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2022年河南省新乡市辉县市中考数学一模试卷（word版含答案）
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这是一份2022年河南省新乡市辉县市中考数学一模试卷（word版含答案），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年河南省新乡市辉县市中考数学一模试卷
一、单选题。
1．﹣3的绝对值是（ ）
A．13 B．﹣3 C．3 D．±3
2．千磨万击还坚劲，任尔东西南北风．在全球疫情肆虐的大背景下，一场自上世纪大萧条以来最严重的经济衰退也随之而来，但是率先控制疫情、率先启动复工复产、率先实现经济增长转正的中国，1月18日，国家统计局发布了2020年中国经济年报，经过初步核算，全年国内生产总值达101万亿元！数据101万亿用科学记数法可表示为（ ）
A．10.1×1010 B．1.01×1011 C．1.01×1013 D．1.01×1014
3．下列计算结果正确的是（ ）
A．a8÷a4＝a2 B．a2•a3＝a6
C．（a3）2＝a6 D．（﹣2a2）3＝8a6
4．现在道路上的车辆是越来越多了，如果没有交通规则约束和交通标志指示，那么路上的车辆一定是混杂堵塞，所以开车时一定要看清标志，文明驾车．下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知xx+y=35，则yx=（ ）
A．25 B．34 C．32 D．23
6．把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中∠C＝90°，∠F＝90°，∠D＝30°，∠A＝45°，则∠1+∠2等于（ ）
A．270° B．210° C．180° D．150°
7．如图，在⊙O中，AB=AC，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．40° B．30° C．20° D．15°
8．如图，菱形ABCD放置在直线l上（AB与直线l重合），AB＝4，∠DAB＝60°，将菱形ABCD沿直线l向右无滑动地在直线l上滚动，从点A离开出发点到点A第一次落在直线l上为止，点A运动经过的路径总长度为（ ）
A．163π3 B．16π3 C．4π3+43π3 D．8π3+83π3
9．对于二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a+3的性质，下列说法中错误的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线x＝1
B．抛物线一定经过两定点（﹣1，3）与（3，3）
C．当a＜0时，抛物线与x轴一定有两个不同的交点
D．当a＞0时，抛物线与x轴一定有两个不同的交点
10．如图，已知四边形ABCD为矩形，点B在第一象限角平分线上，BC∥x轴，OB=2AB，反比例函数y=kx（k＞0）过点A交BC于点E，连接OA、AE、OE，△AOE的面积为6，则k＝（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空题。
11．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx+b（k≠0）与y=mx（m≠0）的图象相交于点A（2，3），B（﹣6，﹣1），则关于x的不等式kx+b＞mx的解集是 ．
12．已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则x2x1+x1x2的值为 ．
13．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为 ．
14．如图，四边形ABCD为正方形，且边长AB＝15，点E是以AB为直径的圆上一动点，当tan∠EAB=34时，DE的长度为 ．
15．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP＝ ．
三、解答题。
16．计算：
（1）计算：22−(−12)−2+3−1−19+(π−3.14)0；
（2）计算：a2a−3−a−3；
（3）计算，使结果不含负整指数幂：（3a2b）﹣2（a﹣3b﹣2）﹣1．
17．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为12．
（1）布袋里红球有多少个？
（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．
18．目前节能灯在城市已基本普及，今年山东省面向县级及农村地区推广，为响应号召，某商场计划购进甲，乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进价、售价如下表：
进价（元/只）
售价（元/只）
甲型
25
30
乙型
45
60
（1）如何进货，进货款恰好为46000元？
（2）如何进货，商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，此时利润为多少元？
19．如图，已知⊙O的直径AB＝4，点C、D分别为⊙O上的两点，CD=BD，过点D作DE⊥AB于点E，⊙O的切线DF与直线AF交于点F，且AF过点C，连接BD、AD．
（1）求证：CF＝BE；
（2）填空：
①当AD＝ 时，四边形AODC是菱形；
②当AD＝ 时，四边形AEDF是正方形．
20．学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m．参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，3≈1.73．）
（1）求灯杆AB的高度；
（2）求CD的长度．
21．如图，已知A（﹣4，12），B（﹣1，m）是一次函数y＝kx+b与反比例函数y=−2x（x＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）求一次函数解析式及m的值；
（2）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
22．在平面直角坐标系中，已知点A（1，4），B（﹣1，0），C（0，2），抛物线y＝ax2+bx+3经过A，B，C三点中的两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点M（m，n）为（1）中所求抛物线上一点，且0＜m＜4，求n的取值范围；
（3）一次函数y＝（k﹣1）x﹣3k+3（其中k≠1）与（1）中所求抛物线交点的横坐标分别是x1和x2，且x1＜﹣1＜x2，请直接写出k的取值范围．
23．如图1，在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为斜边AB上一点，过点P作射线PD⊥PE，分别交AC、BC于点D，E．
（1）问题产生
若P为AB中点，当PD⊥AC，PE⊥BC时，PDPE= ；
（2）问题延伸
在（1）的情况下，将若∠DPE绕着点P旋转到图2的位置，PDPE的值是否会发生改变？如果不变，请证明；如果改变，请说明理由；
（3）问题解决
如图3，连接DE，若△PDE与△ABC相似，求BP的值．
2022年河南省新乡市辉县市中考数学一模试卷
答案与解析
一、单选题。
1．﹣3的绝对值是（ ）
A．13 B．﹣3 C．3 D．±3
【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．
【解答】解：﹣3的绝对值是3．
故选：C．
