2021年山东省临沂市河东区中考数学二模试卷及答案

这是一份2021年山东省临沂市河东区中考数学二模试卷及答案，共36页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在0，1，﹣，﹣1四个数中，最小的数是（ ）
A．0B．1C．D．﹣1
2斑叶兰被列为国家二级保护植物，它的一粒种子重约0.0000005克．将0.0000005用科学记数法表示为（ ）
A．5×107B．5×10﹣7C．0.5×10﹣6D．5×10﹣6
3将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE＝40°，那么∠BAF的大小为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
4用配方法解方程：x2+x﹣1＝0，配方后所得方程是（ ）
A．B．
C．D．
5把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ）
A．B．
C．D．
6为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理．她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE的高度等于（ ）
A．10mB．12mC．12.4mD．12.32m
7一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A．B．C．D．
8如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为（ ）
A．B．C．D．
9如图，其中产品净重的范围是[96，106]（即96≤净重≤106），样本数据分组为[96，98）（即96≤净重＜98）以下类似，[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（ ）
A．90B．75C．60D．45
10为了缓解城市用水紧张及提倡节约用水，某市自2021年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25%，该市林老师家2020年12月份的水费是18元，而2021年1月份的水费是36元，且已知林老师家2021年1月份的用水量比2020年12月份的用水量多3m3，求该市去年的居民用水价格？设去年的居民用水价格x元/m3，则所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b．以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E．下列哪条线段的长度是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根（ ）
A．线段BC的长B．线段AD的长C．线段EC的长D．线段AC的长
12设α，β是方程x2+9x+1＝0的两根，则（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）的值是（ ）
A．0B．1C．2000D．4 000 000
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
13如图，反比例函数的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．若四边形ODBE的面积为6，则k的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
14如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，DF⊥CE于M，交AC于点N，交AB于点F，连接EN、BM．有如下结论：①△ADF≌△DCE；②MN＝FN；③CN＝2AN；④S△ADN：S四边形CNFB＝2：5；⑤∠ADF＝∠BMF．其中正确结论的个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15若a+b＝2，ab＝﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为 ．
16已知关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
17如图，矩形ABCD中，AB＝8，点E是AD上的一点，有AE＝4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是 ．
18如图，放置在直线l上的扇形OAB，由①图滚动（无滑动）到图②，在由图②滚动到图③，若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O的路径长为 ．
19如图，在平面直角坐标系中，点A在一次函数y＝x位于第一象限的图象上运动，点B在x轴正半轴上运动，在AB右侧以它为边作矩形ABCD，且AB＝2，AD＝1，则OD的最大值是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共63分）
20计算：（3﹣π）0+cs30°×（﹣）﹣|2﹣2|+
21. 2010年4月14日青海玉树发生7.1级地震，地震灾情牵动全国人民的心．某社区响应恩施州政府的号召，积极组织社区居民为灾区人民献爱心活动．为了解该社区居民捐款情况，对社区部分捐款户数进行分组统计（统计表如下），数据整理成如图所示的不完整统计图．已知A、B两组捐款户数直方图的高度比为1：5，请结合图中相关数据回答下列问题．
捐款分组统计表：
（1）A组的频数是多少？本次调查样本的容量是多少？
（2）求出C组的频数并补全直方图．
（3）若该社区有500户住户，请估计捐款不少于300元的户数是多少？
22如图所示，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得C的仰角为45°，已知OA＝200米，山坡坡度为（即tan∠PAB＝），且O，A，B在同一条直线上，求电视塔OC的高度以及此人所在的位置点P的垂直高度．（侧倾器的高度忽略不计，结果保留根号）
23如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．
（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ECF＝2∠A，CM＝6，CF＝4，求MF的长．
24为鼓励大学生毕业后自主创业，市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给应届毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．赵某按照相关政策投资销售本市生产的一种新型“儿童玩具枪”．已知这种“儿童玩具枪”的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣10x+500．
