2022年北京市昌平区中考数学模拟试卷（2）（word版含答案）

这是一份2022年北京市昌平区中考数学模拟试卷（2）（word版含答案），共29页。试卷主要包含了的关系如下表，使成立的条件是 　 　等内容，欢迎下载使用。

2022年北京市昌平区中考数学模拟试卷（2）
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）根据“数据安徽”APP发布的最新数据，2019年上半年安庆市财政总收入182.9亿元，增速9.19%，在全省各市排名中上升一位，排名第五位，将182.9亿用科学记数法表示为（　　）
A．1.829×109 B．1.829×1010 C．1.829×1011 D．1.829×1012
2．（2分）下列水平放置的几何体中，左视图是圆的是（　　）
A．圆柱 B．球
C．三棱柱 D．圆锥
3．（2分）下列汽车标志中既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2分）如图，数轴上A、B两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是（　　）

A．ab＞0 B．a﹣b＞0 C．|a|﹣|b|＞0 D．a+b＞0
5．（2分）一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形是（　　）
A．六边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形
6．（2分）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（1，2）、B（2，0），以原点O为位似中心，将线段AB放大得到线段CD，若点D坐标为（5，0），则点C的坐标为（　　）

A．（2，5） B．（2.5，5） C．（3，5） D．（3，6）
7．（2分）在一个不透明纸箱中放有除数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之积为偶数的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（2分）某复印的收费y（元）与复印页数x（页）的关系如下表：
x（页）
100
200
400
1000
……
y（元）
40
80
160
400
……
若某客户复印1200页，则该客户应付复印费（　　）
A．3000元 B．1200元 C．560元 D．480元
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）使成立的条件是 　 　．
10．（2分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝45°，延长CB至点D，则∠ABD的度数为　 　．

11．（2分）若的整数部分是a，小数部分是b，计算2a+b﹣的值　 　．
12．（2分）如果一个三角形三边的长分别为6，8，10，那么这个三角形的面积为 　 　．
13．（2分）方程组的解为 　 　．
14．（2分）甲、乙两位同学在6次线上数学考试中，成绩的平均数都是105分，方差分别是S甲2＝1.2，S乙2＝2.5，则　 　同学的成绩更稳定．
15．（2分）已知一条抛物线经过点（0，1），且在对称轴右侧的部分是下降的，该抛物线的表达式可以是 　 　（写出一个即可）．
16．（2分）设四位候选人ABCD，共五人进行投票，每张选票按照偏好度对候选人进行排序，例如选票“ABCD”表示对四位候选人的偏好度从高到低依次为A＞B＞C＞D．最后综合五张选票形成排序结果，规则如下：对于任意两名候选人M，N，比较选票中M和N的偏好度，若偏好M的人更多，那么在最终排序结果中M在N之前．已知前四张选票依次为：ACBD、ABDC、BCAD、CDBA，并且最终排序结果为ABCD，那么第五张选票的情形可能为 　 　．（写出一种满足条件的情形即可）
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：（）﹣1++|﹣2|﹣6sin45°．
18．（5分）解不等式组，并把解集表示在数轴上．
19．（5分）先化简，再求值：
已知x﹣y＝1，求（x+y）（x﹣y）+（y﹣1）2﹣x（x﹣2）的值．
20．（5分）作图与探究：如图，△ABC中，AB＝AC．
（1）作图：①画线段BC的垂直平分线l，设l与BC边交于点H；②在射线HA上画点D，使AD＝AB，连接BD．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）探究：∠D与∠C有怎样的数量关系？并证明你的结论．

21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2m2＝0．
（1）若方程的一个根是1，求m的值；
（2）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根．
22．（5分）两张宽度均为4的矩形纸片按如图所示方式放置
（1）如图①，求证：四边形ABCD是菱形．
（2）如图②，点P在BC上，PF⊥AD于F，若S四边形ABCD＝16，PB＝2，i．求∠BAD的度数；ii．求DF的长．