2．千磨万击还坚劲，任尔东西南北风．在全球疫情肆虐的大背景下，一场自上世纪大萧条以来最严重的经济衰退也随之而来，但是率先控制疫情、率先启动复工复产、率先实现经济增长转正的中国，1月18日，国家统计局发布了2020年中国经济年报，经过初步核算，全年国内生产总值达101万亿元！数据101万亿用科学记数法可表示为（ ）
A．10.1×1010 B．1.01×1011 C．1.01×1013 D．1.01×1014
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将101万亿用科学记数法表示为：1.01×1014．
故选：D．
3．下列计算结果正确的是（ ）
A．a8÷a4＝a2 B．a2•a3＝a6
C．（a3）2＝a6 D．（﹣2a2）3＝8a6
【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方法则，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a8÷a4＝a4，故A错误；
B、a2•a3＝a5，故B错误；
C、（a3）2＝a6，故C正确；
D、（﹣2a2）3＝﹣8a6，故D错误．
故选：C．
4．现在道路上的车辆是越来越多了，如果没有交通规则约束和交通标志指示，那么路上的车辆一定是混杂堵塞，所以开车时一定要看清标志，文明驾车．下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
5．已知xx+y=35，则yx=（ ）
A．25 B．34 C．32 D．23
【分析】根据比例的性质求出2x＝3y，再根据比例的性质求出答案即可．
【解答】解：xx+y=35，
5x＝3x+3y，
2x＝3y，
所以yx=23，
故选：D．
6．把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中∠C＝90°，∠F＝90°，∠D＝30°，∠A＝45°，则∠1+∠2等于（ ）
A．270° B．210° C．180° D．150°
【分析】根据三角形的外角的性质分别表示出∠1和∠2，计算即可．
【解答】解：如图：
∵∠1＝∠D+∠DOA，∠2＝∠F+∠FPB，
∵∠DOA＝∠COP，∠EPB＝∠CPO，
∴∠1+∠2＝∠D+∠F+∠COP+∠CPO＝∠D+∠F+180°﹣∠C＝30°+90°+180°﹣90°＝210°．
故选：B．
7．如图，在⊙O中，AB=AC，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．40° B．30° C．20° D．15°
【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC＝∠AOB＝40°，再由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：连接CO，如图：
∵在⊙O中，AB=AC，
∴∠AOC＝∠AOB，
∵∠AOB＝40°，
∴∠AOC＝40°，
∴∠ADC=12∠AOC＝20°，
故选：C．
8．如图，菱形ABCD放置在直线l上（AB与直线l重合），AB＝4，∠DAB＝60°，将菱形ABCD沿直线l向右无滑动地在直线l上滚动，从点A离开出发点到点A第一次落在直线l上为止，点A运动经过的路径总长度为（ ）
A．163π3 B．16π3 C．4π3+43π3 D．8π3+83π3
【分析】画出图形即可知道，从点A离开出发点到点A第一次落在直线l上为止，点A运动经过的路径的长度为图中的弧线长，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，从点A离开出发点到点A第一次落在直线l上为止，点A运动经过的路径的长度为图中弧线长．
由题意可知AD=A2A3，∠DOA2＝120°，DO＝43，
所以点A运动经过的路径的长度＝2×60π×4180+120π×43180=83π+833π，
故选：D．
9．对于二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a+3的性质，下列说法中错误的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线x＝1
B．抛物线一定经过两定点（﹣1，3）与（3，3）
C．当a＜0时，抛物线与x轴一定有两个不同的交点
D．当a＞0时，抛物线与x轴一定有两个不同的交点
【分析】根据二次函数对称轴公式x=−b2a可判断A，将y＝ax2﹣2ax﹣3a+3变形为y＝（x2﹣2x﹣3）a+3，令a的系数为0可判断B，用a的代数式表达出△，分a＜0和a＞0讨论△符号即可判断C、D．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a+3对称轴为x=−(−2a)2a=1，
∴A正确，不符合题意；
∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a+3＝（x2﹣2x﹣3）a+3，
∴当x2﹣2x﹣3＝0，即x＝﹣1或3时，y＝3，
∴抛物线一定经过两定点（﹣1，3）与（3，3），
故B正确，不符合题意；
∵△＝（﹣2a）2﹣4a（﹣3a+3）＝16a2﹣12a＝4a（4a﹣3），
当a＜0时，4a＜0，4a﹣3＜0，
∴4a（4a﹣3）＞0，即Δ＞0，
∴C正确，不符合题意；
而当抛物线与x轴一定有两个不同的交点可得：△＝4a（4a﹣3）＞0，解得a＜0或a＞34，
∴D不正确，符合题意；
故选：D．
10．如图，已知四边形ABCD为矩形，点B在第一象限角平分线上，BC∥x轴，OB=2AB，反比例函数y=kx（k＞0）过点A交BC于点E，连接OA、AE、OE，△AOE的面积为6，则k＝（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】借助反比例函数K的几何意义，运用面积法求解
【解答】解：如图，
过点B，E分别作BF，EH⊥x轴，设OF＝m，
OB为角平分线，∴BF＝m，OB=2m，AB＝m，OH=km，
S△AOE＝S△OAF+S梯形AFHE﹣S△OHE=k2+12×(m+2m)×(km−m)−k2=6，
即k﹣m2＝4，
将A（m，2m）代入反比例函数y=kx得，k＝2m2，
即k−k2=4，
k＝8．
故选：C．
二、填空题。
11．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx+b（k≠0）与y=mx（m≠0）的图象相交于点A（2，3），B（﹣6，﹣1），则关于x的不等式kx+b＞mx的解集是 ﹣6＜x＜0或x＞2 ．
【分析】不等式kx+b＞mx的解集，在图象上即为一次函数的图象在反比例函数图象的上方时的自变量的取值范围．
【解答】解：不等式kx+b＞mx的解集为：﹣6＜x＜0或x＞2，
故答案为：﹣6＜x＜0或x＞2．
12．已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则x2x1+x1x2的值为 10 ．
【分析】先根据根与匇的关系得到x1+x2＝﹣6，x1x2＝3，再运用通分和完全平方公式变形得到x2x1+x1x2=(x1+x2)2−2x1x2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣6，x1x2＝3，
所以x2x1+x1x2=x12+x22x1x2=(x1+x2)2−2x1x2x1x2=(−6)2−2×33=10．
故答案为10．
13．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为 12 ．
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答．
