模拟考场卷03-2021-2022学年高一数学下学期期末复习备考精准测试卷（人教A版2019必修第二册）

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高一下学期期中复习备考精准测试卷---第三篇  模拟考场卷模拟考场卷3                  （考试时间：120分钟  试卷满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个基本事件的是（    ）A．“至少一枚硬币正面向上”B．“只有一枚硬币正面向上”C．“两枚硬币都是正面向上”D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”【答案】A【分析】利用列举法，直接列举出总的基本事件，逐项判断，即可得出结果.【详解】先后抛掷2枚均匀的一分､二分的硬币，所包含的基本事件有{正，正}､{正，反}､{反，正}､{反，反}，“至少一枚硬币正面向上”包含的基本事件有{正，正}､{正，反}､{反，正}共三个，故A正确；“只有一枚硬币正面向上”包含的基本事件有{正，反}､{反，正}共两个，故B错；“两枚硬币都是正面向上”包含的基本事件有{正，正}共一个，故C错；“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上” 包含的基本事件有{正，反}､{反，正}共两个，故D错.2． 某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700，从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第8个样本编号是（    ）A．623 B．368 C．253 D．072【答案】B【分析】从表中第5行第6列开始向右读取数据，每3个数为一个编号，不在编号范围内或重复的排除掉，第8个数据即为答案.【详解】从表中第5行第6列开始向右读取数据，依次得到（舍），（舍），（舍），（舍），（舍），，由此可得出第8个样本编号是3． 设，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得，进而求模长即可.【详解】因为，所以，解得，所以.4． 已知在中，分别为内角的对边，，，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】用表示出，代入余弦定理中，解方程求得.【详解】由得：，在中，由余弦定理得：，即，解得：.5． 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（      ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由垂直关系可知，由数量积的运算律可求得，由此可确定所求夹角.【详解】，，即，又且，，，又，，即.6． 掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为，事件表示“出现小于5的偶数点”，事件表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件（表示事件的对立事件）发生的概率为　　A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意知试验发生包含的所有事件是6，事件和事件是互斥事件，看出事件和事件包含的基本事件数，根据互斥事件和古典概型概率公式得到结果．【详解】事件表示“小于5的点数出现”，的对立事件是“大于或等于5的点数出现”，表示事件是出现点数为5和6．事件表示“小于5的偶数点出现”，它包含的事件是出现点数为2和4，，，，．7． 已知正方体的棱长为2，点在棱上，过点作该正方体的截面，当截面平行于平面且面积为时，线段的长为（    ）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】过点作，的平行线，分别交棱，于点，，连接，，即可得到为截面，且为等边三角形，再根据截面面积求出的长度，即可求出；【详解】如图，过点作，的平行线，分别交棱，于点，，连接，，因为，所以，面，面，所以面因为，所以，面，面，所以面，又，面，所以面 面，则为截面，易知是等边三角形，则，解得，∴.8．在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为（    ）A．3 B． C．1 D．【答案】A【分析】由向量加减的几何意义可得，结合已知有，根据三点共线知，应用基本不等式“1”的代换即可求最值，注意等号成立的条件.【详解】由题设，如下图示：，又，，∴，由三点共线，有，∴，当且仅当时等号成立.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9． 下列命题是真命题的有（    ）A．有甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30B．数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙D．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5【答案】BCD【分析】根据分层抽样的性质判断A；计算出平均数、中位数、众数判断B；计算乙的方差判断C；由百分位数的性质判断D.【详解】对于A项，乙、丙抽取的个体数分别为，则样本容量为，故A错误；对于B项，平均数为，中位数为，众数为，故B正确；对于C项，乙的平均数为，方差为，则这两组数据中较稳定的是乙，故C正确；对于D项，将该组数据总小到大排列，由，则该组数据的85%分位数为5，故D正确；10． 