（1）赵某在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设赵某获得的利润为W（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种“儿童玩具枪”的销售单价不得高于28元．如果赵某想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
25如图，矩形ABCD中，已知AB＝6．BC＝8，点E是射线BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F．将△ABE沿直线AE翻折，点B的对应点为点B'．
（1）如图1，若点E为线段BC的中点，延长AB'交CD于点M，求证：AM＝FM；
（2）如图2，若点B'恰好落在对角线AC上，求的值；
（3）若＝，求∠DAB'的正弦值．
26.已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．
（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）点D（b，y0）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值；
（Ⅲ）点Q（b+，yQ）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值．
2021年山东省临沂市河东区中考数学二模试卷
一、选择题{本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在0，1，﹣，﹣1四个数中，最小的数是（ ）
A．0B．1C．D．﹣1
【考点】有理数大小比较．
【专题】实数；数感．
【答案】D
【分析】根据正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小比较大小．
【解答】解：∵＜1，
∴﹣＞﹣1，
∴1＞0＞﹣＞﹣1，
故选：D．
2斑叶兰被列为国家二级保护植物，它的一粒种子重约0.0000005克．将0.0000005用科学记数法表示为（ ）
A．5×107B．5×10﹣7C．0.5×10﹣6D．5×10﹣6
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】常规题型．
【答案】B
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：将0.0000005用科学记数法表示为5×10﹣7．
故选：B．
3将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE＝40°，那么∠BAF的大小为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．
【专题】常规题型；线段、角、相交线与平行线．
【答案】A
【分析】由DE∥AF得∠AFD＝∠CDE＝40°，再根据三角形的外角性质可得答案．
【解答】解：由题意知DE∥AF，
∴∠AFD＝∠CDE＝40°，
∵∠B＝30°，
∴∠BAF＝∠AFD﹣∠B＝40°﹣30°＝10°，
故选：A．
4用配方法解方程：x2+x﹣1＝0，配方后所得方程是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】配方法．
【答案】C
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：∵x2+x﹣1＝0
∴x2+x＝1
∴x2+x+＝1+
∴（x+）2＝
故选：C．
5把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ）
A．B．
C．D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
【专题】计算题；一元一次不等式(组)及应用．
【答案】B
【分析】先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x+1≥3，得：x≥2，
解不等式﹣2x﹣6＞﹣4，得：x＜﹣1，
将两不等式解集表示在数轴上如下：
故选：B．
6为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理．她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE的高度等于（ ）
A．10mB．12mC．12.4mD．12.32m
【考点】相似三角形的应用．
【答案】B
【分析】根据题意得出△ABC∽△EDC，进而利用相似三角形的性质得出答案．
【解答】解：由题意可得：AB＝1.5m，BC＝0.5m，DC＝4m，
△ABC∽△EDC，
则＝，
即＝，
解得：DE＝12，
故选：B．
7一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A．B．C．D．
【考点】由三视图判断几何体．
【专题】投影与视图；几何直观．
【答案】D
【分析】俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案．
【解答】解：俯视图是矩形且中间有条棱，然后根据主视图是呈：“L”型，知此几何体为D．
故选：D．
8如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为（ ）
A．B．C．D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】D
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让两盏灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：根据题意画图如下：
∵共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有1种情况，
∴能让两盏灯泡同时发光的概率为：P＝．
故选：D．
9如图，其中产品净重的范围是[96，106]（即96≤净重≤106），样本数据分组为[96，98）（即96≤净重＜98）以下类似，[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（ ）
A．90B．75C．60D．45
【考点】频数（率）分布直方图．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】A
【分析】根据直方图可得组距为2，然后可得每小组的频率，再根据样本中产品净重小于100克的个数是36可得样本总数，然后再利用样本总数乘以净重大于或等于98克并且小于104克的产品所占频率，进而可得答案．
【解答】解：∵样本中产品净重小于100克的个数是36，其对应频率之和为：0.05×2+0.1×2＝0.3，
∴样本总数为：36÷0.3＝120，
∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是：120×（0.1×2+0.15×2+0.125×2）＝90．
故选：A．