23．（6分）2021年2月25日，习总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上宣布我国脱贫攻坚战取得全面胜利．某县为了积极助力脱贫攻坚工作，推进了农村电子商务发展，将甲、乙两村特产“木洞桔饼”放到某电商平台进行销售（每箱桔饼规格一致），该平台从甲、乙两村各抽取15户进行了抽样调查，并对每户每月销售的桔饼箱数（用x表示）进行了数据收集、整理、分析，部分信息如下：
甲村卖出的枯饼箱数为40≤x＜60的数据有：40，58，48，43，59，43，58，45，50，58；
乙村卖出的桔饼箱数为40≤x＜50的数据有：42，45，48，47．
桔饼箱数
x＜30
30≤x＜40
40≤x＜50
50≤x＜60
x≥60
甲村
0
a
b
c
3
乙村
1
d
4
5
e
平均数、中位数、众数如表所示
村名
平均数
中位数
众数
甲村
48
m
58
乙村
48
47
56
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中a＝　 　，d＝　 　，e＝　 　，m＝　 　．
（2）你认为甲，乙两村中哪个村的桔饼卖得更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）在该电商平台进行销售的甲，乙两村村民共360户，若该电商平台把每月的桔饼销售量x在45≤x＜60范围内的村民列为重点培养对象，估计两村共有多少户村民会被列为重点培养对象？
24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝（m≠0）相交于A，B两点，点A坐标为（﹣3，2），点B坐标为（n，﹣3）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）如果点P是x轴上一点，且△ABP的面积是5，求点P的坐标．
（3）利用函数图象直接写出关于x的不等式kx+b＜的解集．

25．（6分）如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当AB＝4，∠C＝30°时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．

26．（6分）定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”，对角线互相垂直的凸四边形叫做“正垂形”．
（1）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ACB﹣∠CDB＝∠ACD﹣∠CBD，当≤OE≤时，求AC2+BD2的取值范围；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，AC＝4，D是BC的中点，点M是AB边上一点，当四边形ACDM是“等邻边四边形”时，求BM的长；
（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“正垂形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．则满足下列三个条件的抛物线的解析式为　 　．
①＝+； ②＝+； ③“正垂形”ABCD的周长为12．

27．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在BC上，满足BD＝2DC，BP⊥AD，说明：∠BPC＝∠APC＝135°．

28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以原点O为圆心，半径为3的⊙O上，连接OC，过点O作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C，O，D按逆时针方向排列），连接AB．
（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为　 　；
（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC面积的最大值．
（3）连接AD，当OC∥AD，点C位于第二象限时，
①求出点C的坐标；
②直线BC是否为⊙O的切线？并说明理由．


2022年北京市昌平区中考数学模拟试卷（2）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）根据“数据安徽”APP发布的最新数据，2019年上半年安庆市财政总收入182.9亿元，增速9.19%，在全省各市排名中上升一位，排名第五位，将182.9亿用科学记数法表示为（　　）
A．1.829×109 B．1.829×1010 C．1.829×1011 D．1.829×1012
【解答】解：将182.9亿用科学记数法表示为182.9×108＝1.829×1010．
故选：B．
2．（2分）下列水平放置的几何体中，左视图是圆的是（　　）
A．圆柱 B．球
C．三棱柱 D．圆锥
【解答】解：A、圆柱体的左视图是矩形，不符合题意；
B、球的左视图是圆，符合题意；
C、直三棱柱的左视图是矩形且中间有一条纵向的实线，不符合题意；
D、圆锥的左视图是三角形，不符合题意；
故选：B．
3．（2分）下列汽车标志中既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
4．（2分）如图，数轴上A、B两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是（　　）