【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，
∴菱形的面积=12×6×8＝24，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积=12×24＝12．
故答案为：12．
14．如图，四边形ABCD为正方形，且边长AB＝15，点E是以AB为直径的圆上一动点，当tan∠EAB=34时，DE的长度为 317或365 ．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得∠AEB＝90°，解直角三角形得BE＝9，AE＝12，过点E分别作EP⊥AD于P，EQ⊥AB于Q，则四边形AQEP为矩形，可得出AP＝EQ=365，PE＝AQ=485，然后分两种情况利用勾股定理求解即可．
【解答】解：∵点E是以AB为直径的圆上一动点，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BE，
∵tan∠EAB=34，
∴BEAE=34，
设BE＝3x，AE＝4x，
∴AB=AE2+BE2=5x，
∵AB＝5x＝15，解得：x＝3，
∴BE＝9，AE＝12，
过点E分别作EP⊥AD于P，EQ⊥AB于Q，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB⊥AD，
∴四边形AQEP为矩形，
∴AP＝EQ，
∵sin∠EAQ=EQAE=BEAB=35，cos∠EAQ=AQAE=AEAB=45，
∴AP＝EQ=35AE，PE＝AQ=45AE，
∵AB＝15，
∴AP＝EQ=365，PE＝AQ=485，
当点E在AB上方时，
DE=(AD−AP)2+PE2=153=317，
当点E在AB下方时，
DE=(AD+AP')2+P'E'2=585=365．
∴DE的长度为317或365．
故答案为：317或365．
15．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP＝ 1或4或2.5 ．
【分析】需要分类讨论：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，根据该相似三角形的对应边成比例求得DP的长度．
【解答】解：①当△APD∽△PBC时，ADPC=PDBC，
即25−PD=PD2，
解得：PD＝1，或PD＝4；
②当△PAD∽△PBC时，ADBC=PDPC，即22=PD5−PD，
解得：DP＝2.5．
综上所述，DP的长度是1或4或2.5．
故答案是：1或4或2.5．
三、解答题。
16．计算：
（1）计算：22−(−12)−2+3−1−19+(π−3.14)0；
（2）计算：a2a−3−a−3；
（3）计算，使结果不含负整指数幂：（3a2b）﹣2（a﹣3b﹣2）﹣1．
【分析】（1）化简有理数的乘方，负整数指数幂，算术平方根，零指数幂，然后再算加减；
（2）将原式进行通分，然后再计算；
（3）利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算乘方，然后根据单项式乘单项式的运算法则计算乘法，最后根据负整数指数幂的运算法则进行化简．
【解答】解：（1）原式＝4﹣4+13−13+1
＝1；
（2）原式=a2a−3−(a+3)(a−3)a−3
=a2−a2+9a−3
=9a−3；
（3）原式＝3﹣2a﹣4b﹣2•（a3b2）
＝3﹣2a﹣1
=19a．
17．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为12．
（1）布袋里红球有多少个？
（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．
【分析】（1）设红球的个数为x，根据白球的概率可得关于x的方程，解方程即可；
（2）画出树形图，即可求出两次摸到的球都是白球的概率．
【解答】解：（1）设红球的个数为x，由题意可得：
22+1+x=12，
解得：x＝1，经检验x＝1是方程的根，
即红球的个数为1个；
（2）画树状图如下：
∴P（摸得两白）=212=16．
18．目前节能灯在城市已基本普及，今年山东省面向县级及农村地区推广，为响应号召，某商场计划购进甲，乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进价、售价如下表：
进价（元/只）
售价（元/只）
甲型
25
30
乙型
45
60
（1）如何进货，进货款恰好为46000元？
（2）如何进货，商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，此时利润为多少元？
【分析】（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1200﹣x）只，根据两种节能灯的总价为46000元建立方程求出其解即可；
（2）设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯（1200﹣a）只，商场的获利为y元，由销售问题的数量关系建立y与a的解析式就可以求出结论．
【解答】解：（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1200﹣x）只，由题意，得
25x+45（1200﹣x）＝46000，
解得：x＝400．
∴购进乙型节能灯1200﹣400＝800（只）．
答：购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯800只进货款恰好为46000元；
（2）设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯（1200﹣a）只，商场的获利为y元，由题意，得
y＝（30﹣25）a+（60﹣45）（1200﹣a），
y＝﹣10a+18000．
∵商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，
∴﹣10a+18000≤[25a+45（1200﹣a）]×30%，
∴a≥450．
∵y＝﹣10a+18000，
∴k＝﹣10＜0，
∴y随a的增大而减小，
∴a＝450时，y最大＝13500元．
∴商场购进甲型节能灯450只，购进乙型节能灯750只时的最大利润为13500元．
19．如图，已知⊙O的直径AB＝4，点C、D分别为⊙O上的两点，CD=BD，过点D作DE⊥AB于点E，⊙O的切线DF与直线AF交于点F，且AF过点C，连接BD、AD．
（1）求证：CF＝BE；
（2）填空：
①当AD＝ 23 时，四边形AODC是菱形；
②当AD＝ 22 时，四边形AEDF是正方形．
【分析】（1）连接OD，CD，由切线的性质得出∠ODF＝90°，由圆周角定理得出∠ADB＝90°，得出∠ODB＝∠ADF，证出DE＝DF，证明Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），由全等三角形的性质得出结论；
（2）①由勾股定理求出BD的长，得出△OBD和△OCD是等边三角形，根据菱形的判定可得出结论；
②根据直角三角形的性质及正方形的判定可得出结论．
【解答】（1）证明：连接OD，CD，
∵FD是⊙O的切线，
∴∠ODF＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ODB＝∠ADF，
∵CD=BD，
∴∠CAD＝∠BAD，CD＝BD，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠B＝∠ADF，
又∵∠CAD＝∠BAD，