10为了缓解城市用水紧张及提倡节约用水，某市自2021年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25%，该市林老师家2020年12月份的水费是18元，而2021年1月份的水费是36元，且已知林老师家2021年1月份的用水量比2020年12月份的用水量多3m3，求该市去年的居民用水价格？设去年的居民用水价格x元/m3，则所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】本题中有相等关系：去年的居民用水价格（1+25%）＝2021年年的居民用水价格；2021年1月份的用水量﹣2020年12月份的用水量＝3m3，因而可以利用相等关系来列方程解决．
【解答】解：设去年的居民用水价格x元/m3，则2021年的居民用水价格是1.25x元/m3．
根据题意可得：．
故选：B．
11如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b．以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E．下列哪条线段的长度是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根（ ）
A．线段BC的长B．线段AD的长C．线段EC的长D．线段AC的长
【考点】解一元二次方程﹣公式法；勾股定理．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据勾股定理求出AD，利用求根公式解方程，比较即可．
【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝，
∴AD＝﹣a，
解方程x2+2ax﹣b2＝0得x＝＝±﹣a，
∴线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根．
故选：B．
12设α，β是方程x2+9x+1＝0的两根，则（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）的值是（ ）
A．0B．1C．2000D．4 000 000
【考点】一元二次方程的解；根与系数的关系．
【专题】压轴题；运算能力．
【答案】D
【分析】欲求（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）＝（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β），再利用根与系数的关系代入数值计算即可．
【解答】解：∵α，β是方程x2+9x+1＝0的两个实数根，
∴α+β＝﹣9，α•β＝1．
（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）
＝（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β）
又∵α，β是方程x2+9x+1＝0的两个实数根，
∴α2+9α+1＝0，β2+9β+1＝0．
∴（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β）
＝2000α•2000β
＝2000×2000αβ，
而α•β＝1，
∴（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β）＝4 000 000．
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
13如图，反比例函数的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．若四边形ODBE的面积为6，则k的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【答案】B
【分析】本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出△OCE、△OAD、□OABC的面积与|k|的关系，列出等式求出k值．
【解答】解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE＝，S△OAD＝，
过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S□ONMG＝|k|，
又∵M为矩形ABCO对角线的交点，则S矩形ABCO＝4S□ONMG＝4|k|，
由于函数图象在第一象限，k＞0，则++6＝4k，k＝2．
故选：B．
14如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，DF⊥CE于M，交AC于点N，交AB于点F，连接EN、BM．有如下结论：①△ADF≌△DCE；②MN＝FN；③CN＝2AN；④S△ADN：S四边形CNFB＝2：5；⑤∠ADF＝∠BMF．其中正确结论的个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【考点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】几何综合题；压轴题．
【答案】C
【分析】①本题需先根据已知条件，得出△ADF与△DCE全等，即可得出结果．
②本题需先根据AE＝AF，∠NAF＝∠NAE，AN＝AN这三个条件，得出△ANF≌△ANE，即可得出结论．
③本题需先根据AF∥CD，得出CN与AN的比值，即可求出结果．
④本题需先连接CF，再设S△ANF＝1，即可得出S△ADN与S四边形CNFB的比值即可．
⑤在△DEN和△MFB中，根据已知条件，得出△DEN与△MFB全等，即可得出结果．
【解答】解：①∵ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠DAF＝∠EDC,
∵DF⊥CE，
∴∠EDM+∠DEM＝90°，
∵∠DEM+∠DCE＝90°,
∴∠ADF＝∠DCE，
在△ADF和△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE，
故本选项正确；
②∵△ADF≌△DCE，
∴DE＝AF，
∵AE＝DE，
∴AE＝AF，
在△ANF和△ANE中
，
∴△ANF≌△ANE，
∴NF＝NE，
∵NM⊥CE，
∴NE＞MN，
∴NF＞MN，
∴MN＝FN错误，
故本选项错误；
③∵AF∥CD，
∴∠CDN＝∠NFA，∠DCN＝∠NAF，
∴△DCN∽△FAN，
又∵△ADF≌△DCE，且四边形ABCD为正方形，
∴AF＝AB＝DC，
∴，
∴CN＝2AN，
故本选项正确；
④连接CF，
设S△ANF＝1，
则S△ACF＝3，S△ADN＝2，
∴S△ACB＝6，
∴S四边形CNFB＝5，
∴S△ADN：S四边形CNFB＝2：5，
故本选项正确；
⑤延长DF与CB交于G，则∠ADF＝∠G，
根据②的结论F为AB中点，即AF＝BF，
在△DAF与△GBF中，
，
∴△DAF≌△GBF（AAS），
∴BG＝AD，又AD＝BC，
∴BC＝BG，
又∵∠ADF＝∠DCE，∠ADF+∠CDM＝90°，
∴∠DCE+∠CDM＝90°，
∴∠DMC＝∠CMG＝90°，
∴△CMG是直角三角形，