A．ab＞0 B．a﹣b＞0 C．|a|﹣|b|＞0 D．a+b＞0
【解答】解：A选项，∵a＜0，b＞0，
∴ab＜0，故该选项不符合题意；
B选项，∵a＜b，
∴a﹣b＜0，故该选项不符合题意；
C选项，∵|a|＜|b|，
∴|a|﹣|b|＜0，故该选项不符合题意；
D选项，∵a＜0，b＞0，|a|＜|b|，
∴a+b＞0，故该选项符合题意；
故选：D．
5．（2分）一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形是（　　）
A．六边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形
【解答】解：设多边形的边数为n，
由题意得（n﹣2）•180°＝360°，
解得n＝10，
∴这个多边形为十边形，
故选：C．
6．（2分）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（1，2）、B（2，0），以原点O为位似中心，将线段AB放大得到线段CD，若点D坐标为（5，0），则点C的坐标为（　　）

A．（2，5） B．（2.5，5） C．（3，5） D．（3，6）
【解答】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内，将线段AB放大得到线段CD，
∴B点与D点是对应点，
∵B点的对应点D的坐标为（5，0），
∴位似比为：2.5：1，
∵A（1，2），
∴点C的坐标为：（2.5，5）．
故选：B．
7．（2分）在一个不透明纸箱中放有除数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之积为偶数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图如下：

共有4种等可能的结果，两次摸出的数字之积为偶数的结果有3种，
∴两次摸出的数字之积为偶数的概率为，
故选：D．
8．（2分）某复印的收费y（元）与复印页数x（页）的关系如下表：
x（页）
100
200
400
1000
……
y（元）
40
80
160
400
……
若某客户复印1200页，则该客户应付复印费（　　）
A．3000元 B．1200元 C．560元 D．480元
【解答】解：由表中数据变化关系可知：在y随x变化而变化的过程中，变量y与x的商一定，则y是x的正比例函数，
不妨设y＝kx（k≠0），
把x＝100，y＝40代入得，40＝100k，
解得，k＝0.4，
∴y＝0.4x，
当x＝1200时，y＝0.4×1200＝480，
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）使成立的条件是 　﹣1≤x≤2　．
【解答】解：由题意得：2﹣x≥0且x+1≥0．
∴﹣1≤x≤2．
故答案为：﹣1≤x≤2．
10．（2分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝45°，延长CB至点D，则∠ABD的度数为　75°　．