已知的面积为3，在所在的平面内有两点P，Q，满足，，记的面积为S，则下列说法正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用向量的共线定义可判断A；利用向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可判断B；利用向量数量积的定义可判断C；利用三角形的面积公式即可判断D.【详解】由，，可知点P为的三等分点，点Q 为延长线的点，且为的中点，如图所示：对于A，点P为的三等分点，点为的中点，所以与不平行，故A错误； 对于B，,故B正确；对于C，，故C错误；对于D，设的高为，，即，则的面积，故D正确。11． 甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据题意，分别求得可判断A，由独立事件概率乘法公式，可判断BCD.【详解】由已知，，由已知有，，，所以，则A正确；，则B正确；事件、、不相互独立，故错误，即C错误，则D正确；综上可知正确的为ABD.12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则下列选项中正确的是（    ）A．AC⊥B1EB．B1C∥平面A1BDC．三棱锥C1﹣B1CE的体积为D．异面直线B1C与BD所成的角为45°【答案】AB【分析】对于A，由已知可得AC⊥平面BB1D1D，从而可得AC⊥B1E；对于B，利用线面平行的判定定理可判断；对于C，由进行求解即可；对于D，由于BD∥B1D1，所以∠CB1D1是异面直线B1C与BD所成的角，从而可得结果【详解】如图，∵AC⊥BD，AC⊥BB1，∴AC⊥平面BB1D1D，又B1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥B1E，故A正确；∵B1C∥A1D，A1D⊂平面A1BD，B1C平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD，故B正确；三棱锥C1﹣B1CE的体积为，故C错误；∵BD∥B1D1，∴∠CB1D1是异面直线B1C与BD所成的角，又△CB1D1是等边三角形，∴异面直线B1C与BD所成的角为60°，故D错误.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.【答案】【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.【详解】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：.14．某工厂在试验阶段生产出了一种零件，该零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少一项技术指标达标的概率为．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．则一个零件经过检测，为合格品的概率是 _________．【答案】【详解】设A、B两项技术指标达标的概率分别为P1、P2，一个零件经过检测，为合格品的概率P；由题意得：，解可得P1=，P2=，或P1=，P2=，则P=P1×P2=；15．在长方体中，，，，若在长方体中挖去一个体积最大的圆柱，则此圆柱与原长方体的体积比为________.【答案】【分析】以为圆柱底面时，挖去的圆柱体积为：，以为圆柱底面时，挖去的圆柱体积为：，以为圆柱底面时，挖去的圆柱体积为：，由此能求出在长方体中挖去一个体积最大的圆柱，进而求得圆柱与原长方体的体积比.【详解】以为圆柱底面时，挖去的圆柱最大体积为：，以为圆柱底面时，挖去的圆柱最大体积为：，以为圆柱底面时，挖去的圆柱最大体积为：，∴在长方体中挖去一个体积最大的圆柱，此圆柱与原长方体的体积比为：.16．（本题第一空2分，第二空3分）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15．如图，则甲壳上所有阴阳数之和__________；若从五个阳数中随机抽取三个数，则能使得这三个数之和等于15概率是__________．【答案】45        【分析】由洛书上所有数相加即得和，用列举法列出从五个阳数中随机抽取三个数的所有基本事件，求和后知和为15的基本事件的个数，从而可得概率．【详解】甲壳上所有阴阳数之和为（或），五个阳数是1,3，5,7，9，任取3个数所得基本事件有：135,137,139,157,159,179,357,359,379,579共10个，其中和为15的有159,357共2个，所求概率为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）一个口袋内装有形状､大小相同，编号为1，2，3的3个白球和编号为a的1个黑球.（1）从中一次性摸出2个球，求摸出的2个球都是白球的概率；（2）从中连续取两次，每次取一球后放回，甲､乙约定：若取出的两个球中至少有1个黑球，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平？说明你的理由.【答案】（1）；（2）不公平，理由见详解.【分析】（1）用列举法列举出总的基本事件，以及满足摸出的2个球都是白球所包含的基本事件，基本事件的个数比，即为所求概率；（2）用列举法列举出“从袋中连续取两次，每次取一球后放回”所包含的基本事件，以及“取出的两个球中至少有1个黑球”所包含的基本事件，基本事件个数比即为甲胜的概率，进而可得出结论.【详解】（1）从袋中一次性摸出2个球，所包含的基本事件有：，，，，，，共个基本事件；摸出的2个球都是白球，所包含的基本事件有：，，，共个基本事件；则从中一次性摸出2个球，求摸出的2个球都是白球的概率为；（2）从袋中连续取两次，每次取一球后放回，则所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件；则取出的两个球中至少有1个黑球，所包含的基本事件有：，，，，，，，共个基本事件；因此取出的两个球中至少有1个黑球的概率为，即甲胜的概率为，则乙胜的概率为，所以此游戏不公平.18．