2021年河南重点名校中考数学猜押最后一卷（word版含答案）

这是一份2021年河南重点名校中考数学猜押最后一卷（word版含答案），共29页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年河南重点名校中考数学猜押最后一卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的
1．（3分）23的相反数等于（　　）
A．−23 B．23 C．32 D．±23
2．（3分）如图所示的几何体是由五个小正方体搭建而成的，则从左面看得到的平面图形是（　　）

A． B． C． D．
3．（3分）5月11日，国家统计局公布第七次全国人口普查主要数据结果，数据显示，全国人口共141178万人，与2010年的133972万人相比，增加了7206万人，其中数据141178万用科学记数法表示为（　　）
A．0.141178×1010 B．141178×105
C．1.41178×109 D．14117.8×105
4．（3分）如图，已知平行线a，b，一个直角三角板的直角顶点在直线a上，另一个顶点在直线b上，若∠1＝70°，则∠2的大小为（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
5．（3分）为传承经典，进一步弘扬中华优秀传统文化，提高学生的国学素养，某校举行了豫剧文化知识竞赛，进入决赛的学生共有10名，他们的决赛成绩如表所示：
决赛成绩/分
100
95
90
85
人数/名
2
3
2
3
则这10名学生决赛成绩的中位数和平均数分别是（　　）
A．92，92.5 B．95，93 C．92.5，92 D．92，93
6．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜−34 B．m≥−43 C．m≤34 D．m≤−34
7．（3分）若点A（﹣1，y1），B（4，y2），C（−32，y3），在反比例函数y=−m2−1x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
8．（3分）某快递公司推出无接触配送服务，第1周接到5万件订单，第3周接到7.8万件订单，设第1周到第3周订单的周平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．5（1+2x）＝7.8 B．5×2（1+x）＝7.8
C．5（1+x）2＝7.8 D．5+5（1+x）+5（1+x）2＝7.8
9．（3分）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（2，4），将正方形ABCD平移，使点B落在点D的位置上（即平移后点B的对应点为点D），则点C平移后的对应点的坐标为（　　）

A．（2，﹣1） B．（3，﹣1） C．（2，﹣3） D．（1，﹣3）
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别与AC，AB交于点D，E；②分别以D，E为半径，大于12DE的长度为半径画弧，两弧交于点F；③作射线AF交BC于点G；④以点B为圆心，BG的长为半径画弧，交射线AG于点H．则线段GH的长为（　　）

A．35 B．10 C．4 D．4.5
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个比−5小的整数：　 　．
12．（3分）不等式组x+2＞13−x≤0的解集是 　 　．
13．（3分）学校新开设了航模、围棋、书法、绘画四个社团，如果小华和小玲两名同学各随机选择参加其中一个社团，那么小华和小玲选到同一个社团的概率为 　 　．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，P为AD边上的中点，点M在AB边上，点N在射线BC上，沿直线MN将△BMN折叠，点B恰好落在点P处，则NC的长为 　 　．

15．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，E、F分别为BC、CD的中点，以C为圆心，2为半径作BD，再分别以E、F为圆心，1为半径作BOC、COD，则图中阴影部分的面积为 　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：x2+2x+1x2+x÷（1+x2x−2x），其中x=2+1
17．（9分）某校为加强感恩教育，对七年级部分学生是否知道母亲节情况进行调查，如图所示的是针对此次调查的扇形和条形统计图．
（1）n＝　 　；参与调查的人数 　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）若全校共有七年级学生720名，请你估计这所学校有多少名学生不知道母亲节．

18．（9分）九年级（1）班数学兴趣小组的同学们学完了三角函数知识后，决定在数学活动课上用自己学到的知识测量某公园人工湖亭子A与它正东方向的亭子B之间的距离，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量项目及结果如下表．
项目
内容
课题
公园人工湖亭子A与它正东方向的亭子B之间的距离
测量示意图

如图，在P点用测角器测得亭子A、B所处的方位角，测得点P与亭子A之间的距离
测量数据
A位于点P
B位于点P
PA的长度
北偏西30°
北偏东42°
200米
…
…
请你帮助该小组根据上表中的测量数据，求出亭子A与亭子B之间的距离．（结果精确到1米，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，3≈1.73）