【解答】解：∵∠A＝30°，∠C＝45°，
∴∠ABD＝∠A+∠C＝30°+45°＝75°，
故答案为：75°．
11．（2分）若的整数部分是a，小数部分是b，计算2a+b﹣的值　2　．
【解答】解：∵的整数部分是a，
又∵2＜＜3，
∴a＝2，
∵小数部分是b，
∴b＝﹣2，
∴2a+b﹣＝2×2+﹣2﹣＝2；
故答案为：2．
12．（2分）如果一个三角形三边的长分别为6，8，10，那么这个三角形的面积为 　24　．
【解答】解：∵62+82＝102，
∴这是一个直角三角形，
∴其面积为×6×8＝24．
故答案为：24．
13．（2分）方程组的解为 　　．
【解答】解：，
由②得：y＝﹣3x﹣2③，
把③代入①得：2x+7（﹣3x﹣2）＝5，
去括号得：2x﹣21x﹣14＝5，
移项合并得：﹣19x＝19，
解得：x＝﹣1，
把x＝﹣1代入③得：y＝3﹣1＝1，
则方程组的解为，
故答案为．
14．（2分）甲、乙两位同学在6次线上数学考试中，成绩的平均数都是105分，方差分别是S甲2＝1.2，S乙2＝2.5，则　甲　同学的成绩更稳定．
【解答】解：∵S甲2＝1.2，S乙2＝2.5，
∴S甲2＜S乙2，
∴甲同学的成绩更稳定，
故答案为：甲．
15．（2分）已知一条抛物线经过点（0，1），且在对称轴右侧的部分是下降的，该抛物线的表达式可以是 　y＝﹣x2+2x+1　（写出一个即可）．
【解答】解：∵对称轴右侧的部分是下降的，
∴开口向下，
∵抛物线经过点（0，1），
∴抛物线的表达式y＝﹣x2+2x+1；
故答案为：y＝﹣x2+2x+1．
16．（2分）设四位候选人ABCD，共五人进行投票，每张选票按照偏好度对候选人进行排序，例如选票“ABCD”表示对四位候选人的偏好度从高到低依次为A＞B＞C＞D．最后综合五张选票形成排序结果，规则如下：对于任意两名候选人M，N，比较选票中M和N的偏好度，若偏好M的人更多，那么在最终排序结果中M在N之前．已知前四张选票依次为：ACBD、ABDC、BCAD、CDBA，并且最终排序结果为ABCD，那么第五张选票的情形可能为 　ABCD或ABDC　．（写出一种满足条件的情形即可）
【解答】解：设每张选票左起第一位置的偏好度为a，第二个位置的偏好度为b，第三个位置的偏好度为c，第四个位置的偏好度为d，
由题意知，a＞b＞c＞d，
∴前四张票中A的偏好度为：2a+c+d，
B的偏好度为：a+b+2c，
C的偏好度为：a+2b+d，
D的偏好度为：b+c+2d，
要使最终排序结果为ABCD，
则，①第五张票可以是ABCD，
此时A：3a+c+d＞B：a+b+2c+d＞C：a+2b+c+d＞D：b+c+3d；
②第五张票还可以是ABDC，
此时A：3a+c+d＞B：a+2b+2c＞C：a+2b+2d＞D：b+2c+2d；
∴第五张票的可能情形为ABCD或ABDC，
故答案为：ABCD或ABDC．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：（）﹣1++|﹣2|﹣6sin45°．
【解答】解：原式＝3+3+2﹣6×
＝3+3+2﹣3
＝5．
18．（5分）解不等式组，并把解集表示在数轴上．
【解答】解：，
解①得：x＜3，
解②得：x≥﹣5，
在数轴上表示：
，
∴不等式组的解集为﹣5≤x＜3．
19．（5分）先化简，再求值：
已知x﹣y＝1，求（x+y）（x﹣y）+（y﹣1）2﹣x（x﹣2）的值．
【解答】解：（x+y）（x﹣y）+（y﹣1）2﹣x（x﹣2）
＝x2﹣y2+y2﹣2y+1﹣x2+2x
＝2x﹣2y+1，
当x﹣y＝1时，原式＝2（x﹣y）+1＝2×1+1＝3．
20．（5分）作图与探究：如图，△ABC中，AB＝AC．
（1）作图：①画线段BC的垂直平分线l，设l与BC边交于点H；②在射线HA上画点D，使AD＝AB，连接BD．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）探究：∠D与∠C有怎样的数量关系？并证明你的结论．

【解答】解：（1）如图，直线l，线段BD即为所求．

（2）结论：∠C+2∠ADB＝90°．
理由：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
∴∠ADB+∠DBH＝90°，
∴∠ADB+∠ABD+∠ABC＝90°，
∴∠C+2∠ADB＝90°．
21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2m2＝0．
（1）若方程的一个根是1，求m的值；
（2）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根．
【解答】解：（1）将x＝1代入x2﹣mx﹣2m2＝0，得1﹣m﹣2m2＝0．
解得m1＝，m2＝﹣1；

（2）证明：∵a＝1，b＝﹣m，c＝﹣2m2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣2m2）＝9m2．
∵m2≥0，
∴9m2≥0，
∴不论m取何值，方程总有两个实数根．
22．（5分）两张宽度均为4的矩形纸片按如图所示方式放置
（1）如图①，求证：四边形ABCD是菱形．
（2）如图②，点P在BC上，PF⊥AD于F，若S四边形ABCD＝16，PB＝2，i．求∠BAD的度数；ii．求DF的长．