∴∠F＝∠ADB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴DE＝DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BD=CDDE=DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴CF＝BE；
（2）①解：连接OC，
当AD＝23时，四边形AODC是菱形．
∵∠ADB＝90°，AD＝23，AB＝4，
∴BD=AB2−AD2=2，
∴BD=12AB，
∴OD＝OA＝BD＝2，∠BAD＝30°，
又∵BD＝CD，
∴OA＝CD＝OD＝OC，
∴△ODC和△OBD都是等边三角形，
∴∠BOD＝∠ODC＝60°，
∴OA∥DC，
∴四边形AODC是平行四边形，
又∵OA＝OD，
∴四边形AODC是菱形；
故答案为23；
②当AD＝22时，四边形AEDF是正方形．
当AD＝22时，如图，点E与点O重合，点C与点A重合，
∵DE⊥CE，DF⊥ED，
∴CE∥DF，
∵△CED为等腰直角三角形，
∴CE＝OD＝DF，
∴四边形AEDF是正方形．
故答案为22．
20．学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m．参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，3≈1.73．）
（1）求灯杆AB的高度；
（2）求CD的长度．
【分析】（1）延长BA交CG于点E，根据直角三角形的性质求出AE，根据正切的定义求出CE，再根据正切的定义求出BE，计算即可；
（2）根据正切的定义求出DE，进而求出CD．
【解答】解：（1）延长BA交CG于点E，
则BE⊥CG，
在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，AC＝12m，
∴AE=12AC=12×12＝6（m），CE＝AC•cosα＝12×32=63（m），
在Rt△BCE中，∠BCE＝60°，
∴BE＝CE•tan∠BCE＝63×3=18（m），
∴AB＝BE﹣AE＝18﹣6＝12（m）；
（2）在Rt△BDE中，∠BDE＝27°，
∴CD＝DE﹣CE=BEtan∠BDE−63≈24.9（m）．
21．如图，已知A（﹣4，12），B（﹣1，m）是一次函数y＝kx+b与反比例函数y=−2x（x＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）求一次函数解析式及m的值；
（2）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
【分析】（1）把B（﹣1，m）代入反比例函数y=−2x可求出m的值，把A（﹣4，12），B（﹣1，2）代入一次函数y＝kx+b可求出k、b的值，进而确定一次函数的关系式：
（2）由于点P在直线y=12x+52上；可设P（x，12x+52），利用两个三角形的面积相等列方程求出x，进而确定点P的坐标．
【解答】解：（1）把B（﹣1，m）代入反比例函数y=−2x得，m＝2，
把A（﹣4，12），B（﹣1，2）代入一次函数y＝kx+b得：
则−4k+b=12−k+b=2，解得k=12b=52
∴一次函数的解析式为y=12x+52，
即：m＝2，一次函数的关系式为y=12x+52；
（2）连接PC、PD，如图，由于点P在直线y=12x+52上；
设P（x，12x+52）
由△PCA和△PDB面积相等得：12×12×（x+4）=12×1×（2−12x−52），
解得，x=−52，
把x=−52代入得，y=12×（−52）+52=54，
∴P点坐标是（−52，54）．
22．在平面直角坐标系中，已知点A（1，4），B（﹣1，0），C（0，2），抛物线y＝ax2+bx+3经过A，B，C三点中的两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点M（m，n）为（1）中所求抛物线上一点，且0＜m＜4，求n的取值范围；
（3）一次函数y＝（k﹣1）x﹣3k+3（其中k≠1）与（1）中所求抛物线交点的横坐标分别是x1和x2，且x1＜﹣1＜x2，请直接写出k的取值范围．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据抛物线图象上点的坐标特征，即可求得；
（3）根据一次函数和二次函数的性质即可求得．
【解答】解：（1）由题意可知：抛物线y＝ax2+bx+3经过A，B两点，
∴a+b+3=4a−b+3=0．
解得：a=−1b=2，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为（1，4），
当m＝0时，n＝3；当m＝4时，n＝﹣5，
∴当0＜m＜4时，﹣5＜n≤4；
（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝（x+1）（x﹣3），
∴抛物线开口向下，与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），
∵一次函数y＝（k﹣1）x﹣3k+3＝（k﹣1）（x﹣3），
∴一次函数y＝（k﹣1）x﹣3k+3的图象经过点（3，0），
∵一次函数y＝（k﹣1）x﹣3k+3（其中k≠1）与（1）中所求抛物线交点的横坐标分别是x1和x2，且x1＜﹣1＜x2，
∴一次函数y＝（k﹣1）x﹣3k+3经过一、三、四象限，
∴k﹣1＞0，
∴k＞1．
23．如图1，在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为斜边AB上一点，过点P作射线PD⊥PE，分别交AC、BC于点D，E．
（1）问题产生
若P为AB中点，当PD⊥AC，PE⊥BC时，PDPE= 43 ；
（2）问题延伸
在（1）的情况下，将若∠DPE绕着点P旋转到图2的位置，PDPE的值是否会发生改变？如果不变，请证明；如果改变，请说明理由；
（3）问题解决
如图3，连接DE，若△PDE与△ABC相似，求BP的值．
【分析】（1）可将PDPE转化为BEPE，进而根据△BEP∽△BCA求得结果；
（2）作PG⊥AC于G，作PH⊥BC于H，证明△PHE∽△PGD，进一步求得结果；
（3）当△PDE∽△CAB时，可证得点C、D、P、E共圆，进一步证得△BPC∽△BCA，进而求得BP，当△PDE∽△CBA时，则∠PDE＝∠B，同样得出∠PDE＝∠PCB，进而推出点P是AB的中点，从而求得BP．
【解答】解：（1）∵PD⊥AC，PE⊥BC，
∴∠PDC＝∠PEC＝∠C＝90°，
∴四边形CDPE是矩形，
∴PD＝CE，PE∥AC，
∴△BEP∽△BCA，
∴BEBC=BPAB==12，BEPE=BCAC=43，
∴BE=12BC，
∴CE＝BE，
∴PDPE=43，
故答案是：43
（2）如图1，
PDPE的值不变，理由如下：
作PG⊥AC于G，作PH⊥BC于H，
∴∠PGC＝∠PHC＝∠C＝90°，
∴四边形PHCG是矩形，
∴∠GPH＝90°，
∵PD⊥PE，
∴∠DPE＝90°，
∴∠DPE＝∠GPH，
∴∠HPE＝∠DPG，
∴△PHE∽△PGD，
∴PDPE=PGPH，
由（1）得：PGPH=43，
∴PDPE=43；
（3）如图2，
连接CP，
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
当△PDE∽△CAB时，则∠PDE＝∠A，
∵∠DPE+∠ACB＝90°+90°＝180°，
∴点C、D、P、E共圆，
∴∠PDE＝∠BCP，
∴∠BCP＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△BPC∽△BCA，
∴PBBC=BCAB，
∴PB4=45，
∴PB=165，
如图3，
当△PDE∽△CBA时，则∠PDE＝∠B，