（12分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点.（1）求证;（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据折叠前后，证得平面，进而得到（2）由（1）可知，求得三棱锥的高，再结合三棱锥的体积公式，即可求解.【详解】（1）由题意，根据折叠前后，可得，又，所以平面，又由平面，所以（2）由（1）可知，平面，所以三棱锥的高，又折前为，E，F分别为AB，BC的中点，所以，所以.19．（12分）如图，某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与该港口相距海里的处，并正以海里/小时的航行速度沿正东方向匀速航行，经过小时与轮船相遇，相遇点记为．（1）若小艇以海里/小时的航行速度沿北偏东方向航行，则小艇能否及时将物品送到轮船上？（2）为了保证小艇能将重要物品送到轮船上，请问小艇的速度至少为多少海里/小时？【答案】（1）不能；（2）海里/小时【分析】（1）本题首先可以作，然后根据题意得出、，再然后根据小艇沿北偏东方向航行求出、，最后求出轮船到达点所用时间以及小艇到达点所用时间并进行对比，即可得出结果；（2）本题可设经过小时与轮船相遇，小艇的速度为，然后根据余弦定理得出，最后通过配方法求出最值即可得出结果.【详解】（1）如图，作，因为轮船位于港口北偏西且与该港口相距海里的处，所以，，因为，所以，，，因为小艇沿北偏东方向航行，所以若相遇点为，则，，轮船到达点所用时间（小时），小艇到达点所用时间（小时），因为，所以不能及时将物品送到轮船上.（2）设经过小时与轮船相遇，小艇的速度为，根据余弦定理易知，，即，，，故当，即小时时，取最小值海里/小时.20．（12分）已知复数，（），且.（1）若且，求的值；（2）设；①求的最小正周期和单调递减区间；②已知当时，，试求的值.【答案】（1），；（2）①周期，单调减区间，；②【分析】根据复数相等的概念列方程，求得关于的关系式.（1）将代入上述求得的关系式，由此解出的值.（2）由上述求得的关系式，求得的表达式.①利用辅助角公式和三角函数最小正周期和的单调减区间的求法，求得的最小正周期和单调递减区间.②利用二倍角公式和诱导公式，求得的值.【详解】由于，所以，故.（1）当时，，则，由于所以，所以或，所以或.（2）由于，故.①函数的最小正周期为.由，解得，所以函数的单调递减区间为，.②依题意，所以.所以.21．（12分）年下半年以来，各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例，实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境，某部门在某小区年龄处于岁的人中随机地抽取人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据.组数分组“环保族”人数占本组的频率第一组第二组第三组第四组第五组（1）求、、的值；（2）根据频率分布直方图，估计这人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍五入保留整数）；（3）从年龄段在的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取人进行专访，并在这人中选取人作为记录员，求选取的名记录员中至少有一人年龄在中的概率.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由频率分布直方图和频数分布表能求出、、；（2）根据频率分布直方图，能估计这人年龄的平均值；（3）从年龄段在的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取人进行专访，中选人，分别记为、、、、，中选人，分别记为、、、，在这人中选取人作为记录员，利用列举法列举出所有的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）由题意得：；（2）根据频率分布直方图，估计这人年龄的平均值为：；（3）从年龄段在的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取人进行专访，从中选：人，分别记为、、、、，从中选：人，分别记为、、、，在这人中选取人作为记录员，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共种，选取的名记录员中至少有一人年龄在包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共种，因此，选取的名记录员中至少有一人年龄在中的概率.22．（12分）11．的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求角A；（2）从三个条件：①；②；③的面积为中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围.【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析.【分析】（1）利用正弦定理将角化边，可得，然后利用余弦定理，可得.（2）若选①，使用正弦定理以及辅助角公式可得，根据的范围可得结果；选②，利用正弦定理可得，可得结果.选③结合不等式可得结果.【详解】（1）因为，所以，得，所以，因为，所以.（2）分三种情况求解：选择①，因为，由正弦定理得，即的周长，，因为，所以，即周长的取值范围是.选择②,因为，由正弦定理得即的周长，因为，所以，所以，即周长的取值范围是.选择③.因为，得，由余弦定理得，即的周长，因为，当且仅当时等号成立，所以.即周长的取值范围是.