【解答】解：（1）如图1，过点D作DE⊥AB于E，作DQ⊥BC于Q，则∠AED＝∠CQD＝90°，
∵矩形纸片宽度均为4，
∴DE＝DQ，
又∵∠CDE＝∠ADQ＝90°，
∴∠ADE＝∠CDQ，
在△ADE和△CDQ中，
，
∴△ADE≌△CDQ（ASA），
∴AD＝CD，
又∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形；

（2）①如图1，∵S四边形ABCD＝16，
∴AB×DE＝16，即AB×4＝16，
∴AB＝4＝AD，
∴sin∠DAE＝＝＝，
∴∠BAD＝45°；

②如图2，∵菱形ABCD中，AB＝BC＝4，而PB＝2，
∴CP＝4﹣2，
又∵PF⊥AD，AD∥BC，
∴PF⊥BC，
又∵∠PCG＝∠BAD＝45°，
∴PG＝4﹣2，
∴FG＝PF﹣PG＝4﹣（4﹣2）＝6﹣4，
又∵∠CDF＝45°＝∠DGF，
∴DF＝FG＝6﹣4．

23．（6分）2021年2月25日，习总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上宣布我国脱贫攻坚战取得全面胜利．某县为了积极助力脱贫攻坚工作，推进了农村电子商务发展，将甲、乙两村特产“木洞桔饼”放到某电商平台进行销售（每箱桔饼规格一致），该平台从甲、乙两村各抽取15户进行了抽样调查，并对每户每月销售的桔饼箱数（用x表示）进行了数据收集、整理、分析，部分信息如下：
甲村卖出的枯饼箱数为40≤x＜60的数据有：40，58，48，43，59，43，58，45，50，58；
乙村卖出的桔饼箱数为40≤x＜50的数据有：42，45，48，47．
桔饼箱数
x＜30
30≤x＜40
40≤x＜50
50≤x＜60
x≥60
甲村
0
a
b
c
3
乙村
1
d
4
5
e
平均数、中位数、众数如表所示
村名
平均数
中位数
众数
甲村
48
m
58
乙村
48
47
56
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中a＝　2　，d＝　4　，e＝　1　，m＝　50　．
（2）你认为甲，乙两村中哪个村的桔饼卖得更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）在该电商平台进行销售的甲，乙两村村民共360户，若该电商平台把每月的桔饼销售量x在45≤x＜60范围内的村民列为重点培养对象，估计两村共有多少户村民会被列为重点培养对象？
【解答】解：（1）甲村卖出的枯饼箱数为40≤x＜60的数据有：40，58，48，43，59，43，58，45，50，58；
可知b+c＝10，
所以a＝15﹣10﹣3＝2，
由于乙村的中位数是47，而x＜30的频数是1，40≤x＜50的频数为4，共有15个数据，中位数是从小到大排列后的第8个，
因此d＝4，
所以e＝15﹣1﹣4﹣4﹣5＝1，
甲村卖出的枯饼箱数从小到大排列后，处在中间位置的一个数是50箱，因此中位数是50箱，即m＝50，
故答案为：2，4，1，50；
（2）甲村的桔饼卖得更好，理由为：甲村的中位数、众数都比乙村的高；
（3）根据表格中的数据可知，甲村卖出的枯饼箱数在45箱及以上的有7户，乙村卖出的枯饼箱数在45箱及以上的有3+5＝8户，
360×＝180（户），
答：两村共有180户村民会被列为重点培养对象，
24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝（m≠0）相交于A，B两点，点A坐标为（﹣3，2），点B坐标为（n，﹣3）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）如果点P是x轴上一点，且△ABP的面积是5，求点P的坐标．
（3）利用函数图象直接写出关于x的不等式kx+b＜的解集．