19．（9分）随着5G网络的覆盖，某通信公司推出了两种全国流量套餐业务．
套餐一：使用者每月需缴5元月租费，流量按0.1元/M收费．
套餐二：20元套餐费，包含500M流量，超过500M的部分按0.2元/M收取．
设某人一个月内使用5G流量xM，设按照套餐一所需的费用为y1；按照套餐二所需的费用为y2．
（1）试分别写出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）每月使用5G流量为多少时，两种套餐所需费用一样多？
20．（9分）定义：如果一个三角形中有两个内角α，β，满足α+2β＝90°，那么我们称这个三角形为“近直角三角形”．
（1）若△ABC是“近直角三角形”，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A＝　 　°；
（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O为AB边上一点，以OB为半径的圆与AC相切于点D，连接BD．求证：△ABD是“近直角三角形”．

21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），点B在x轴上．
（1）求这个抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）P是抛物线上一动点，若△ACP是以AC为直角边的直角三角形，求所有符合条件的点P的坐标．

22．（10分）小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图1，在等腰△ABC中，E，F分别是AB，BC的中点，P是AC上的一个动点，AC＝4cm，当△PEF为等腰三角形时，求线段AP的长度．
小亮根据学习函数的经验，尝试结合函数研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点P在AC上的不同位置，画出相应的图形，测量线段AP，PE，PF的长度，得到下表的几组对应值：
AP/cm
0
0.5
1
1.5
2
3
3.5
4
4.5
PE/cm
1.12
0.71
0.50
0.71
1.12
1.58
2.06
2.55
3.04
PF/cm
3.04
2.55
2.06
1.58
a
0.71
0.50
0.71
1.12
表格中a的值为 　 　；
（2）将线段AP的长度作为自变量x，PE和PF的长度都是x的函数，分别记为yPE和yPF，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yPE的图象，如图2所示，请在同一平面直角坐标系中画出函数yPF的图象；
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△PEF为等腰三角形时，线段AP的长度．（结果保留一位小数）

23．（11分）已知D是等腰直角△ABC所在平面上的任意一点，∠BAC＝90°，连接DA并延长到点E，使得AE＝DA．连接BD，CD，以DB，DC为邻边作平行四边形DBFC，连接EF．
（1）如图1，当点D在△ABC的直角角平分线上时，EF与BC的位置关系为 　 　，数量关系为 　 　；
（2）如图2，当点D不在∠BAC的平分线上时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
（3）将AD绕点A逆时针旋转，当∠ACD＝15°，∠BFC＝90°时，请直接写出DCAB的值．


