专题2.1-2两条直线的位置关系与平行线的判定（讲练）-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练（北师大版）

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专题2.1-2两条直线的位置关系与平行线的判定
典例体系（本专题共107题50页）

一、知识点
1、相交线
对顶角、余角、补角。等角的余角或补角的性质.
垂线、垂线段、垂线段的性质点到直线的距离.
同位角、内错角、同旁内角。本节内知识点较多，建议教学和学习时做好网络化，即了解知识之间的关联，做到不缺不漏。
2、平行线
(1)平行线定义；
平行公理：同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
(2)平行线的判定
1．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
2．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
3．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
二、考点点拨与训练
考点1:相交线与对顶角
典例：（2021·全国七年级）如图，直线、相交于点，平分，＝，＝，

求：（1）的度数；
（2）写出图中互余的角；
（3）的度数．
【答案】（1）70º；（2）和，和，和，和；（3）55º．
【详解】
解：（1）∵＝
∴＝＝；
（2）


平分，


所以互余的角有：和，和，和，和；
（3） 平分，＝
＝，
＝，且、、三点在一条直线上，
＝＝，

方法或规律点拨
此题主要考查了角的和差计算，以及余角，角平分线的定义，关键是掌握余角定义，理清图形中角的关系．
巩固练习
1．（2021·重庆万州区·七年级期末）下列各组角中，∠1与∠2是对顶角的是（　　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
根据两条直线相交，才能构成对顶角进行判断，
A、C、D都不是由两条直线相交构成的图形，错误；
B是由两条直线相交构成的图形，正确．
故选：B．
2．（2020·黑龙江哈尔滨市·七年级期末）在下面四个图形中，与是对顶角的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
解：A、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意；
B、∠1与∠2是对顶角，故此选项符合题意；
C、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意；
D、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意；
故选择：B．
3．（2020·洛阳市第五中学九年级期中）下列说法中，正确的是
A．相等的角是对顶角 B．有公共点并且相等的角是对顶角
C．如果和是对顶角，那么 D．两条直线相交所成的角是对顶角
【答案】C
【详解】
A、对顶角是有公共顶点，且两边互为反向延长线，相等只是其性质，错误；
B、对顶角应该是有公共顶点，且两边互为反向延长线，错误；
C、角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角，符合对顶角的定义，正确．
D、两条直线相交所成的角有对顶角、邻补角，错误；
故选C．
4．（2020·福建厦门市·厦门一中七年级期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，其中∠AOC的对顶角是( )

A．∠AOD B．∠BOD C．∠BOC D．∠AOD和∠BOC
【答案】B
【详解】
直线AB与直线CD相交于点O，
由图可知，∠AOC的对顶角是∠BOD，
故选B．
5．（2020·黑龙江哈尔滨市·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分，若，则的度数是（ ）

A．70° B．50° C．40° D．35°
【答案】D
【详解】∵∠BOD=，
∴∠AOC=∠BOD=，
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE=∠AOC=，
故选：D．
6．（2021·北京通州区·七年级期末）如图，两直线交于点，，则的度数为_____________；的度数为_________．

【答案】
【详解】
解：∵
∴=180°-∠1=180°-34°=146°；
∵∠1与∠3互为对顶角
∴∠3=∠1=
故答案为：146°；．
7．（2021·四川宜宾市·七年级期末）如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF=34º，则∠BOD的度数为____．

【答案】22°
【详解】解：∵∠COE是直角，
∴∠COE＝90°，
∴∠EOF＝∠COE−∠COF＝90°−34°＝56°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF＝56°，
∴∠AOC＝∠AOF−∠COF＝56°−34°＝22°，
∴∠BOD＝∠AOC＝22°．
故答案为：22°．
8．（2020·江西赣州市·七年级期末）∠1的对顶角等于，∠1的余角等于_______________．
【答案】40°
解：∠1的对顶角等于，∠1=，则∠1的余角等于90°-50°=40°．
故答案为：40°．
9．（2020·内蒙古乌兰察布市·七年级期末）如图，取两根木条，将它们钉在一起，并把它们想象成两条直线，就得到一个相交线模型．如果∠1=15°，则∠2=15°，理由是_______________________．

【答案】对顶角相等
【详解】
解：两直线相交，就会有对顶角，对顶角不仅有位置关系，而且有大小关系，即：两直线相交，对顶角相等．
故答案为：对顶角相等．
10．（2019·山西七年级月考）如图，与是对顶角，，，则______．

【答案】40°
【详解】
解：∵∠1与∠2是对顶角，，∠2=50°，
∴∠1=∠2，
∵，∠2=50°，
∴α+10°=50°，
∴α=40°．
故答案为：40°．
11．（2021·河南漯河市·七年级期末）如图，直线，相交于点，平分．

