浙江省温州市2022届高三下学期3月高考适应性测试（二模）数学试题含答案

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2022年3月份温州市普通高中高考适应性测试

数学试题

本试卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页、满分150分，考试时间120分钟.

参考公式：

如果事件A，B互斥，那么

如果事件A，B相互独立，那么

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率

台体的体积公式

其中，分别表示台体的上、下底面积，

h表示台体的高

柱体的体积公式

其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高

锥体的体积公式

其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高

球的表面积公式

球的体积公式

其中R表示球的半径

选择题部分（共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（）

A.   B.   C.   D.

2.复数，则（）

A.2   B.3   C.   D.5

3.双曲线的离心率是（）

A.   B.   C.   D.

4.设实数，满足不等式组，则的最大值为（）

A.2   B.3   C.4   D.5

5.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：）是（）

A.19π   B.20π   C.23π.   D.28π

6.已知，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充分必要条件   D.既不充分也不必要条件

7.已知函数，，则图象为如图的函数可能是（）

A.   B.

C.   D.

8.已知正数a，b和实数t满足，若存在最大值，则的取值范围是（）

A.   B.   C.   D.

9.如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，过EF的平面分别交棱DA，BC于G，H（不同于A，B，C，D），P，Q分别是棱BC，CD上的动点，则下列命题错误的是（）

A.存在平面和点P，使得平面

B.存在平面和点Q，使得平面

C.对任意的平面，线段EF平分线段GH

D.对任意的平面，线段GH平分线段EF

10.对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，恒有，则称数列有界；若这样的正数不存在，则称数列无界，已知数列满足：，，记数列的前项和为，数列的前项和为，则下列结论正确的是（）

A.当时，数列有界   B.当时，数列有界

C.当时，数列有界   D.当时，数列有界

非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

11.在二项式的展开式中，常数项是__________，第四项的系数是__________。

12.中华人民共和国国旗是五星红旗，旗面为红色，长方形，长宽比例为3：2，旗面左上方缀五颗黄色正五角星，四颗小星环拱在一颗大星的右面，并各有一个角尖正对大星的中心点.右图是旗面左上方部分，图中每个小方格均为正方形，则图中角的正切值是__________

13.直线过定点_________，倾斜角的最小值是_________.

14.已知AD是的角平分线，，，，则_________，________.

15.袋子装有1个红球，2个白球，3个黑球，现从该袋子中任取（无放回，且每球取到的机会均等）两个球，取出一个红球得3分，取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分.记随机变量为取出此两球所得分数之和，则_________，_________.

16.已知，，是非零平面向量，，，，，则的最大值是_________.

17.已知，函数有且仅有两个不同的零点，则的取值范围是_________.

二、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.（本小题满分14分）如图，点A，B，D是函数的图象与圆C的三个交点，其横坐标分别为，，，点C，D是函数与轴的交点.

（Ⅰ）求函数的解析式及对称轴的方程；

（Ⅱ）若，且，求.

19.（本小题满分15分）如图，几何体中，平面平面ABC，，，.

（I）证明：；

（Ⅱ）若，，求直线DA与平面EAB所成角的正弦值.

20.（本小题满分15分）已知首项为-2的等差数列的前项和为，数列满足，.

（I）求与；

（Ⅱ）设，记数列的前项和为，证明：当时，.

21.（本小题满分15分）如图，平行四边形的顶点A，B在曲线：上，顶点C，D在曲线：上，直线AB方程为.

（I）用表示；

（Ⅱ）求直线CD在y轴上的截距的最大值.

22.（本小题满分15分）已知实数，函数.

（I）（i）若函数在上恰有一个零点，求实数的值；

（ⅱ）当时，证明：对任意的，恒有.

（Ⅱ）当时，方程有两个不同的实数根，证明：.

2022年3月份温州市普通高中高考适应性测试

数学试题答案

【1】A【2】C【3】B【4】A【5】A

【6】B【7】D【8】C【9】D【10】B

【11】   ①. 15    ②. 20

【12】

【13】   ①. ；    ②. /.

【14】   ①.     ②. / 

【15】   ①.     ②. ##

【16】

【17】

【18题】

【答案】（1）；；   

（2）.

（1）

由题可得，，

∴函数的最小正周期为，又，

∴，又，

由“五点法”可得，，

∴，

∴，

由，可得，

故函数的对称轴的方程为.

【2】

∵，

∴，即，

由，得，

∴，

∴

【19题】

【答案】（1）详见解析；   

（2）.

【1】

取AB的中点O，连接OE，OC，因为，，，

则OE⊥AB，OB=OC，

∵平面平面ABC，平面平面ABC=AB，

∴OE⊥平面ABC，

∴OE⊥OB，OE⊥OC，又OB=OC，

∴，

∴；

【2】

如图建立空间直角坐标系，则，

设，由，，可得

，

解得，即，

∴，又平面EAB的法向量可求，

设直线DA与平面EAB所成角，

∴，

即直线DA与平面EAB所成角正弦值.

【20题答案】

【答案】（1），；   

（2）证明过程见解析.

【1】

设等差数列的公差为，因为，

所以由，

即，即，

所以，而，

所以；

【2】

由（1）可知：，，

所以有，

当时，，不等式成立，

当时，，不等式成立，

假设当时，不等式成立，即，

当时，，

因为

所以，

即，因此，

综上所述：当时，成立.

【21题答案】

【答案】（1）   

（2）

【1】

解：因为直线AB方程为，则直线AB过点，

当直线过椭圆的左顶点时，，

当直线过椭圆的右顶点时，，

又平行四边形的顶点A，B在曲线：上，顶点C，D在曲线：上，

所以，

设，

联立，消整理得，

则，

则

，

所以；

【2】

解：由平行四边形得且，

设直线的方程为，，

联立，消整理得，

则，

所以，

因为，

所以，

即，

所以，

令，

则，

令，

令，

则，

所以函数在上递减，

又因函数为减函数，

所以函数在上递减，

所以，

即，所以，

所以直线CD在y轴上的截距的最大值为.

【22题答案】

【答案】（1）（i）；（ⅱ）证明见解析；   

（2）证明见解析.

【1】

（i）由题设且，则上，上，

所以在上递减，在上递增，而，

要使上恰有一个零点，只需，即.

（ⅱ），，

要证，即证，

，

则，

需证，

由，且，

由，则，即在上，递减，所以，即，

综上，成立，故得证.

【2】

由等价于，若，需证，

由上，，故时，即递减.

因为等价于，

令且，，则，

又在上递减，趋向正无穷时趋向于，

所以使，则在上，递增；在上，递减；

综上，存在极大值，结合是的两个不同零点，

所以，且，

综上，由的单调性，问题转化为证明即可.

当时，显然成立；

当时，要证，只需即可，

令且，则，故递减，则，即，

所以，

令，则在上递减且，，故使，

所以在上，递增，上，递减，

则，即.

综上，上，得证.