2021年河南重点名校中考数学猜押最后一卷
答案与解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的
1．（3分）23的相反数等于（　　）
A．−23 B．23 C．32 D．±23
【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．根据相反数的定义解答即可．
【解答】解：23的相反数是−23．
故选：A．
2．（3分）如图所示的几何体是由五个小正方体搭建而成的，则从左面看得到的平面图形是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据简单组合体的三视图的意义可得答案．
【解答】解：从这个组合体的左面看到的是两列，其中第一列为1个，而第二列为2个，
因此选项D中的图形符合题意，
故选：D．
3．（3分）5月11日，国家统计局公布第七次全国人口普查主要数据结果，数据显示，全国人口共141178万人，与2010年的133972万人相比，增加了7206万人，其中数据141178万用科学记数法表示为（　　）
A．0.141178×1010 B．141178×105
C．1.41178×109 D．14117.8×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：141178万＝1411780000＝1.41178×109，
故选：C．
4．（3分）如图，已知平行线a，b，一个直角三角板的直角顶点在直线a上，另一个顶点在直线b上，若∠1＝70°，则∠2的大小为（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由余角的定义即可得出结论．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝70°
∴∠3＝70°，
∵直角三角板的直角顶点在直线a上，
∴∠2＝90°﹣∠3＝20°，
故选：B．
5．（3分）为传承经典，进一步弘扬中华优秀传统文化，提高学生的国学素养，某校举行了豫剧文化知识竞赛，进入决赛的学生共有10名，他们的决赛成绩如表所示：
决赛成绩/分
100
95
90
85
人数/名
2
3
2
3
则这10名学生决赛成绩的中位数和平均数分别是（　　）
A．92，92.5 B．95，93 C．92.5，92 D．92，93
【分析】根据中位数、众数的定义进行计算即可．
【解答】解：这10名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为90+952=92.5，因此中位数是92.5，
这10名学生成绩平均数为100×2+95×3+90×2+85×310=92（分），即平均数为92，
故选：C．
6．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜−34 B．m≥−43 C．m≤34 D．m≤−34
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+1＝0有实数根，
∴Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（m2+1）≥0，
解得：m≤−34．
故选：D．
7．（3分）若点A（﹣1，y1），B（4，y2），C（−32，y3），在反比例函数y=−m2−1x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【分析】根据k的值确定双曲线所在的象限，进而明确函数的增减性，再根据A（﹣1，y1），B（4，y2），C（−32，y3）所在的象限，确定y2、y1、y3的大小关系．
【解答】解：∵k＝﹣m2﹣1＜0，
∴反比例函数y=−m2−1x的图象位于二四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴点A（﹣1，y1），C（−32，y3）在第二象限，而B（4，y2）在第四象限，
∴0＜y3＜y1，y2＜0，
∴y1＞y3＞y2，
故选：B．
8．（3分）某快递公司推出无接触配送服务，第1周接到5万件订单，第3周接到7.8万件订单，设第1周到第3周订单的周平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．5（1+2x）＝7.8 B．5×2（1+x）＝7.8
C．5（1+x）2＝7.8 D．5+5（1+x）+5（1+x）2＝7.8
【分析】设第1周到第3周订单的周平均增长率为x，那么第2周接到5（1+x）万件订单，第3周接到5（1+x）2万件订单，而第3周接到7.8万件订单，根据第3周订单总件数不变，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设第1周到第3周订单的周平均增长率为x，
根据题意得：5（1+x）2＝7.8，
故选：C．
9．（3分）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（2，4），将正方形ABCD平移，使点B落在点D的位置上（即平移后点B的对应点为点D），则点C平移后的对应点的坐标为（　　）

A．（2，﹣1） B．（3，﹣1） C．（2，﹣3） D．（1，﹣3）
【分析】设正方形ABCD平移后得到正方形A′B′C′D′，作BE⊥y轴于点E，DF⊥y轴于点F，CG⊥DF交FD的延长线于点G，则E（0，4），AE＝1，BE＝2，再证明△BAE≌△ADF≌△DCG，则BE＝AF＝DG＝2，AE＝DF＝CG＝1，可确定正方形ABCD向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到正方形A′B′C′D′，根据平移的性质求出点C′的坐标即可．
【解答】解：如图，正方形ABCD平移后得到正方形A′B′C′D′，
作BE⊥y轴于点E，DF⊥y轴于点F，CG⊥DF交FD的延长线于点G，
∵A（0，3），B（2，4），
∴E（0，4），
∴AE＝1，BE＝2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝AD＝DC，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵∠BEA＝∠AFD＝∠DGC＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠DAF＝∠ADF＝90°﹣∠CDG＝∠DCG，
∴△BAE≌△ADF≌△DCG（AAS），
∴BE＝AF＝DG＝2，AE＝DF＝CG＝1，
∴OF＝4﹣1﹣2＝1，FG＝1+2＝3，
∴F（0，1），D（1，1），G（3，1），
∴C（3，2），
∵将正方形ABCD平移，使点B落在点D的位置上，
∴正方形ABCD向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴xC′＝3﹣1＝2，yC′＝2﹣3＝﹣1，
∴C′（2，﹣1），
故选：A．

10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别与AC，AB交于点D，E；②分别以D，E为半径，大于12DE的长度为半径画弧，两弧交于点F；③作射线AF交BC于点G；④以点B为圆心，BG的长为半径画弧，交射线AG于点H．则线段GH的长为（　　）