（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）；（2）
【详解】平分，
，
；
设，则,，
，
解得，
则，
又平分，
，
．
12．（2020·山东日照市·七年级期末）如图，直线，相交于点，平分．
（1）的补角是____________；
（2）若，求的度数．

【答案】（1）∠AOD和∠BOC；（2）36°
【详解】
（1）∵+∠AOD=180°，+∠BOC=180°，
∴的补角是：∠AOD和∠BOC，
故答案是：∠AOD和∠BOC；
（2）设∠EOC=2x，∠EOD=3x，
根据题意得：2x+3x=180°，
解得：x=36°，
∴∠EOC=2x=72°，
∵平分，
∴∠AOC=∠EOC=×72°=36°，
∴∠BOD=∠AOC=36°．
考点2：邻补角性质的应用
典例：（2020·平原县育才中学七年级期中）如图，直线AB、CD、EF相交于点O．
（1）写出∠COE的邻补角；
（2）分别写出∠COE和∠BOE的对顶角；
（3）如果∠BOD=60°，，求∠DOF和∠FOC的度数．

【答案】（1）∠COF和∠EOD；（2）∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF；（3）∠DOF= 30°，∠FOC=150°
【详解】
（1）∠COE的邻补角有∠COF和∠EOD；
（2）∠COE的对顶角为∠DOF，∠BOE的对顶角为∠AOF；
（3）∵，
∴∠BOF=90°，
∴∠DOF= 90°-60°=30°，
∵∠DOF与∠FOC互为邻补角，
∴∠FOC=180°-30°=150°．
方法或规律点拨
本题考查邻补角、对顶角及余角和补角之间的关系，关键是理解并掌握互余、互补、邻补角、对顶角之间的角度和位置关系．
巩固练习
1．（2020·山东潍坊市·七年级期中）把一张长方形纸片沿翻折后，点，分别落在、的位置上，交于点， 则图中与互补的角有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】∵将长方形纸片沿翻折得到如上图形
∴∠FEG=∠FEC，∠EFD=∠EF
由图形知，∠FEC与∠FCB互补
∵AD∥BC，∴∠FEC与∠EFD互补
∴∠EF与∠EFD也互补
故选：C
2．（2020·全国七年级课时练习）如图所示，，的邻补角是（ ），的余角一定是（ ）．

A．；
B．和；
C．；
D．和；和
【答案】D
【详解】
解：∵EF⊥DC，
∴∠EOD=90°
∴∠AOE+∠AOD=90°
∵∠AOD=∠BOC
∴∠AOE+∠BOC=90°
∴∠AOE的余角是∠AOD，∠BOC；
∵∠AOE+∠AOF =180°，∠AOE+∠BOE=180°，且符合邻补角的定义
∴∠AOE的邻补角是∠AOF，∠BOE；
故选：D．
3．（2020·全国七年级课时练习）如图所示，三条直线AB，CD，EF相交于点O，则的邻补角有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】
因为构成的两边与直线AB和EF有关，从直线AB来看，的邻补角是，从直线EF来看，的邻补角是，所以的邻补角有2个，故选B.
4．（2019·湖北恩施土家族苗族自治州·七年级月考）如图，直线 AB，CD 交于点 O，则图中互为补角的角对数有（ ）

A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对
【答案】D
【详解】根据图形可得，∠2与∠3互为补角；∠3与∠1互为补角；∠1与∠DOB互为补角；∠2与∠DOB互为补角；共4对．
故选：D．
5．（2019·福州三牧中学七年级期中）如图，已知∠1+∠3=180°，则图中有标出来的角中与∠1互补的角有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【详解】
解：①与∠1互为邻补角的角有∠5与∠7；
②∠3及∠3的对顶角有∠3与∠4．
所以图中有标出来的角中与∠1互补的角有4个．
故选A．
6．（2020·奈曼旗新镇中学七年级期中）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOC的邻补角是___________．若∠AOC＝50°，则∠BOD＝________，∠COB＝________．

【答案】∠AOD、∠BOC 50° 130°
【详解】
解：∠AOC的邻补角是∠BOC，∠AOD；
∵∠BOD的对顶角是∠AOC，∠AOC＝50°，
∴∠BOD＝∠AOC＝50°，
∵∠COB是∠AOC邻补角，
∴∠COB=180°-∠AOC=130°．
故答案为：∠AOD、∠BOC，50°，130°
7．（2019·山西七年级月考）已知4条直线交于一点，那么邻补角的对数是______对．
【答案】24
【详解】
2条直线相交于一点，邻补角有4对；
3条直线相交于一点，邻补角有12对，
n条直线相交于一点，邻补角有2n（n－1）对，
∴4条直线相交于一点时，共有邻补角：2×4×（4－1）＝24（对）；
故答案为：24．
8．（2019·天津滨海新区·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，下列描述：①∠1和∠2互为对顶角；②∠1和∠2互为邻补角；③∠1＝∠2；④∠1＝∠3；⑤∠1+∠4＝180°，其中正确的是_____．

