专题4 2022年新高考数学 平面向量选择填空压轴小题专项训练(解析版)

专题4  2022年新高考数学  平面向量选择填空压轴小题专项训练(解析版)

1．C

【解析】

【详解】

 由，则，所以数列构成首项为，公比为的等比数列，所以，又当时，，

所以当，且时，是成立的，故选C.

2．A

【解析】

【详解】

由双曲线，可设，易知左焦点，过的直线方程斜率为，所以直线方程为，双曲线的一条渐近线方程为，联立这两式可得，根据，代入得，整理得

点睛：本题主要考察直线与圆锥曲线和空间向量及其运算，求离心率得问题主要是从题目中找到得相关等式，然后根据其关系求解离心率即可

3．C

【解析】

【分析】

由题意,设向量,的夹角为,由化简求得，设,则,由化简可知即在以为圆心,半径为1的圆上,由点与圆的位置关系分析可得即可得答案.

【详解】

根据题意,设向量,的夹角为,若,

则,

即,解得:.

则在直角坐标系中,设,

则,

则有,若,

则有,

即,

变形可得: ,

点C在以为圆心,半径为1的圆上,设,

则,则有,

则有,

所以的取值范围是

故选:C.

【点睛】

本题考查数量积的运算,将平面向量的模转化为点与圆的位置关系问题,属于较难题.

4．A

【解析】

由向量的运算性质有，展开后结合已知条件即得，又令整理可得关于m的不等式，即可求出的最值.

【详解】

∵，

而，

∴，又，，，，

∴，而，

若令，则，即，

∴，可知的最大值为，

故选：A

【点睛】

关键点点睛：利用向量线性运算的的性质，结合凑配的方式得到关于的不等式，求解集，即可知的最值.

5．C

【解析】

【详解】

分析： 画出可行域，将目标函数转化为向量与的夹角的余弦值，结合可行域可得结果.

详解：

作出表示的可行域，如图

变形目标函数，

，

其中为向量与的夹角，

由图可知，时有最小值，

在直线上时，有最大值，

即，，

目标函数的最大值为，故选C.

点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

6．A

【解析】

【分析】

将代入,结合和()化简即可得出集合中元素的个数.

【详解】

①当时

正方体

     故:     ()

     故:     ()

中元素的个数为.

②时

此时中元素的个数为.

综上所述, 中元素的个数为.

故选:A.

【点睛】

本题中将化简成和结合时,是解本题的关键.

7．A

【解析】

【分析】

将变形为，从而可得，设，由向量减法及数量积可知的终点在以为圆心，以为半径的圆周上，结合圆的性质可得答案.

【详解】

由得，．

不妨设，则的终点在以为圆心，以为半径的圆周上．

因为与是单位向量，所以的最大值是与圆心距离加，

即，最小值是与圆心距离减，即，故和为.

故选：A．

8．D

【解析】

【详解】

分析：由已知结合数量积的几何意义列关于，，的方程组，求得，再由余弦定理求得，展开数量积，结合，且余弦函数在上为减函数即可得答案．

详解：分别取，的中点为，，连接，，根据题设条件可得，.

∴，.

∵

∴①

②

∵③

∴由①②③得

根据余弦定理可得

∴

在中，由大边对大角得：.

∵，且余弦函数在上为减函数

∴

∴

故选D.

点睛：(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.

(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.

(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.

9．A

【解析】

【分析】

解法一利用绝对值三角不等式得到，然后求的最小值即可；解法二   设，，，易得，则的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，连接，然后又，，三点共线且在，中间时，取得最小值求解.

【详解】

解法一   由题可得，，

所以要求的最小值，需求的最小值.

因为，与的夹角为，

所以的最小值为，

所以，

即的最小值为，

解法二   如图，

设，，，则，.

由，知，点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，

连接，结合图形可知，当，，三点共线且在，中间时，取得最小值.

由正弦定理得：，

所以，

故的最小值为.

故选：A

【点睛】

关键点点睛：本题关键是根据与的夹角为，由的最小值为而得解.

10．A

【解析】

【分析】

由于A、B两点在渐近线上，可设出两点坐标为 的面积为 ，代入可得，又由，表示出P点坐标，把P点坐标代入双曲线方程又可得，

从而可解得值.