A．35 B．10 C．4 D．4.5
【分析】如图，过点G作GT⊥AB于点T，过点B作BJ⊥GH于点J．利用面积法求出CG，再利用相似三角形的性质求出GJ，可得结论．
【解答】解：如图，过点G作GT⊥AB于点T，过点B作BJ⊥GH于点J．

由作图可知，AG平分∠CAB，BG＝BH，
∵GC⊥AC，GT⊥AB，
∴GC＝GT，设GC＝GT＝x，
在Rt△ACB中，AC＝12，BC＝9，
∴AB=AC2+BC2=122+92=15，
∵S△ACB＝S△ACG+S△AGB，
∴12×12×9=12×12×x+12×15×x，
∴x＝4，
∴GC＝GT＝4，GB＝BC﹣CG＝5，
∴AG=AC2+CG2=122+42=410，
∵∠BGJ＝∠AGC，∠BJG＝∠C＝90°，
∴△BJG∽△ACG，
∴GJCG=BGAG，
∴GJ4=5410，
∴GJ=102，
∵BG＝BH，BJ⊥GH，
∴JG＝JH，
∴GH＝2GJ=10，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个比−5小的整数：　如：﹣5（答案不唯一）　．
【分析】先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后即可判断出所求的整数的范围．
【解答】解：∵2＜5＜3，
∴﹣3＜−5＜−2，
∴所有小于或等于﹣3的整数都可以．
故答案为：﹣5．
12．（3分）不等式组x+2＞13−x≤0的解集是 　x≥3　．
【分析】分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集即可．
【解答】解：x+2＞1①3−x≤0②，
解不等式①，得：x＞﹣1，
解不等式②，得：x≥3，
不等式组的解集为：x≥3．
故答案为：x≥3．
13．（3分）学校新开设了航模、围棋、书法、绘画四个社团，如果小华和小玲两名同学各随机选择参加其中一个社团，那么小华和小玲选到同一个社团的概率为 　14　．
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中小华和小玲选到同一个社团的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把航模、围棋、书法、绘画四个社团分别记为：A、B、C、D，
画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中小华和小玲选到同一个社团的结果有4种，
∴小华和小玲选到同一个社团的概率为416=14，
故答案为：14．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，P为AD边上的中点，点M在AB边上，点N在射线BC上，沿直线MN将△BMN折叠，点B恰好落在点P处，则NC的长为 　32　．

【分析】连接 BP，交MN于点O由折叠的性质可知，BO＝PO=13，∠ABP＝∠BNO，推出△ABP∽△ONB，则APBO=PBBN，即413=213BN，解得BN=132，所以CN＝BC﹣BN＝8−132=32．
【解答】解：如图，连接 BP，交MN于点O.
在Rt△ABP中，BP=AP2+AB2=42+62=213，
由折叠的性质可知，
BO＝PO=13，BO⊥MN．
∴∠ABP＝∠BNO，
∴△ABP∽△ONB，
∴APBO=PBBN，
即413=213BN，
解得BN=132，
CN＝BC﹣BN＝8−132=32．
故答案为：32．

15．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，E、F分别为BC、CD的中点，以C为圆心，2为半径作BD，再分别以E、F为圆心，1为半径作BOC、COD，则图中阴影部分的面积为 　π﹣2　．

【分析】连接BD，OC，根据正方形的性质可得OB＝OC＝OD=2，OB⊥OC，利用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形BD面积，即等于扇形CBD减去直角三角形CBD的面积之差．
【解答】解：连接BD，OC，如图，

∵正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，
∴BC＝CD，OB⊥OC．OB＝OC＝OD，
∴OB＝OC＝OD=2，
由题意可得：BD经过点O，
∵点E，F分别为BC，AD的中点，
∴BE＝EC＝CF＝DF＝1，
∴OB=OC=OD．
∴弓形OB＝弓形OD＝弓形OC．
∴阴影部分的面积等于弓形BD的面积．
∴S阴影＝S扇形CBD﹣S△CBD=90π×22360−12×2×2＝π﹣2．
故答案为：π﹣2．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：x2+2x+1x2+x÷（1+x2x−2x），其中x=2+1
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式=(x+1)2x(x+1)÷（1+x2x−2x2x）
=x+1x÷1−x2x
=1+xx•x(1+x)(1−x)
=11−x，
当x=2+1时，
原式=11−2−1=−22．
17．（9分）某校为加强感恩教育，对七年级部分学生是否知道母亲节情况进行调查，如图所示的是针对此次调查的扇形和条形统计图．
（1）n＝　30　；参与调查的人数 　120　；
（2）补全条形统计图；
（3）若全校共有七年级学生720名，请你估计这所学校有多少名学生不知道母亲节．