【答案】②④⑤．
【详解】∠1和∠2是邻补角，不是对顶角，故①错误；
∠1和∠2互为邻补角，故②正确；
∠1和∠2不一定相等，故③错误；
∠1和∠3是对顶角，所以，故④正确；
∠1和∠4是邻补角，所以 ，故⑤正确；
故答案为：②④⑤．
9．（2019·全国七年级单元测试）三条直线AB、CD、EF相交于点O，如图所示，∠AOD的对顶角是_____，∠FOB的对顶角是_______，∠EOB的邻补角是________

【答案】∠BOC ∠AOE ∠AOE和∠BOF
【解析】
对顶角和邻补角在两条直线相交的上形中产生，根据对顶角、邻补角的定义得：
∠AOD的对顶角是∠BOC，
∠FOB的对顶角是∠AOE，
∠EOB的邻补角是∠AOE和∠BOF．
故答案为(1)∠BOC (2)∠AOE (3)∠AOE和∠BOF
10．（2020·全国七年级课时练习）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠AOD的对顶角是_________，∠AOC的邻补角是_______．若∠AOC＝50°，则∠BOD＝__________，∠COB＝______________．

【答案】∠BOC ; ∠AOD，∠BOC; 50°; 130°.
【详解】
∵AB，CD，EF相交于点O
∴∠AOD的对顶角是∠BOC，
∠AOC的邻补角是∠AOD，∠BOC
∵∠AOC＝50°
∴∠BOD＝50°（对顶角相等）
∠COB＝180°−∠AOC= 180°−50°=130°
11．（2018·全国）如图，直线AB、CD、EF相交于点O，则∠AOC的对顶角是_____________，∠AOE的邻补角是_____________

【答案】∠BOD； ∠AOF、∠BOE.
【详解】
由图可知，∠AOC的对顶角是∠BOD，
∠AOE的邻补角是∠AOF、∠BOE，
故答案为∠BOD；∠AOF、∠BOE.
12．（2019·四川泸州市·七年级期末）如图，直线、与相交于点，形成了个角．

（1）图中，与有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．这样的邻补角还有以下几对，它们分别是____________、__________、______________．
（2）图中，与有一个公共顶点，且的两边分别是的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．这样的对顶角还有一对，它们是________与___________．
（3）因为______________，____________所以______（填写或或）理由是____________由此能得到的结论是：对顶角_____________
（4）用您所学知识可得___________（精确到度）．
【答案】（1）∠AOD与∠BOD；∠AOC与∠BOC；∠BOD与∠BOC；（2）∠AOD；∠BOC；（3）180°；180°；=；同角的补角相等；相等；（4）45°
【详解】（1）图中的邻补角还有：∠AOD与∠BOD；∠AOC与∠BOC；∠BOD与∠BOC
故答案为：∠AOD与∠BOD；∠AOC与∠BOC；∠BOD与∠BOC
（2）这样的对顶角还有一对，它们是∠AOD与∠BOC；
故答案为：∠AOD；∠BOC
（3）因为180°，180°，所以=，理由是：同角的补角相等，由此能得到的结论是：对顶角相等．
故答案为：180°；180°；=；同角的补角相等；相等
（4）经测量∠COA=45°
考点3：点到直线的距离与垂线段最短
典例：（2020·湖南娄底市·）如图，是直线外一点，，，三点在直线上，且于点，，则下列结论：①线段是点到直线的距离；②线段的长是点到直线的距离；③，，三条线段中，最短；④线段的长是点到直线的距离．其中正确的是（ ）

A．②③ B．①②③ C．③④ D．①②③④
【答案】A
【详解】
解：①线段AP是点A到直线PC的距离，错误；
②线段BP的长是点P到直线l的距离，正确；
③PA，PB，PC三条线段中，PB最短，正确；
④线段PC的长是点P到直线l的距离，错误，
故选：A．
方法或规律点拨
此题主要考查了垂线的两条性质：①从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．②从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．
巩固练习
1．（2021·北京海淀区·北大附中七年级期末）如图，从直线EF外一点P向EF引四条线段PA，PB，PC，PD，其中最短的是（ ）