【详解】

可设

的面积为

由题意可得，解得① ，由，可得 即为 代入双曲线的方程，可得，化简得，②，由①②解得 ，所以.

故选A.

【点睛】

本题考查双曲线的性质，解题时把的面积转化为向量表示，目的是用两点的坐标表示面积，求出两点坐标与面积的一个关系式，由容易联想到三点间坐标关系，而把P点坐标代入双曲线方程是解题的常用方法，这样本题的这种解法就确定了.

11．

【解析】

【分析】

计算，，设，计算，得到答案.

【详解】

，故，故，.

设，

故

，，

故.

故答案为： .

【点睛】

本题考查了向量模的范围问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.

12．；

【解析】

【分析】

由平面内三个不共线的向量且在同一直线上，可知，则数列为周期数列，.求解即可.

【详解】

平面内三个不共线的向量且在同一直线上

，即①

用替换上式中所有的，得②

①②两式相加，得，即

则，用替换中所有的，整理得

用替换中所有的，得，即

则数列是周期为6的周期数列.

故答案为：

【点睛】

本题考查求周期数列的前项和.属于较难的一道题.

13．

【解析】

【详解】

试题分析：，同理，.

考点：向量的运算，向量的数量积.

14．

【解析】

设，根据题设条件，求得，再结合点与圆的位置关系，即可求解.

【详解】

由题意，因为，，与夹角为，

可设，

又由，

即，即，

可得圆心坐标为，半径为1的圆，

又由表示圆上的点到点的距离，

所以的最大值为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积的运算，以及点与圆上点的距离的最值等知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力.

15．

【解析】

【分析】

根据题意，点在单位圆上，故，当三点共线，即点在处时，取最小值，当位于处时，取最大值，计算得到答案.

【详解】

因为，所以，设，

即，点在单位圆上，

因为，

设，

即，故，

所以，

如图，（1）当三点共线，即点在处时，取最小值．

因为，所以，

（2）当位于处时，取最大值，，

因为，

即，

所以，当且仅当取等号，

综上，．

故答案为：.

【点睛】

本题考查了向量模的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.

16．

【解析】

【分析】

变换得到，则点为的顶点时取最大值，计算得到答案.

【详解】

正的边长为1，则高为，内切圆半径为

如图所示，，

当点为的顶点时，取得最大值，所以的最大值为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了向量的最值计算，变换得到是解题的关键.

17．①②

【解析】

【分析】

根据向量的运算求出的解析式，结合三角函数的性质判断即可.

【详解】

向量，向量，

函数

，

①最小正周期．

②当时，，∴关于直线对称；

③当时，，∴关于点中心对称．

④∵值域为，即，，

可得，即．

∴的值域为．

故答案为：①②．

【点睛】

本题考查了向量的运算，三角函数的周期，对称性和值域，意在考查学生的综合应用能力.

18．

【解析】

【详解】

试题分析：以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，依题意得，，设，依题意，即，，两式相减得，，.

考点：向量运算．

【思路点晴】本题主要考查向量运算的坐标法. 平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．

19．

【解析】

【分析】

建立平面直角坐标系，利用导函数求最值即可.

【详解】

把平面向量请进平面直角坐标系，

设，，

又，可设

∵，∴，

要使的最大，可令，

∴，

令

∴的增区间为 ，减区间为

∴

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：处理函数的最值方法有二，其一：利用导数大法，其二：利用四元均值不等式亦可，

.

20．

【解析】

【详解】

以直线为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图，则，，，，

设，，，

则，，，由知，

所以，易知，当且仅当时，取等号，又时，，时，，所以．

点睛：求平面图形中向量数量积一般有两种方法：

（1）选取图中不共线的两个向量为基底，把其他向量用基底表示，最后把所求向量的数量积转化为基底的数量积；

（2）在图形中确定两相互垂直的直线，以它们为轴建立平面直角坐标系，写出（或设出）各点坐标，把向量用坐标表示，这样向量的数量积可以用坐标运算，把形转化为数．

本题利用第二种方法，可以很讯速地确定题中已知条件，并把待求式与已知建立关系，从而求得结论．在几何关系不容易确定时可以用这种方法，能减少思维量．