【分析】（1）读图可知：用360分别减去120和210，即可得出n的值；“记不清”的有40人，占总人数的120360，据此可得参与调查的人数；
（2）分别求出“知道”和“不知道”所占比例，再乘以总人数即可求解；
（3）用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）由题意，得n＝360﹣120﹣210＝30，
参与调查的人数为：40÷120360=120（人）．
故答案为：30；120；
（2）“知道”为：120×210°360°=70（人），“不知道”为：120×30360=10（人），补全条形统计图如下：

（3）720×30360=60（名），
答：估计这所学校有60名学生不知道母亲节．
18．（9分）九年级（1）班数学兴趣小组的同学们学完了三角函数知识后，决定在数学活动课上用自己学到的知识测量某公园人工湖亭子A与它正东方向的亭子B之间的距离，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量项目及结果如下表．
项目
内容
课题
公园人工湖亭子A与它正东方向的亭子B之间的距离
测量示意图

如图，在P点用测角器测得亭子A、B所处的方位角，测得点P与亭子A之间的距离
测量数据
A位于点P
B位于点P
PA的长度
北偏西30°
北偏东42°
200米
…
…
请你帮助该小组根据上表中的测量数据，求出亭子A与亭子B之间的距离．（结果精确到1米，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，3≈1.73）

【分析】作PH⊥AB于点H，在直角△APH中求得HP和AH的长，然后在直角△BPH中利用三角函数求得BH的长，根据AB＝AH+BH即可求解．
【解答】解：如图，作PH⊥AB于点H．
由题意得，∠APH＝30°，∠BPH＝42°．
在直角△APH中，∠APH＝30°，
∴AH=12AP=12×200＝100（米），
PH＝AP•cos∠APH＝200×32=1003（米），
在直角△PBH中，∠BPH＝42°，
∴BH＝PH•tan∠BPH＝1003×tan42°≈1003×0.90＝903（米），
则AB＝AH+BH＝100+903≈100+90×1.73＝255.7≈256（米）．
答：亭子A与亭子B之间的距离约为256米．

19．（9分）随着5G网络的覆盖，某通信公司推出了两种全国流量套餐业务．
套餐一：使用者每月需缴5元月租费，流量按0.1元/M收费．
套餐二：20元套餐费，包含500M流量，超过500M的部分按0.2元/M收取．
设某人一个月内使用5G流量xM，设按照套餐一所需的费用为y1；按照套餐二所需的费用为y2．
（1）试分别写出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）每月使用5G流量为多少时，两种套餐所需费用一样多？
【分析】（1）根据题中给出的收费方式求解即可；
（2）根据（1）中给出的关系式，令y1＝y2求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得，y1＝0.1x+5，
当0≤x≤500时，y2＝20；
当x＞500时，y2＝0.2（x﹣500）+20＝0.2x﹣80，
∴y2=20(0≤x≤500)0.2x−80(x＞500)．
（2）令0.1x+5＝20，解得x＝150；
令0.1x+5＝0.2x﹣80，解得x＝850．
∴每月使用5G流量150M或850M时，两种套餐所需费用一样多．
20．（9分）定义：如果一个三角形中有两个内角α，β，满足α+2β＝90°，那么我们称这个三角形为“近直角三角形”．
（1）若△ABC是“近直角三角形”，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A＝　20　°；
（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O为AB边上一点，以OB为半径的圆与AC相切于点D，连接BD．求证：△ABD是“近直角三角形”．

