专题1 2022年新高考数学 函数与导数选择填空压轴小题专项训练(解析版)

专题1 2022年新高考数学函数与导数选择填空压轴小题专项训练(解析版)

1．B

【解析】

【分析】

先求出函数的零点即可求得的值，再结合函数的图象及要求的零点个数求出m范围得解.

【详解】

令，，，因此，函数在上单调递增，在上单调递减，

时，，且时，恒成立，

当时，在上单调递减，在上单调递增，

时，，在R上的图象如图，

当时，由得，即，由得，则有函数的零点为-2，0，

函数有三个零点，当且仅当和共有三个零点，即和共有三个零点，

当，即时，和各一个零点，共两个零点，

当，即时，有两个零点，有一个零点，共三个零点，

当，即时，有三个零点，有一个零点，共四个零点，

当，即时，有两个零点，有一个零点，共三个零点，

当，即时，和各有一个零点，共两个零点，

当，即时，无零点，要有三个零点，当且仅当有三个零点，必有，

所以实数的取值范围是.

故选：B

2．D

【解析】

【分析】

方程在恰有5个互异的实数解可转化为函数与的图象有5个交点，利用图象数形结合，建立不等式求解即可.

【详解】

因为f(x+2)=f(x)，

所以的周期，

作出与的图象如下，

当时，与无交点，

故5个交点同在轴的右侧，

由图象可知，与在这些区间中共有5个交点，

故会在或内与相交

需满足或

解得或，

即或或或，

综上可知，

故选：D

【点睛】

关键点点睛：根据方程的根的个数，转化为图象交点的个数，利用数形结合的思想，根据交点个数建立不等式，是解决本题的关键所在，属于较难题目.

3．C

【解析】

构造函数，则在上恒成立，从而得到函数的单调性，即可得到答案；

【详解】

，

令则在上恒成立

在上为增函数,

，

故选：C.

【点睛】

本题求解的关键是根据条件中的不等式，构造可判断单调性的函数，再利用单调性比较函数值的大小关系.

4．A

【解析】

【分析】

令，由题可求得，得出，因为“在上恒成立”等价转化为对恒成立，利用导数求出的最大值，得到其充分必要条件，然后即可判断.

【详解】

令，则．

由，，即，

是的单调递增函数，且，，

，

“在上恒成立”等价于对于恒成立．

令，，

当时，，单调递增；当时，，单调递减,，故“在上恒成立”等价于．

是的充分不必要条件，∴“”是“在上恒成立”充分不必要条件，

故选：A．

5．C

【解析】

【分析】

根据题设可得、，当易知，当时构造，利用导数研究单调性可得，即可知在上恒成立，构造并研究求其最小值即可得a的最大值.

【详解】

由，，

由，

①若，，此时满足；

②若，令，在恒成立，

∴在单调递增，而，

∴在恒成立，

综上，在恒成立，，

令，，

在单调递减，单调递增，

∴，即有．

故选：C

【点睛】

关键点点睛：根据恒成立得到、，讨论、判断的大小关系，进而求a的最值.

6．D

【解析】

【分析】

不等式等价于，分类讨论，和，分别求出实数的取值范围，最后取交集即可.

【详解】

易知，不等式，即.

当时，，，则，又，所以；

当时，，对任意的实数，不等式恒成立；

当时，，，则，又，所以；

综上，实数的取值范围为.

故选：D

【点睛】

方法点睛：本题考查不等式恒成立求参数问题， 不等式恒成立问题常见方法：

①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；

②数形结合( 图像在 上方即可)；

③讨论最值或恒成立.

7．C

【解析】

【分析】

通过参变分离，利用导函数求函数的值域即可.

【详解】

原不等式可化为．

令，则．

令，则．

∵函数在区间上递增，∴，

∴．

，使得，即，，

，递减，，递增，

∴，

∴，恒有，在区间上递增，

∴，

∴．

故选：C.

