款的平均金额的角度分析，选择哪种优惠方案更划算．
【分析】（1）①由题意从中随机抽取了60名（女性20人）得c+d＝20，男性为60﹣20＝40（人），则a+b＝40，再求出b＝10，c＝12，即可解决问题；
②直接由概率公式求解即可；
（2）求出选方案一，则需付款：1500﹣100＝1400（元），再由树状图法和加权平均数求出选方案二实际付款的平均金额，然后比较大小即可．
【解答】解：（1）①∵从中随机抽取了60名（女性20人），
∴c+d＝20，男性为：60﹣20＝40（人），
∴a+b＝40，
∵a＝30，d＝8，
∴b＝10，c＝12，
∴a+c＝42，b+d＝18，
故答案为：40，20，42，18；
②若从腾讯服务的女性用户中随机抽取1位，这1位女性用户是“手机支付族”的概率是1220=35；
（2）若选方案一，则需付款：1500﹣100＝1400（元）；
若选方案二，设实际付款为x元，
则x＝1500元或x＝1500×0.9＝1350（元）或x＝1275（元），
设两个红球为A、B，两个白球为C、D，
画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中摸到1个红球的结果有8种，摸到2个红球的结果有4种，未摸到红球的结果有4种，
∴摸到1个红球的概率为816=12，则打9折，
摸到2个红球的概率为416=14，则打8.5折，
未摸到红球的概率为416=14，按原价付款，
∴实际付款的平均金额为：1350×12+1275×14+1500×14=1368.75（元），
∵1368.75＜1400，
∴选择方案二更划算．
24．（12分）如图1，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝AC，点E在线段AD上，点F在线段AC上，连接EF，且EF∥CD．
（1）连接BE，若AE＝3，AB＝32，求线段BE的长．
（2）将△AFE绕A点沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接BF、CF，CF交AE边于点P，延长BF交AE于M，且M为AE的中点，求证：AE+BF＝2AP．
（3）如图3，将△AEF绕A点沿逆时针方向旋转，连接CF，N为CF的中点，连接BN、AN，若ABAF=455，在旋转的过程中，当线段BN的长最大时，请直接写出S△ACNS△BCN的值．
【分析】（1）如图1中，过点B作BH⊥DA交DA的延长线于H．解直角三角形求出BH，HE即可解决问题．
（2）如图2中，作BT∥FE交AE的延长线于T，连接CT．想办法证明BF＝ET，PA＝PT即可解决问题．
（3）如图3中，取AC的中点J，连接BJ，JN．AF=5m，AB＝4m，首先说明当B，J，N共线时，BN的值最大，如图3﹣2中，过点N作NH⊥AC于H，NK⊥BC于K，过点J作JT⊥BC于T．分别求出△ACN，△BCN的面积（用m表示），即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，过点B作BH⊥DA交DA的延长线于H．

∵AB＝AC，AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠HAB＝∠ABC＝45°，
∵∠H＝90°，
∴∠ABH＝∠BAH＝45°，
∴HB＝HA，
∵AB＝32，
∴HB＝HA＝3，HE＝HA+AE＝3+3＝6，
∴BE=BH2+HE2=32+62=35．

（2）如图2中，作BT∥FE交AE的延长线于T，连接CT．

由（1）可知，△AFE是等腰直角三角形，
∴FA＝FE，∠AFE＝90°，
∵AM＝ME，
∴BM⊥AE，FM＝ME＝AM，
∴∠MFE＝∠MEF＝45°，
∵BT∥FE，
∴∠MFE＝∠MBT＝45°，∠MTB＝∠MEF＝45°，
∴∠MBT＝∠MTB＝45°，
∴BM＝MT，
∵∠ABC＝∠MBT＝45°，
∴∠ABM＝∠CBT，
∵ABBC=BMBT=22，
∴△ABM∽△CBT，
∴AMCT=22，∠AMB＝∠CTB＝90°，
∴CT=2AM，
∵AF=2AM，
∴AF＝CT，
∴CT⊥BT，
∵AF⊥EF，EF∥CF，
∴AF∥CT，
∴∠FAP＝∠CTP，
∵∠APF＝∠TPC，
∴△APF≌△TPC（AAS），
∴PA＝PT，
∵BM＝MT，MF＝ME，
∴FB＝ET，
∴AE+BF＝AE+ET＝AT＝2AP．

（3）如图3中，取AC的中点J，连接BJ，JN．

∵AB：AF＝45：5，
∴可以假设AF=5m，AB＝4m，
∴AJ＝JC＝2m，BJ=AB2+AJ2=(4m)2+(2m)2=25m，
∵AJ＝JC，FN＝CN，
∴JN=12AF=52m，
∵BN≤BJ+JN，
∴BN≤552m，
∴当B，J，N共线时，BN的值最大，如图3﹣2中，过点N作NH⊥AC于H，NK⊥BC于K，过点J作JT⊥BC于T．