由图2知，∠PDE＝∠PCB，
∴∠B＝∠PCB，
∴PC＝PB，
同理可得：PC＝PA，
∴PB＝PA，
∴PB=12AB=52，
综上所述：BP=165或52．
2022年河南省新乡市辉县市中考数学一模试卷
一、单选题。
1．﹣3的绝对值是（ ）
A．13 B．﹣3 C．3 D．±3
2．千磨万击还坚劲，任尔东西南北风．在全球疫情肆虐的大背景下，一场自上世纪大萧条以来最严重的经济衰退也随之而来，但是率先控制疫情、率先启动复工复产、率先实现经济增长转正的中国，1月18日，国家统计局发布了2020年中国经济年报，经过初步核算，全年国内生产总值达101万亿元！数据101万亿用科学记数法可表示为（ ）
A．10.1×1010 B．1.01×1011 C．1.01×1013 D．1.01×1014
3．下列计算结果正确的是（ ）
A．a8÷a4＝a2 B．a2•a3＝a6
C．（a3）2＝a6 D．（﹣2a2）3＝8a6
4．现在道路上的车辆是越来越多了，如果没有交通规则约束和交通标志指示，那么路上的车辆一定是混杂堵塞，所以开车时一定要看清标志，文明驾车．下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知xx+y=35，则yx=（ ）
A．25 B．34 C．32 D．23
6．把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中∠C＝90°，∠F＝90°，∠D＝30°，∠A＝45°，则∠1+∠2等于（ ）
A．270° B．210° C．180° D．150°
7．如图，在⊙O中，AB=AC，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．40° B．30° C．20° D．15°
8．如图，菱形ABCD放置在直线l上（AB与直线l重合），AB＝4，∠DAB＝60°，将菱形ABCD沿直线l向右无滑动地在直线l上滚动，从点A离开出发点到点A第一次落在直线l上为止，点A运动经过的路径总长度为（ ）
A．163π3 B．16π3 C．4π3+43π3 D．8π3+83π3
9．对于二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a+3的性质，下列说法中错误的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线x＝1
B．抛物线一定经过两定点（﹣1，3）与（3，3）
C．当a＜0时，抛物线与x轴一定有两个不同的交点
D．当a＞0时，抛物线与x轴一定有两个不同的交点
10．如图，已知四边形ABCD为矩形，点B在第一象限角平分线上，BC∥x轴，OB=2AB，反比例函数y=kx（k＞0）过点A交BC于点E，连接OA、AE、OE，△AOE的面积为6，则k＝（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空题。
11．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx+b（k≠0）与y=mx（m≠0）的图象相交于点A（2，3），B（﹣6，﹣1），则关于x的不等式kx+b＞mx的解集是 ．
12．已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则x2x1+x1x2的值为 ．
13．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为 ．
14．如图，四边形ABCD为正方形，且边长AB＝15，点E是以AB为直径的圆上一动点，当tan∠EAB=34时，DE的长度为 ．
15．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP＝ ．
三、解答题。
16．计算：
（1）计算：22−(−12)−2+3−1−19+(π−3.14)0；
（2）计算：a2a−3−a−3；
（3）计算，使结果不含负整指数幂：（3a2b）﹣2（a﹣3b﹣2）﹣1．
17．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为12．
（1）布袋里红球有多少个？
（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．
18．目前节能灯在城市已基本普及，今年山东省面向县级及农村地区推广，为响应号召，某商场计划购进甲，乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进价、售价如下表：
进价（元/只）
售价（元/只）
甲型
25
30
乙型
45
60
（1）如何进货，进货款恰好为46000元？
（2）如何进货，商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，此时利润为多少元？
19．如图，已知⊙O的直径AB＝4，点C、D分别为⊙O上的两点，CD=BD，过点D作DE⊥AB于点E，⊙O的切线DF与直线AF交于点F，且AF过点C，连接BD、AD．
（1）求证：CF＝BE；
（2）填空：
①当AD＝ 时，四边形AODC是菱形；
②当AD＝ 时，四边形AEDF是正方形．
20．学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m．参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，3≈1.73．）
（1）求灯杆AB的高度；
（2）求CD的长度．
21．如图，已知A（﹣4，12），B（﹣1，m）是一次函数y＝kx+b与反比例函数y=−2x（x＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）求一次函数解析式及m的值；
（2）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
22．在平面直角坐标系中，已知点A（1，4），B（﹣1，0），C（0，2），抛物线y＝ax2+bx+3经过A，B，C三点中的两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点M（m，n）为（1）中所求抛物线上一点，且0＜m＜4，求n的取值范围；
（3）一次函数y＝（k﹣1）x﹣3k+3（其中k≠1）与（1）中所求抛物线交点的横坐标分别是x1和x2，且x1＜﹣1＜x2，请直接写出k的取值范围．
23．如图1，在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为斜边AB上一点，过点P作射线PD⊥PE，分别交AC、BC于点D，E．
（1）问题产生
若P为AB中点，当PD⊥AC，PE⊥BC时，PDPE= ；
（2）问题延伸
在（1）的情况下，将若∠DPE绕着点P旋转到图2的位置，PDPE的值是否会发生改变？如果不变，请证明；如果改变，请说明理由；
（3）问题解决
如图3，连接DE，若△PDE与△ABC相似，求BP的值．
2022年河南省新乡市辉县市中考数学一模试卷
答案与解析
一、单选题。
1．﹣3的绝对值是（ ）
A．13 B．﹣3 C．3 D．±3
【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．
【解答】解：﹣3的绝对值是3．
故选：C．
2．千磨万击还坚劲，任尔东西南北风．在全球疫情肆虐的大背景下，一场自上世纪大萧条以来最严重的经济衰退也随之而来，但是率先控制疫情、率先启动复工复产、率先实现经济增长转正的中国，1月18日，国家统计局发布了2020年中国经济年报，经过初步核算，全年国内生产总值达101万亿元！数据101万亿用科学记数法可表示为（ ）