8．A

【解析】

【分析】

化简方程，令，得到．构造函数，则，利用函数的单调性，结合函数的图象，要使关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，结合图象可得关于的方程一定有两个实根，（），结合韦达定理，推出所求表达式的关系式，然后求解即可．

【详解】

由方程，可得.

令，则有，即.

令函数，则，

由，解得，，解得

所以在上单调递增，在上单调递减，且

作出图象如图所示，要使关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，

结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，

且，，，.

所以，解得或

若，则,解得，则

此时只有1个实数根，此时原方程没有3个不等实数根，故不满足题意.

若，则，可得，显然此时原方程没有3个不等实数根，故不满足题意.

要使原方程有3个不等实数根，则

所以，，解得.

所以，

故.

故选：A

【点睛】

关键点睛：本题主要考查利用导数研究方程的解，解答本题的关键是利用换元法设，将方程化为，根据题意得出方程一定有两个实根，（），设函数判断出函数的单调性，结合图象将,示为关于m的函数，求出函数的范围，属于难题.

9．A

【解析】

【分析】

本题首先可将函数有个零点转化为直线与函数的图像有个交点，然后根据函数是奇函数转化为与只有一个交点，最后利用点处的的切线方程即可得出结果.

【详解】

令，则，

则函数有个零点即直线与函数有个交点，

将直线与函数的图像分别沿轴的正方向上移个单位，

即直线与函数的图像有个交点，

因为，满足，所以函数是奇函数，

因为直线过点，

所以只需满足直线与刚好有除点外的另一个交点即可，

，，，

故在点处的切线方程为，

如图，将直线绕原点逆时针旋转，

显然与只有一个交点，

故实数的取值范围是，

故选：A.

【点睛】

关键点点睛：本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，能否根据奇函数性质以及图像的变换将函数有个零点转化为与只有一个交点是解决本题的关键，考查曲线的切线的应用，考查推理能力，是难题.

10．A

【解析】

【分析】

设，利用斜率公式求得，结合在椭圆上，化简可得，令，则，利用导数求得使取最小值的，可得时，取得最小值，根据离心率定义可得结果.

【详解】

A(-a，0)，B(a，0)，设，则，而，则，

又，

令，则，

所以,

故，即，从而.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查椭圆的几何性质、直线的斜率公式的应用，以及椭圆的离心率，利用导数求函数的最值，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．

11．

【解析】

【分析】

根据原点对称的性质，求出当时函数关于原点对称的函数，条件转化函数，与，，只有一个交点，作出两个函数的图象，利用数形结合结合对数函数的性质进行求解即可．

【详解】

解：当时，函数关于原点对称的函数为，即，，

若此函数的“友好点对”有且只有一对，

则等价为函数，与，，只有一个交点，

作出两个函数的图象如图：

若，则，与，，只有一个交点，满足条件，

当时，，

若，要使两个函数只有一个交点，

则满足（4），

即得，得或，

，，

综上或，

即实数的取值范围是，

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查函数与方程的应用，结合函数的对称性，转化为对称函数的相交问题是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．

12．2

【解析】

【分析】

先根据时，得，进而得函数是以为周期的周期函数，再根据函数周期性求值即可得答案.

【详解】

因为时，，

所以，故，

所以，所以.

又

.

故答案为：2

【点睛】

关键点点睛：本题考查函数的周期性，解题的关键在于根据时，得当时，，进而根据周期性得，考查学生的分析审题能力，属于较难题.

13．．

【解析】

【分析】

已知式变形为，引入新函数，它是偶函数，由导数得出单调性，题设不等式化为，再由单调性得解．

【详解】

由得，令，则，是偶函数，

时，，则，是减函数，因此时，是增函数，

，

所以，

即，，

所以，，．

故答案为：．

【点睛】

本题考查用导数解函数不等式，解题关键是引入新函数，由已知确定奇偶性，由导数确定单调性，把所要解不等式也化为关于的函数不等式，由奇偶性和单调性求解．

14．

【解析】

【分析】

令，将可得，解得，即可得，设，利用导数判断单调性作出的图象以及的图象，结合图象可得即可求解.