A．PA B．PB C．PC D．PD
【答案】B
【详解】从直线EF外一点P向EF引四条线段PA，PB，PC，PD，其中最短的一条是PB，
故选：B．
2．（2021·北京通州区·七年级期末）如图，是直线外一点，从点向直线引，，，几条线段，其中只有与垂直，这几条线段中长度最短的是（　　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：直线外一点 P 与直线上各点连接的所有线段中，最短的是 PB ，依据是垂线段最短．
故答案选B．
3．（2021·北京顺义区·七年级期末）如图，点在直线外，点、在直线上，若，，则点到直线的距离可能是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】A
【详解】
如图作⊥直线于，
∴为点到直线的距离，
∵，，
∴，
∴只有A选项符合题意，
故选：A．

4．（2020·沭阳县修远中学七年级月考）如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，其运用到的数学原理是（ ）

A．两点之间，线段最短 B．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
【答案】D
【详解】
解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法运用到的数学原理是：两点确定一条直线．
故选：D．
5．（2020·黑龙江大庆市·七年级期末）如图，点是直线外一点，，，，都在直线上，于，下列线段最短的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为点是直线外一点，，，，都在直线上，于，
所以，根据垂线段的性质可知：线段最短．
故选：C．
6．（2021·全国八年级）如图，从旗杆AB的顶端A向地面拉一条绳子，绳子底端恰好在地面P处，若旗杆的高度为3.2米，则绳子AP的长度不可能是（　　）

A．3 B．3.3 C．4 D．5
【答案】A
【详解】
∵旗杆的高度为AB＝3.2米，
∴AP＞AB，
∴绳子AP的长度不可能是：3米．
故选择：A．
7．（2020·大庆市万宝学校八年级期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．在同一平面内，过一点有无数条直线与已知直线垂直
B．两直线相交，对顶角互补
C．垂线段最短
D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
【答案】C
【详解】
解：A．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，故本选项错误；
B．两直线相交，对顶角相等，故本选项错误；
C．垂线段最短，故本选项正确；
D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故本选项错误；
故选：C．
8．（2019·河北保定市·七年级期中）如图，立定跳远比赛时，小明从点A起跳落在沙坑内P处．若AP＝2.3米，则这次小明跳远成绩

A．小于2.3米 B．等于2.3米
C．大于2.3米 D．不能确定
【答案】A
【详解】
如图，过点P作PE⊥AC，垂足为E，
∴PE”，“=”或“．
【详解】
（1）如图，直线，射线即为所求；
（2）如图，线段即为所求；
（3）连接，根据两点之间线段最短，可得，
故答案为：>．

4．（2021·江苏连云港市·七年级期末）在如图所示的方格中，每个小正方形的边长为1，点在方格纸中小正方形的顶点上．

（1）画线段；
（2）画图并说理：
①画出点到线段的最短线路，理由是 ；
②画出一点，使最短，理由是 ．
【答案】（1）图见解析；（2）图见解析，点到直线的距离垂线段最短；（3）图见解析，两点之间线段最短．
【详解】
（1）连接AB如下图所示；
（2）①如图所示CE为最短路径，理由是点到直线的距离垂线段最短，
故答案为：点到直线的距离垂线段最短；
②如图所示P点为最短，理由是：两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短．

5．（2020·北京七年级期末）如图，已知直线AB及直线AB外一点P，按下列要求完成画图和解答：（1）连接PA，PB，用量角器画出∠APB的平分线PC，交AB于点C；
（2）过点P作PD⊥AB于点D；
（3）用刻度尺取AB中点E，连接PE；
（4）根据图形回答：点P到直线AB的距离是线段 的长度．

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）PD．
【详解】
解：(1)、如图所示；(2)、如图所示；(3)、如图所示；

(4)、PD．
6．（2019·洛阳市实验中学七年级月考）作图并填空：如图，在中，点在边上，

（1）过点P分别作直线、直线的垂线，交直线于点；
（2）点P到直线的距离是线段_________的长度；
（3）点O到直线的距离是线段_________的长度．
【答案】（1）图见解析；（2）PN；（3）ON
【详解】
解：（1）过点P分别作直线、直线的垂线，交直线于点，如图所示，PM和PN即为所求；

（2）根据点到直线的距离的定义：点P到直线的距离是线段PN的长
故答案为：PN；
（3）根据点到直线的距离的定义：点O到直线的距离是线段ON的长
故答案为：ON．
7．（2020·宿迁市钟吾初级中学七年级期末）如图，在6×6的正方形网格中，点P是∠AOB的边OB上的一点．

（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C；
（2）过点P画OA的垂线，垂足为H；
（3） 的长度是点C到直线OB的距离；
（4）线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是 ．（用“