5.1 任意角和弧度制-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

任意角和弧度制要点一：任意角的概念1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.正角:按逆时针方向旋转所形成的角.负角:按顺时针方向旋转所形成的角.零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.2.终边相同的角、象限角终边相同的角为角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.要点诠释：(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(2)终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.3．常用的象限角角的终边所在位置角的集合x轴正半轴y轴正半轴x轴负半轴y轴负半轴x轴y轴坐标轴是第一象限角，所以是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第四象限角，所以要点二：弧度制1．弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).2．角度与弧度的换算弧度与角度互换公式： 1rad=≈57.30°=57°18′，1°=≈0.01745(rad)3．弧长公式：(是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：.要点诠释：(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.(2)角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径.     【典型例题】类型一：终边相同的角的集合例1．在与10030°角终边相同的角中，求满足下列条件的角。（1）最大的负角；（2）360°～720°内的角。 【解析】（1）与10030°角终边相同的角的一般形式为=k·360°+10030°（k∈Z），由－360°＜k·360°+10030°≤0°，得－10390°＜k·360°≤－10030°，解得k=―28，故所求的最大负角为=―50°（2）由360°≤k·360°+10030°＜720°，得－9670°≤k·360°＜―9310°，解得k=―26。故所求的角为=670°  例2．已知、的终边有下列关系，分别求、间的关系式。（1）、的终边关于原点对称；（2）、的终边关于x轴对称；（3）、的终边关于y轴对称。【解析】（1）由于、的终边互为反向延长线，故、相差180°的奇数倍（如下图①），于是（k∈Z）。（2）由于与－的终边相同（如下图②），于是=－+k·360°，即+=k·360°（k∈Z）。（3）由于－的终边与的终边互为反向延长线（如下图③），故－(－)=(2k+1)·180°，即+=(2k+1)·180°（k∈Z） 类型二：角所在象限的研究例3．若是第二象限角，试分别确定，，的终边所在的位置。 【解析】解法一：因为是第二象限的角，所以k·360°+90°＜＜k·360°+180°（k∈Z）。（1）因为2k·360°+180°＜＜2k·360°+360°（k∈Z），故是第三、第四象限的角或角的终边在y轴的负半轴上。（2）因为k·180°+45°＜＜k·180°+90°（k∈Z），当k=2n（n∈Z）时，n·360°+45°＜＜n·360°+90°；当k=2n+1（n∈Z）时，n·360°+225°＜＜n·360°+270°（k∈Z），所以是第一或第三象限的角。（3）因为k·120°+30°＜＜k·120°+60°（k∈Z）。当k=3n（n∈Z）时，n·360°+30°＜＜n·360°+60°；当k=3n+1（n∈Z）时，n·360°+150°＜＜n·360°+180°；当k=3n+2（n∈Z）时，n·360°+270°＜＜n·360°+300°，所以是第一或第二象限或第四象限的角。    举一反三：【变式1】若是第三象限的角，则2，分别是第几象限的角？【答案】一、二象限或轴的正半轴上；二、四象限  【变式2】集合，，则(    )A、      B、      C、      D、【答案】C 【解析】( 法一) 取特殊值-1，-3，-2，-1，0，1，2，3，4(法二)在平面直角坐标系中，数形结合(法三)集合M变形，集合N变形，是的奇数倍，是的整数倍，因此. 类型三：弧度制与角度制的互化例4．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合，如图所示（不包括边界）。   【解析】（1）如下图①，以OB为终边的角为330°，可看成是－30°，化为弧度，即，而rad，∴所求集合为。（2）如上图②，以OB为终边的角225°，可看成是－135°，化成弧度，即，而rad，∴所求集合为。   例5．设角，，，。（1）将，用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；（2）将，用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角。 【解析】（1），。所以在第二象限，在第一象限。（2），设=k·360°+（k∈Z），因为－720°≤＜0°，所以－720°≤k·360°+108°＜0，解得k=―2或k=―1，所以在―720°～0°间与有相同终边的角是―612°和―252°。同理=―420°，在―720°～0°间与有相同终边的角是－60°。 类型四：扇形的弧长、面积与圆心角问题例6．已知一扇形的圆心角为（＞0），所在圆的半径为R．（1）若=60°，R=10 cm，求扇形的弧长及该扇形的面积；（2）一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【解析】（1）设弧长为l，弓形面积为S，则，R=10，（cm），设扇形面积为S， （2）设扇形的半径为R，弧为为l，则l+2R=20，即l=20－2R，（0＜R＜10）．∴扇形的面积．∴当R=5 cm时，S有最大值25 cm2，此时l=10 cm，．因此，当=2 rad时，扇形的面积取最大值 举一反三：【变式1】扇形AOB的面积是4 cm2，它的周长是10 cm，求扇形的圆心角的弧度数及弦AB的长。【解析】设长为cm，扇形半径为R cm，则由题意，得，解得  或  （不合题意，舍去）。∴（rad）。∴弦（cm）。