【解答】解：（1）∵双曲线y＝（m≠0）过点A（﹣3，2），
∴m＝﹣3×2＝﹣6，
∴反比例函数表达式为y＝﹣，
∵点B（n，﹣3）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴n＝2，
∴B（2，﹣3）．
∵点A（﹣3，2）与点B（2，﹣3）在直线y＝kx+b上，
∴解得
∴一次函数表达式为y＝﹣x﹣1；
（2）如图，在x轴上任取一点P，连接AP，BP，由（1）知点B的坐标是（2，﹣3）．
在y＝﹣x﹣1中令y＝0，解得x＝﹣1，则直线与x轴的交点是（﹣1，0）．
设点P的坐标是（a，0）．
∵△ABP的面积是5，
∴•|a+1|•（2+3）＝5，
则|a+1|＝2，
解得a＝﹣3或1．
则点P的坐标是（﹣3，0）或（1，0）；
（3）关于x的不等式kx+b＜的解集是﹣3＜x＜0或x＞2．
25．（6分）如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当AB＝4，∠C＝30°时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．

【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：

∵AB是⊙O的直径，D是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∵点D在圆上，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：过点O作OF⊥AD，垂足为F，如图所示：

则AF＝DF，
∵OD∥BC，∠C＝∠ODF＝30°，
∴∠ADO＝30°，
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，
∴∠A＝∠C，
∴AB＝BC＝4，
∴OD＝2，∠AOD＝120°，OF＝1，
∴AF＝OF＝，AD＝2AF＝2，
∴S△AOD＝AD•OF＝×1×2＝，
∴阴影部分面积＝﹣＝﹣．
26．（6分）定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”，对角线互相垂直的凸四边形叫做“正垂形”．
（1）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ACB﹣∠CDB＝∠ACD﹣∠CBD，当≤OE≤时，求AC2+BD2的取值范围；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，AC＝4，D是BC的中点，点M是AB边上一点，当四边形ACDM是“等邻边四边形”时，求BM的长；
（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“正垂形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．则满足下列三个条件的抛物线的解析式为　y＝x2﹣9　．
①＝+； ②＝+； ③“正垂形”ABCD的周长为12．

【解答】解：（1）∵∠ACB﹣∠CDB＝∠ACD﹣∠CBD，
∴∠ACB+∠CBD＝∠ACD+∠CDB．
∵∠CED＝∠ACB+∠CBD，∠CEB＝∠ACD+∠CDB，
∴∠CED＝∠CEB．
∵∠CED+∠CEB＝180°，
∴∠CED＝∠CEB＝90°，
∴AC⊥BD．
连接OA，OD，过点O作OM⊥AC于点M，ON⊥BD于点N，如下图，

则AM＝AC，DN＝BD．
∵OM⊥AC，ON⊥BD，AC⊥BD，
∴四边形OMEN为矩形．
∴ME＝ON．
由勾股定理得：OE2＝OM2+ME2＝OM2+ON2，
，
，
∴＝2﹣．
∵≤OE≤，
∴．
∴．
∴．
∴6≤AC2+BD2≤7．
（2）∵∠ACB＝90°，AB＝8，AC＝4，
∴∠B＝30°，BC＝4．
∵D是BC的中点，
∴CD＝BD＝2．
若四边形ACDM是“等邻边四边形”，
①当AC＝AM＝4时，BM＝AB﹣AM＝4．
②当DM＝DC时，过D作DE⊥AB于点E，如下图，

∵CD＝BD＝2，DM＝DC，
∴DB＝DM．
∵DE⊥AB，
∴BM＝2BE．
∵BE＝BD•cos∠B＝2×cos30°＝3，
∴BM＝6．
③当MD＝MA时，过D作DF⊥AB于点E，如下图，