∵AB∥NH，
∴NHAB=JNBJ，
∴NH4m=52m25m，
∴HN＝m，
∴S△ACN=12×4m×m＝2m2，
∵JT∥NH，JT=2m，
∴JTNK=BJBN，
∴2mNK=25m552m，
∴NK=524m，
∴S△BCN=12×42m×524m＝5m2，
∴S△ACNS△BCN=2m25m2=25．
25．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）．
（1）若点（﹣1，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；
（2）该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，y1−y2x1−x2＞0；当0＜x1＜x2时，y1−y2x1−x2＜0，抛物线与x轴交于点B，C，若△ABC为等腰直角三角形．
①求抛物线的解析式；
②点P与点O关于点A对称，点D在抛物线上，点D关于抛物线对称轴的对称点为E，若直线PD与抛物线存在另一交点F，求证：E，O，F三点在同一条直线上．
【分析】（1）将点A（0，2），点（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx+c即可求解；
（2）①由已知可得抛物线的对称轴为y轴，开口向下，点B，C关于y轴对称，不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为（2，0），由点C在抛物线上，且c＝2，b＝0，所以4a+2＝0，解得a=−12，则抛物线的解析式为y=−12x2+2；②由点P是点O关于点A的对称点，可求点P（0，4），设点D坐标为D(m，−12m2+2)，则m≠0，则点E坐标为E(−m，−12m2+2)，求出直线PD表达式为y=−(m2+2m)x+4，把y=−(m2+2m)x+4代入y=−12x2+2，得x1＝m，x2=4m，求出点F=(4m，−8m2+2)，设直线OE的表达式为y＝px，则−pm=−12m2+2，则p=m2−2m，直线OE的表达式为y=(m2−2m)x，当x=4m时，y=4m(m2−2m)=−8m2+2，这说明点F在直线OE上，可证E，O，F三点在同一条直线上．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2），
∴c＝2，
又∵点（﹣1，0）也在该抛物线上，
∴a×（﹣1）2﹣b+c＝0，
∴a﹣b+2＝0（a≠0）；
（2）①∵当x1＜x2＜0时，y1−y2x1−x2＞0，
∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＜0，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大；
同理：当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴抛物线的对称轴为y轴，开口向下，
∴b＝0，
∵抛物线与x轴交于点B，C，△ABC为等腰直角三角形，
∴点B，C关于y轴对称，
∵△ABC为等腰直角三角形，A（0，2），
不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为（2，0），
∵点C在抛物线上，且c＝2，b＝0，
∴4a+2＝0，
∴a=−12，
∴抛物线的解析式为y=−12x2+2；
②证法一：∵点P是点O关于点A的对称点，
∴OP＝2OA＝4，
∴点P的坐标为（0，4），
设点D坐标为D(m，−12m2+2)，则m≠0，
∴点E坐标为E(−m，−12m2+2)，
设直线PD的表达式为y＝kx+b，
则b=4mk+b=−12m2+2，
∴k=−(m2+2m)b=4，
∴直线PD表达式为y=−(m2+2m)x+4，
把y=−(m2+2m)x+4代入y=−12x2+2，得−(m2+2m)x+4=−12x2+2，
解得x1＝m，x2=4m，
当x1＝m时，y1=−12m2+2；
当x2=4m时，y2=−8m2+2，
∴点F坐标为(4m，−8m2+2)，
设直线OE的表达式为y＝px，则−pm=−12m2+2，
∴p=m2−2m，
直线OE的表达式为y=(m2−2m)x，
当x=4m时，y=4m(m2−2m)=−8m2+2，
这说明点F在直线OE上，
∴E，O，F三点在同一条直线上．
②证法二：
∵点P是点O关于点A的对称点，
∴OP＝2OA＝4，
∴点P的坐标为（0，4），
设点D坐标为D(m，−12m2+2)，则m≠0，
∴点E坐标为E(−m，−12m2+2)，
设直线PD的表达式为y＝kx+b，则b=4mk+b=−12m2+2，
∴k=−(m2+2m)b=4，
∴直线PD表达式为y=−(m2+2m)x+4．
把y=−(m2+2m)x+4代入y=−12x2+2，得−(m2+2m)x+4=−12x2+2，
解得x1＝m，x2=4m，
当x1＝m时，y1=−12m2+2；
当x2=4m时，y2=−8m2+2，
∴点F坐标为(4m，−8m2+2)，
设直线OE的表达式为y＝px，则−pm=−12m2+2，
∴p=m2−2m，
∴直线OE的表达式为y=(m2−2m)x，
设直线OF的表达式为y＝qx，则4qm=−8m2+2，
∴q=m2−2m，
∴直线OF的表达式为y=(m2−2m)x，
∴直线OE，OF是同一条直线，即点E，O，F三点在同一条直线上．