【分析】（1）根据题意可得∠C+2∠A＝90°，然后进行计算即可解答；
（2）连接OD，根据切线的性质可得∠ODA＝90°，从而可得∠A+∠AOD＝90°，再根据圆周角定理可得∠AOD＝2∠ABD，即可解答．
【解答】（1）解：∵△ABC是“近直角三角形”，∠B＞90°，∠C＝50°，
∴∠C+2∠A＝90°，
∴2∠A＝90°﹣50°，
∴2∠A＝40°，
∴∠A＝20°，
故答案为：20；
（2）证明：连接OD，

∵AC与⊙O相切于点D，
∴∠ODA＝90°，
∴∠A+∠AOD＝90°，
∵∠AOD＝2∠ABD，
∴∠A+2∠ABD＝90°，
∴△ABD是“近直角三角形”．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），点B在x轴上．
（1）求这个抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）P是抛物线上一动点，若△ACP是以AC为直角边的直角三角形，求所有符合条件的点P的坐标．

【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式，再利用配方法将抛物线解析式化为顶点式，即可求得顶点D的坐标；
（2）分∠PAC＝90°，∠PCA＝90°两种情况分别求出点P的坐标即可．
【解答】解：（1）将点A（3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，
得：9+3b+c=0c=−3，
解得：b=−2c=−3，
∴此抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点D的坐标为（1，﹣4）.
（2）设P（t，t2﹣2t﹣3），
①当∠PAC＝90°时，如图1，过点P作PH⊥x轴于H，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∴∠PAB＝∠PAC﹣∠OAC＝45°，
∵PH⊥x轴，
∴∠AHP＝90°，
∴∠APH＝90°﹣∠PAB＝90°﹣45°＝45°，
∴∠PAB＝∠APH，
∴PH＝AH，
∴t2﹣2t﹣3＝3﹣t，
解得：t＝﹣2或t＝3（舍去），
∴P（﹣2，5）；
②当∠PCA＝90°时，如图2，过点P作PH⊥y轴于H，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∴∠PCH＝180°﹣∠PCA﹣∠OCA＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∵PH⊥y轴，
∴∠CHP＝90°，
∴∠CPH＝90°﹣∠PCH＝90°﹣45°＝45°，
∴∠PCH＝∠CPH，
∴PH＝CH，
∴t＝﹣3﹣（t2﹣2t﹣3），
解得：t＝1或t＝0（舍去），
∴P（1，﹣4）．
综上，符合条件的点P的坐标为（﹣2，5）或（1，﹣4）．


22．（10分）小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图1，在等腰△ABC中，E，F分别是AB，BC的中点，P是AC上的一个动点，AC＝4cm，当△PEF为等腰三角形时，求线段AP的长度．
小亮根据学习函数的经验，尝试结合函数研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点P在AC上的不同位置，画出相应的图形，测量线段AP，PE，PF的长度，得到下表的几组对应值：
AP/cm
0
0.5
1
1.5
2
3
3.5
4
4.5
PE/cm
1.12
0.71
0.50
0.71
1.12
1.58
2.06
2.55
3.04
PF/cm
3.04
2.55
2.06
1.58
a
0.71
0.50
0.71
1.12
表格中a的值为 　1.12　；
（2）将线段AP的长度作为自变量x，PE和PF的长度都是x的函数，分别记为yPE和yPF，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yPE的图象，如图2所示，请在同一平面直角坐标系中画出函数yPF的图象；
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△PEF为等腰三角形时，线段AP的长度．（结果保留一位小数）

【分析】（1）根据线段中点的定义得到AE＝CF，∠A＝∠C，根据全等三角形的性质得到结论；
（2）根据题意作出函数yPF的图象即可；
（3）根据三角形中位线的性质得到EF=12AC＝2（cm），根据题意作出作出直线yEF＝2，根据函数图象的交点坐标即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AP＝2时，点P为AC的中点，
∵E，F分别是AB，BC的中点，AB＝BC，
∴AE＝CF，∠A＝∠C，
∴△APE≌△CPF（SAS），
∴PE＝PF＝1.12，
即a＝1.12，
故答案为：1.12；
（2）函数yPF的图象如图所示；
（3）∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF=12AC＝2（cm），
∵△PEF为等腰三角形，
∴PE＝EF或PF＝EF或PE＝PF，
如上图作出直线yEF＝2，
当PE＝EF时，则yEF＝2的图象与yPE的图象交点横坐标为x＝3.2，
当PF＝EF时，则yEF＝2的图象与yPF的图象交点横坐标为x＝1.1，
当PE＝PF时，则yPE的图象与yPF的图象交点横坐标为x＝2，
综上所述：线段AP长度的近似值为3.2cm或1．cm或2cm．