设MD＝MA＝x，则BM＝8﹣x，
∵DF⊥AB，∠B＝30°，
∴DF＝BD＝，BF＝BD•cos∠B＝2×cos30°＝3，
∴FM＝BM﹣BF＝8﹣x﹣3＝5﹣x．
∵DF2+FM2＝DM2，
∴．
解得：x＝2.8．
∴BM＝8﹣2.8＝5.2．
综上，当四边形ACDM是“等邻边四边形”时，BM的长为4或6或5.2．
（3）令y＝0，则ax2+bx+c＝0，
解得：x＝．
∵点A在点C的左侧，
∴A（，0），C（，0）．
∵a＞0，
∴OA＝，OC＝．
∴AC＝OA+OC＝．
令x＝0，则y＝c．
∴B（0，c）．
∵c＜0，
∴OB＝﹣c．
∵D（0，﹣ac），
∴OD＝﹣ac．
∴BD＝﹣c﹣ac．
∴S＝×AC•BD＝××（﹣c﹣ac），
S1＝×OA×OB＝，
S2＝×OC×OD＝＝，
S3＝×OA×OD＝＝，
S4＝×OB×OC＝，
∵，，
∴．
∴+＝+．
∴2＝2，
∴a＝1．
∵，
∴S＝．
∴××（﹣c﹣ac）＝++2，
将a＝1代入，整理得：＝+，
解得：b＝0．
∴A（﹣，0），B（o，c），C（，0），D（0，﹣c）．
∴OA＝OC＝，OB＝OD＝﹣c，
又AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形．
∴“正垂形”ABCD的周长为4AD．
∴4AD＝12．
∴AD＝3．
∴AD2＝90．
∵AD2＝OA2+OD2，
∴．
解得：c＝﹣9或c＝10（不合题意，舍去）．
∴c＝﹣9．
∴y＝x2﹣9．
故答案为：y＝x2﹣9．
27．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在BC上，满足BD＝2DC，BP⊥AD，说明：∠BPC＝∠APC＝135°．

【解答】解：过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠CAE＝∠ABP，
∵∠APB＝∠AEC＝90°，
∴△ABP≌△CAE（AAS），
∴AP＝CE，BP＝AE，
∵BP⊥AD，CE⊥AD，
∴BP∥CE，
∴△BPD∽△CED，
∴，
∴BP＝2CE，
∴AE＝AP+PE＝2CE，
∴PE＝CE，
∴∠EPC＝45°，
∴∠BPC＝∠BPD+∠EPC＝90°+45°＝135°，
∴∠APC＝360°﹣90°﹣135°＝135°．
即∠BPC＝∠APC＝135°．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以原点O为圆心，半径为3的⊙O上，连接OC，过点O作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C，O，D按逆时针方向排列），连接AB．
（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为　45°或135°　；
（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC面积的最大值．
（3）连接AD，当OC∥AD，点C位于第二象限时，
①求出点C的坐标；
②直线BC是否为⊙O的切线？并说明理由．

【解答】解：（1）∵点A（6，0），点B（0，6），
∴OA＝OB＝6，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OBA＝45°，
∵OC∥AB，
∴当C点在y轴左侧时，∠BOC＝∠OBA＝45°；
当C点在y轴右侧时，∠BOC＝90°+∠OBA＝135°；
综上所述，∠BOC的度数为45°或135°，
故答案为：45°或135°；
（2）∵△OAB为等腰直角三角形，
∴AB＝OA＝6，
∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，
过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，如图：

此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，
∴OE＝AB＝3，
∴CE＝OC+OE＝3+3，
∴△ABC的面积＝CE•AB＝×（3+3）×6＝9+18；
即当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为9+18；
（3）①过C点作CF⊥x轴于F，如图：

∵OC∥AD，
∴∠COF＝∠DAO，
又∵∠ADO＝∠CFO＝90°，
∴△OCF∽Rt△AOD，
∴＝，即＝，
解得：CF＝，
在Rt△OCF中，OF＝＝＝，
∴C点坐标为（﹣，）；
②直线BC是⊙O的切线．理由如下：
由①得：（﹣，），
在Rt△OCF中，OC＝3，CF＝，
∴CF＝OC，
∴∠COF＝30°，
∴∠OAD＝30°，
∴∠BOC＝60°，∠AOD＝60°，
∵在△BOC和△AOD中，
，
∴△BOC≌△AOD（SAS），
∴∠BCO＝∠ADO＝90°，
∴OC⊥BC，
∴直线BC为⊙O的切线．