A．10.1×1010 B．1.01×1011 C．1.01×1013 D．1.01×1014
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将101万亿用科学记数法表示为：1.01×1014．
故选：D．
3．下列计算结果正确的是（ ）
A．a8÷a4＝a2 B．a2•a3＝a6
C．（a3）2＝a6 D．（﹣2a2）3＝8a6
【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方法则，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a8÷a4＝a4，故A错误；
B、a2•a3＝a5，故B错误；
C、（a3）2＝a6，故C正确；
D、（﹣2a2）3＝﹣8a6，故D错误．
故选：C．
4．现在道路上的车辆是越来越多了，如果没有交通规则约束和交通标志指示，那么路上的车辆一定是混杂堵塞，所以开车时一定要看清标志，文明驾车．下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
5．已知xx+y=35，则yx=（ ）
A．25 B．34 C．32 D．23
【分析】根据比例的性质求出2x＝3y，再根据比例的性质求出答案即可．
【解答】解：xx+y=35，
5x＝3x+3y，
2x＝3y，
所以yx=23，
故选：D．
6．把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中∠C＝90°，∠F＝90°，∠D＝30°，∠A＝45°，则∠1+∠2等于（ ）
A．270° B．210° C．180° D．150°
【分析】根据三角形的外角的性质分别表示出∠1和∠2，计算即可．
【解答】解：如图：
∵∠1＝∠D+∠DOA，∠2＝∠F+∠FPB，
∵∠DOA＝∠COP，∠EPB＝∠CPO，
∴∠1+∠2＝∠D+∠F+∠COP+∠CPO＝∠D+∠F+180°﹣∠C＝30°+90°+180°﹣90°＝210°．
故选：B．
7．如图，在⊙O中，AB=AC，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．40° B．30° C．20° D．15°
【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC＝∠AOB＝40°，再由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：连接CO，如图：
∵在⊙O中，AB=AC，
∴∠AOC＝∠AOB，
∵∠AOB＝40°，
∴∠AOC＝40°，
∴∠ADC=12∠AOC＝20°，
故选：C．
8．如图，菱形ABCD放置在直线l上（AB与直线l重合），AB＝4，∠DAB＝60°，将菱形ABCD沿直线l向右无滑动地在直线l上滚动，从点A离开出发点到点A第一次落在直线l上为止，点A运动经过的路径总长度为（ ）
A．163π3 B．16π3 C．4π3+43π3 D．8π3+83π3
【分析】画出图形即可知道，从点A离开出发点到点A第一次落在直线l上为止，点A运动经过的路径的长度为图中的弧线长，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，从点A离开出发点到点A第一次落在直线l上为止，点A运动经过的路径的长度为图中弧线长．
由题意可知AD=A2A3，∠DOA2＝120°，DO＝43，
所以点A运动经过的路径的长度＝2×60π×4180+120π×43180=83π+833π，
故选：D．
9．对于二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a+3的性质，下列说法中错误的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线x＝1
B．抛物线一定经过两定点（﹣1，3）与（3，3）
C．当a＜0时，抛物线与x轴一定有两个不同的交点
D．当a＞0时，抛物线与x轴一定有两个不同的交点
【分析】根据二次函数对称轴公式x=−b2a可判断A，将y＝ax2﹣2ax﹣3a+3变形为y＝（x2﹣2x﹣3）a+3，令a的系数为0可判断B，用a的代数式表达出△，分a＜0和a＞0讨论△符号即可判断C、D．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a+3对称轴为x=−(−2a)2a=1，
∴A正确，不符合题意；
∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a+3＝（x2﹣2x﹣3）a+3，
∴当x2﹣2x﹣3＝0，即x＝﹣1或3时，y＝3，
∴抛物线一定经过两定点（﹣1，3）与（3，3），
故B正确，不符合题意；
∵△＝（﹣2a）2﹣4a（﹣3a+3）＝16a2﹣12a＝4a（4a﹣3），
当a＜0时，4a＜0，4a﹣3＜0，
∴4a（4a﹣3）＞0，即Δ＞0，
∴C正确，不符合题意；
而当抛物线与x轴一定有两个不同的交点可得：△＝4a（4a﹣3）＞0，解得a＜0或a＞34，
∴D不正确，符合题意；
故选：D．
10．如图，已知四边形ABCD为矩形，点B在第一象限角平分线上，BC∥x轴，OB=2AB，反比例函数y=kx（k＞0）过点A交BC于点E，连接OA、AE、OE，△AOE的面积为6，则k＝（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】借助反比例函数K的几何意义，运用面积法求解
【解答】解：如图，
过点B，E分别作BF，EH⊥x轴，设OF＝m，
OB为角平分线，∴BF＝m，OB=2m，AB＝m，OH=km，
S△AOE＝S△OAF+S梯形AFHE﹣S△OHE=k2+12×(m+2m)×(km−m)−k2=6，
即k﹣m2＝4，
将A（m，2m）代入反比例函数y=kx得，k＝2m2，
即k−k2=4，
k＝8．
故选：C．
二、填空题。
11．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx+b（k≠0）与y=mx（m≠0）的图象相交于点A（2，3），B（﹣6，﹣1），则关于x的不等式kx+b＞mx的解集是 ﹣6＜x＜0或x＞2 ．
【分析】不等式kx+b＞mx的解集，在图象上即为一次函数的图象在反比例函数图象的上方时的自变量的取值范围．
【解答】解：不等式kx+b＞mx的解集为：﹣6＜x＜0或x＞2，
故答案为：﹣6＜x＜0或x＞2．
12．已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则x2x1+x1x2的值为 10 ．
【分析】先根据根与匇的关系得到x1+x2＝﹣6，x1x2＝3，再运用通分和完全平方公式变形得到x2x1+x1x2=(x1+x2)2−2x1x2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣6，x1x2＝3，
所以x2x1+x1x2=x12+x22x1x2=(x1+x2)2−2x1x2x1x2=(−6)2−2×33=10．
故答案为10．
13．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为 12 ．
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答．
【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，
∴菱形的面积=12×6×8＝24，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积=12×24＝12．