23．（11分）已知D是等腰直角△ABC所在平面上的任意一点，∠BAC＝90°，连接DA并延长到点E，使得AE＝DA．连接BD，CD，以DB，DC为邻边作平行四边形DBFC，连接EF．
（1）如图1，当点D在△ABC的直角角平分线上时，EF与BC的位置关系为 　EF⊥BC　，数量关系为 　EF＝BC　；
（2）如图2，当点D不在∠BAC的平分线上时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
（3）将AD绕点A逆时针旋转，当∠ACD＝15°，∠BFC＝90°时，请直接写出DCAB的值．

【分析】（1）设EF交BC于点G，由AB＝AC，AF平分∠BAC得EF⊥BC，因为四边形DBFC是平行四边形，所以FG＝DG，而AE＝DA，可得EF＝2AG＝BC；
（2）EF⊥BC，EF＝BC仍然成立，设EF交BC于点H，连接DF交BC于点G，连接AG，则FG＝DG，AE＝DA，根据三角形中位线定理可得AG∥EF，AG=12EF，而AG⊥BC，AG=12BC，于是得EF⊥BC，EF＝BC；
（3）分两种情况，一是点D与点B在直线AC的异侧，则∠BCD＝45°+15°＝60°，由四边形DBFC是平行四边形，且∠BFC＝90°得∠BDC＝90°，于是可求得DC=12BC，AB=22BC，可求得DCAB=22；二是点D与点B在直线AC的同侧，则∠BCD＝45°﹣15°＝30°，于是可求得DC=32BC，AB=22BC，可求得DCAB=62．
【解答】（1）解：如图1，EF交BC于点G，
∵AB＝AC，AF平分∠BAC，
∴EF⊥BC，
∵∠BAC＝90°，
∴AG=12BC＝BG＝CG，
∵四边形DBFC是平行四边形，
∴FG＝DG，
∵AE＝DA，
∴EF＝AG+AE+FG＝AG+DA+DG＝AG+AG=12BC+12BC＝BC，
故答案为：EF⊥BC，EF＝BC．
（2）解：成立，
证明：如图2，EF交BC于点H，连接DF交BC于点G，连接AG，
∵四边形DBFC是平行四边形，
∴GF＝DG，BG＝CG，
∵AB＝AC，
∴AG⊥BC，
∴∠BAC＝90°，
∵AG=12BC，
∴AE＝DA，
∴AG∥EF，AG=12EF，
∴∠EHB＝∠AGB＝90°，12EF=12BC，
∴EF⊥BC，EF＝BC．
（3）解：如图3，点D与点B在直线AC的异侧，
∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∠ACD＝15°，
∴∠BCD＝45°+15°＝60°，
∵四边形DBFC是平行四边形，且∠BFC＝90°，
∴∠BDC＝∠BFC＝90°，
∴DC＝BC•cos∠BCD＝BC•cos60°=12BC，
∵AB＝BC•cos∠ABC＝BC•cos45°=22BC，
∴DCAB=12BC22BC=22；
如图4，点D与点B在直线AC的同侧，
∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∠ACD＝15°，
∴∠BCD＝45°﹣15°＝30°，
∵四边形DBFC是平行四边形，且∠BFC＝90°，
∴∠BDC＝∠BFC＝90°，
∴DC＝BC•cos∠BCD＝BC•cos30°=32BC，
∵AB＝BC•cos∠ABC＝BC•cos45°=22BC，
∴DCAB=32BC22BC=62，
综上所述，DCAB的值为22或62．