【详解】

因为定义在的单调函数满足，

所以必存在唯一的正实数，满足， ①，

令，可得 ②，由①②得：即，

因为单调递增，单调递减，所以方程有唯一解，

所以，解得：．故，

由方程在区间上有两解，

即在区间上有两解，

由，可得，

当时，，递减，

当时，，递增，

所以在处取得最大值，，，

分别作出，和的图象，可得两图象只有一个交点，

若的图象以及的图象有个交点，

则，解得，所以当时，两图象有两个交点，即方程两解．

故答案为：．

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

15．

【解析】

【分析】

由已知等式代入可得，然后结合对数的运算和性质得出，构造函数并由函数的单调性可得出，代入到所求式子后得，再次构造函数，利用导数研究函数的单调性，可知当时，取得最大值，代入即可求出的最大值.

【详解】

解：由题意得，，，

，，

，

即，

设，则，

可知在上单调递增，

所以，

则，

，则，

，

令，则，

当时，则，单调递增，

当时，则，单调递减，

故当时，取得最大值，

即的最大值为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，解决本题的关键是利用对数的运算进行化简以及构造新函数并灵活利用函数的单调性，属于中档题.

16．

【解析】

【分析】

选设出点的坐标，根据导数的几何意义得到切线的斜率，再根据角的互余，得到的正切值，最后再中，由正弦定理可得到的表达式，再通过其表达式求出最小值.

【详解】

，设，

由，则，抛物线，

所以，

不妨设，则，

因为，所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

在中，由正弦定理有

．

当且仅当时，即时，．

故答案为：．

【点睛】

关键点睛：解决本题一是要将问题转化到中运用正弦定理，二是要运用三倍角公式，三是要构造二次齐式，最后是要使用基本不等式.

17．

【解析】

由已知条件可得，再利用换元法令，将问题转化为研究直线恒在曲线的上方，即可得到答案；

【详解】

，

令，

，

①，

令，

①对恒成立，

对，对，

令，则，

，，

在单调递增，在单调递减，

当与相切时，设切点为，

或，

直线要恒在曲线的上方，

直线斜率的取值范围为，

故答案为：.

【点睛】

本题主要涉及三个变量，求解时要用换元法结构函数构造，消去其中一个变量，这是求解多变量问题的常用方法.

18．

【解析】

【分析】

由题意知：函数的图象在区间上的图象与直线有三个不同的交点，求出直线与相切时的值，以及过点时的值，数形结合即可求解.

【详解】

令，

则关于的方程在区间上有三个不相等的实根，

等价于函数的图象在区间上的部分与直线有三个不同的交点，

是过原点斜率为的直线，

设过原点且与的图象相切的直线与的图象相切于点，

所以，，所以，

所以切线方程为，整理可得：，

因为切线过原点，所以，即，所以，

所以设过原点且与的图象相切的直线方程为，

记，则直线的斜率为，

由图知：要使函数的图象在区间上的部分与直线有三个不同的交点，

则令直线的斜率在过原点的与的图象相切的直线的斜率和直线的斜率之间，所以，

所以实数的取值范是

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

19．

【解析】

【分析】

利用隐零点法，设使得，即，结合基本不等式可得答案；

【详解】

，在恒成立，

在单调递增，时，，，

使得，即；

且，，

在单调递减，在单调递增，

，解得：，

实数的取值范围为，

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的最上值求解不等式恒成立问题，求解时注意隐零点法、整体代换思想的应用.

20．5

【解析】

【分析】

先根据①②可知函数的对称中心和对称轴，再分别画出和的部分图像，由图像观察交点的个数．

【详解】

根据题意，①，得函数的图像关于点对称，

②，得函数的图像关于对称，则

函数与在区间上的图像如图所示，

由图可知与的图像在上有5个交点．

故答案为：5．

【点睛】

结论点睛：本题考查函数的对称性，利用函数的图像求函数的交点个数，函数对称性常用的结论：函数若满足则函数图像关于点对称，若函数满足则函数图像关于对称.