故答案为：12．
14．如图，四边形ABCD为正方形，且边长AB＝15，点E是以AB为直径的圆上一动点，当tan∠EAB=34时，DE的长度为 317或365 ．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得∠AEB＝90°，解直角三角形得BE＝9，AE＝12，过点E分别作EP⊥AD于P，EQ⊥AB于Q，则四边形AQEP为矩形，可得出AP＝EQ=365，PE＝AQ=485，然后分两种情况利用勾股定理求解即可．
【解答】解：∵点E是以AB为直径的圆上一动点，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BE，
∵tan∠EAB=34，
∴BEAE=34，
设BE＝3x，AE＝4x，
∴AB=AE2+BE2=5x，
∵AB＝5x＝15，解得：x＝3，
∴BE＝9，AE＝12，
过点E分别作EP⊥AD于P，EQ⊥AB于Q，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB⊥AD，
∴四边形AQEP为矩形，
∴AP＝EQ，
∵sin∠EAQ=EQAE=BEAB=35，cos∠EAQ=AQAE=AEAB=45，
∴AP＝EQ=35AE，PE＝AQ=45AE，
∵AB＝15，
∴AP＝EQ=365，PE＝AQ=485，
当点E在AB上方时，
DE=(AD−AP)2+PE2=153=317，
当点E在AB下方时，
DE=(AD+AP')2+P'E'2=585=365．
∴DE的长度为317或365．
故答案为：317或365．
15．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP＝ 1或4或2.5 ．
【分析】需要分类讨论：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，根据该相似三角形的对应边成比例求得DP的长度．
【解答】解：①当△APD∽△PBC时，ADPC=PDBC，
即25−PD=PD2，
解得：PD＝1，或PD＝4；
②当△PAD∽△PBC时，ADBC=PDPC，即22=PD5−PD，
解得：DP＝2.5．
综上所述，DP的长度是1或4或2.5．
故答案是：1或4或2.5．
三、解答题。
16．计算：
（1）计算：22−(−12)−2+3−1−19+(π−3.14)0；
（2）计算：a2a−3−a−3；
（3）计算，使结果不含负整指数幂：（3a2b）﹣2（a﹣3b﹣2）﹣1．
【分析】（1）化简有理数的乘方，负整数指数幂，算术平方根，零指数幂，然后再算加减；
（2）将原式进行通分，然后再计算；
（3）利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算乘方，然后根据单项式乘单项式的运算法则计算乘法，最后根据负整数指数幂的运算法则进行化简．
【解答】解：（1）原式＝4﹣4+13−13+1
＝1；
（2）原式=a2a−3−(a+3)(a−3)a−3
=a2−a2+9a−3
=9a−3；
（3）原式＝3﹣2a﹣4b﹣2•（a3b2）
＝3﹣2a﹣1
=19a．
17．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为12．
（1）布袋里红球有多少个？
（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．
【分析】（1）设红球的个数为x，根据白球的概率可得关于x的方程，解方程即可；
（2）画出树形图，即可求出两次摸到的球都是白球的概率．
【解答】解：（1）设红球的个数为x，由题意可得：
22+1+x=12，
解得：x＝1，经检验x＝1是方程的根，
即红球的个数为1个；
（2）画树状图如下：
∴P（摸得两白）=212=16．
18．目前节能灯在城市已基本普及，今年山东省面向县级及农村地区推广，为响应号召，某商场计划购进甲，乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进价、售价如下表：
进价（元/只）
售价（元/只）
甲型
25
30
乙型
45
60
（1）如何进货，进货款恰好为46000元？
（2）如何进货，商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，此时利润为多少元？
【分析】（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1200﹣x）只，根据两种节能灯的总价为46000元建立方程求出其解即可；
（2）设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯（1200﹣a）只，商场的获利为y元，由销售问题的数量关系建立y与a的解析式就可以求出结论．
【解答】解：（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1200﹣x）只，由题意，得
25x+45（1200﹣x）＝46000，
解得：x＝400．
∴购进乙型节能灯1200﹣400＝800（只）．
答：购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯800只进货款恰好为46000元；
（2）设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯（1200﹣a）只，商场的获利为y元，由题意，得
y＝（30﹣25）a+（60﹣45）（1200﹣a），
y＝﹣10a+18000．
∵商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，
∴﹣10a+18000≤[25a+45（1200﹣a）]×30%，
∴a≥450．
∵y＝﹣10a+18000，
∴k＝﹣10＜0，
∴y随a的增大而减小，
∴a＝450时，y最大＝13500元．
∴商场购进甲型节能灯450只，购进乙型节能灯750只时的最大利润为13500元．
19．如图，已知⊙O的直径AB＝4，点C、D分别为⊙O上的两点，CD=BD，过点D作DE⊥AB于点E，⊙O的切线DF与直线AF交于点F，且AF过点C，连接BD、AD．
（1）求证：CF＝BE；
（2）填空：
①当AD＝ 23 时，四边形AODC是菱形；
②当AD＝ 22 时，四边形AEDF是正方形．
【分析】（1）连接OD，CD，由切线的性质得出∠ODF＝90°，由圆周角定理得出∠ADB＝90°，得出∠ODB＝∠ADF，证出DE＝DF，证明Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），由全等三角形的性质得出结论；
（2）①由勾股定理求出BD的长，得出△OBD和△OCD是等边三角形，根据菱形的判定可得出结论；
②根据直角三角形的性质及正方形的判定可得出结论．
【解答】（1）证明：连接OD，CD，
∵FD是⊙O的切线，
∴∠ODF＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ODB＝∠ADF，
∵CD=BD，
∴∠CAD＝∠BAD，CD＝BD，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠B＝∠ADF，
又∵∠CAD＝∠BAD，
∴∠F＝∠ADB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴DE＝DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BD=CDDE=DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴CF＝BE；
（2）①解：连接OC，
当AD＝23时，四边形AODC是菱形．
∵∠ADB＝90°，AD＝23，AB＝4，
∴BD=AB2−AD2=2，
∴BD=12AB，
∴OD＝OA＝BD＝2，∠BAD＝30°，
又∵BD＝CD，
∴OA＝CD＝OD＝OC，
∴△ODC和△OBD都是等边三角形，
∴∠BOD＝∠ODC＝60°，
∴OA∥DC，
∴四边形AODC是平行四边形，
又∵OA＝OD，
∴四边形AODC是菱形；
故答案为23；
②当AD＝22时，四边形AEDF是正方形．
当AD＝22时，如图，点E与点O重合，点C与点A重合，
∵DE⊥CE，DF⊥ED，
∴CE∥DF，
∵△CED为等腰直角三角形，
∴CE＝OD＝DF，
∴四边形AEDF是正方形．
故答案为22．
20．学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m．参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，3≈1.73．）
（1）求灯杆AB的高度；
（2）求CD的长度．
【分析】（1）延长BA交CG于点E，根据直角三角形的性质求出AE，根据正切的定义求出CE，再根据正切的定义求出BE，计算即可；
（2）根据正切的定义求出DE，进而求出CD．
【解答】解：（1）延长BA交CG于点E，
则BE⊥CG，
在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，AC＝12m，
∴AE=12AC=12×12＝6（m），CE＝AC•cosα＝12×32=63（m），
在Rt△BCE中，∠BCE＝60°，
∴BE＝CE•tan∠BCE＝63×3=18（m），
∴AB＝BE﹣AE＝18﹣6＝12（m）；
（2）在Rt△BDE中，∠BDE＝27°，
∴CD＝DE﹣CE=BEtan∠BDE−63≈24.9（m）．
21．如图，已知A（﹣4，12），B（﹣1，m）是一次函数y＝kx+b与反比例函数y=−2x（x＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）求一次函数解析式及m的值；
（2）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
【分析】（1）把B（﹣1，m）代入反比例函数y=−2x可求出m的值，把A（﹣4，12），B（﹣1，2）代入一次函数y＝kx+b可求出k、b的值，进而确定一次函数的关系式：
（2）由于点P在直线y=12x+52上；可设P（x，12x+52），利用两个三角形的面积相等列方程求出x，进而确定点P的坐标．
【解答】解：（1）把B（﹣1，m）代入反比例函数y=−2x得，m＝2，
把A（﹣4，12），B（﹣1，2）代入一次函数y＝kx+b得：
则−4k+b=12−k+b=2，解得k=12b=52
∴一次函数的解析式为y=12x+52，
即：m＝2，一次函数的关系式为y=12x+52；
（2）连接PC、PD，如图，由于点P在直线y=12x+52上；
设P（x，12x+52）
由△PCA和△PDB面积相等得：12×12×（x+4）=12×1×（2−12x−52），
解得，x=−52，
把x=−52代入得，y=12×（−52）+52=54，
∴P点坐标是（−52，54）．
22．在平面直角坐标系中，已知点A（1，4），B（﹣1，0），C（0，2），抛物线y＝ax2+bx+3经过A，B，C三点中的两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点M（m，n）为（1）中所求抛物线上一点，且0＜m＜4，求n的取值范围；
（3）一次函数y＝（k﹣1）x﹣3k+3（其中k≠1）与（1）中所求抛物线交点的横坐标分别是x1和x2，且x1＜﹣1＜x2，请直接写出k的取值范围．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据抛物线图象上点的坐标特征，即可求得；
（3）根据一次函数和二次函数的性质即可求得．
【解答】解：（1）由题意可知：抛物线y＝ax2+bx+3经过A，B两点，
∴a+b+3=4a−b+3=0．
解得：a=−1b=2，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为（1，4），
当m＝0时，n＝3；当m＝4时，n＝﹣5，
∴当0＜m＜4时，﹣5＜n≤4；
（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝（x+1）（x﹣3），
∴抛物线开口向下，与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），
∵一次函数y＝（k﹣1）x﹣3k+3＝（k﹣1）（x﹣3），
∴一次函数y＝（k﹣1）x﹣3k+3的图象经过点（3，0），
∵一次函数y＝（k﹣1）x﹣3k+3（其中k≠1）与（1）中所求抛物线交点的横坐标分别是x1和x2，且x1＜﹣1＜x2，
∴一次函数y＝（k﹣1）x﹣3k+3经过一、三、四象限，
∴k﹣1＞0，
∴k＞1．
23．如图1，在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为斜边AB上一点，过点P作射线PD⊥PE，分别交AC、BC于点D，E．
（1）问题产生
若P为AB中点，当PD⊥AC，PE⊥BC时，PDPE= 43 ；
（2）问题延伸
在（1）的情况下，将若∠DPE绕着点P旋转到图2的位置，PDPE的值是否会发生改变？如果不变，请证明；如果改变，请说明理由；
（3）问题解决
如图3，连接DE，若△PDE与△ABC相似，求BP的值．
【分析】（1）可将PDPE转化为BEPE，进而根据△BEP∽△BCA求得结果；
（2）作PG⊥AC于G，作PH⊥BC于H，证明△PHE∽△PGD，进一步求得结果；
（3）当△PDE∽△CAB时，可证得点C、D、P、E共圆，进一步证得△BPC∽△BCA，进而求得BP，当△PDE∽△CBA时，则∠PDE＝∠B，同样得出∠PDE＝∠PCB，进而推出点P是AB的中点，从而求得BP．
【解答】解：（1）∵PD⊥AC，PE⊥BC，
∴∠PDC＝∠PEC＝∠C＝90°，
∴四边形CDPE是矩形，
∴PD＝CE，PE∥AC，
∴△BEP∽△BCA，
∴BEBC=BPAB==12，BEPE=BCAC=43，
∴BE=12BC，
∴CE＝BE，
∴PDPE=43，
故答案是：43
（2）如图1，
PDPE的值不变，理由如下：
作PG⊥AC于G，作PH⊥BC于H，
∴∠PGC＝∠PHC＝∠C＝90°，
∴四边形PHCG是矩形，
∴∠GPH＝90°，
∵PD⊥PE，
∴∠DPE＝90°，
∴∠DPE＝∠GPH，
∴∠HPE＝∠DPG，
∴△PHE∽△PGD，
∴PDPE=PGPH，
由（1）得：PGPH=43，
∴PDPE=43；
（3）如图2，
连接CP，
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
当△PDE∽△CAB时，则∠PDE＝∠A，
∵∠DPE+∠ACB＝90°+90°＝180°，
∴点C、D、P、E共圆，
∴∠PDE＝∠BCP，
∴∠BCP＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△BPC∽△BCA，
∴PBBC=BCAB，
∴PB4=45，
∴PB=165，
如图3，
当△PDE∽△CBA时，则∠PDE＝∠B，
由图2知，∠PDE＝∠PCB，
∴∠B＝∠PCB，
∴PC＝PB，
同理可得：PC＝PA，
∴PB＝PA，
∴PB=12AB=52，
综上所述：BP=165或52．
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