∴MB＝BG＝BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠G＝∠BMF，
因此∠ADF＝∠BMF，故选项正确．
所以正确的有①③④⑤共4个．
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15若a+b＝2，ab＝﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为 ．
【考点】因式分解的应用．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2，结合已知数据即可求出代数式a3b+2a2b2+ab3的值．
【解答】解：∵a+b＝2，ab＝﹣3，
∴a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2），
＝ab（a+b）2，
＝﹣3×4，
＝﹣12．
故答案为：﹣12．
16已知关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
【考点】根的判别式．
【专题】判别式法．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题是根的判别式的应用，因为关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝b2﹣4ac＞0，从而可以列出关于m的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
即（2m+1）2﹣4×（m﹣2）2×1＞0，
解这个不等式得，m＞，
又∵二次项系数是（m﹣2）2≠0，
∴m≠2
故M得取值范围是m＞且m≠2．
故答案为：m＞且m≠2．
17如图，矩形ABCD中，AB＝8，点E是AD上的一点，有AE＝4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质．
【专题】几何图形问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据线段中点的定义可得CG＝DG，然后利用“角边角”证明△DEG和△CFG全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝CF，EG＝FG，设DE＝x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF＝EF，然后列出方程求出x的值，从而求出AD，再根据矩形的对边相等可得BC＝AD．
【解答】解：∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB＝8，
∴CG＝DG＝×8＝4，
在△DEG和△CFG中，
，
∴△DEG≌△CFG（ASA），
∴DE＝CF，EG＝FG，
设DE＝x，
则BF＝BC+CF＝AD+CF＝4+x+x＝4+2x，
在Rt△DEG中，EG＝＝，
∴EF＝2，
∵FH垂直平分BE，
∴BF＝EF，
∴4+2x＝2，
解得x＝3，
∴AD＝AE+DE＝4+3＝7，
∴BC＝AD＝7．
故答案为：7．
18如图，放置在直线l上的扇形OAB，由①图滚动（无滑动）到图②，在由图②滚动到图③，若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O的路径长为 ．
【考点】轨迹．
【专题】与圆有关的计算；应用意识．
【答案】．
【分析】利用弧长公式计算即可．
【解答】解：如图，
点O的运动路径的长＝的长+O1O2+的长
＝
＝，
故答案为：．
19如图，在平面直角坐标系中，点A在一次函数y＝x位于第一象限的图象上运动，点B在x轴正半轴上运动，在AB右侧以它为边作矩形ABCD，且AB＝2，AD＝1，则OD的最大值是 ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理；矩形的性质；三角形的外接圆与外心．
【专题】一次函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】2+．
【分析】作△AOB的外接圆⊙P，连接OP、PA、PB、PD，作PG⊥CD，交AB于H，垂足为G，易得∠APH＝∠AOB，解直角三角形求得PH＝1，然后根据三角形三边关系得出OD取最大值时，OD＝OP+PD，据此即可求得．
【解答】解：∵点A在一次函数y＝x图象上，
∴设A（x，y），
∴tan∠AOB＝＝，
作△AOB的外接圆⊙P，连接OP、PA、PB、PD，作PG⊥CD，交AB于H，垂足为G，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，四边形AHGD是矩形，
∴PG⊥AB，GH＝AD＝1，
∵∠APB＝2∠AOB，∠APG＝∠APB，AH＝AB＝＝DG，
∴∠APH＝∠AOB，
∴tan∠APH＝tan∠AOB＝，
∴＝，
∴PH＝1，
∴PG＝PH+HG＝1+1＝2，
∴PD＝＝＝，
∴OP＝PA＝＝＝2，
在△OPD中，OP+PD≥OD，
∴OD的最大值为OP+PD＝2+，
故答案为：2+．
三、解答题（本大题共7小题，共63分）
20计算：（3﹣π）0+cs30°×（﹣）﹣|2﹣2|+
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1+×（﹣）﹣（2﹣2）+2
＝1﹣﹣2+2+2
＝．
21. 2010年4月14日青海玉树发生7.1级地震，地震灾情牵动全国人民的心．某社区响应恩施州政府的号召，积极组织社区居民为灾区人民献爱心活动．为了解该社区居民捐款情况，对社区部分捐款户数进行分组统计（统计表如下），数据整理成如图所示的不完整统计图．已知A、B两组捐款户数直方图的高度比为1：5，请结合图中相关数据回答下列问题．
捐款分组统计表：
（1）A组的频数是多少？本次调查样本的容量是多少？
（2）求出C组的频数并补全直方图．
（3）若该社区有500户住户，请估计捐款不少于300元的户数是多少？
【考点】用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图．
【专题】压轴题；阅读型；图表型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据B组的户数和所占的份数，计算每一份有2户，A组的频数是2，样本的容量＝A、B两组捐款户数÷A、B两组捐款户数所占的百分比；
（2）C组的频数＝样本的容量×C组所占的百分比；
（3）捐款不少于300元的有D、E两组，捐款不少于300元的户数＝500×D、E两组捐款户数所占的百分比；
【解答】解：（1）A组的频数是：
（10÷5）×1＝2，
调查样本的容量是：
（10+2）÷（1﹣40%﹣28%﹣8%）＝50
（2）C组的频数是：50×40%＝20，
（3）估计捐款不少于300元的户数是：500×（28%+8%）＝180户．
22如图所示，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得C的仰角为45°，已知OA＝200米，山坡坡度为（即tan∠PAB＝），且O，A，B在同一条直线上，求电视塔OC的高度以及此人所在的位置点P的垂直高度．（侧倾器的高度忽略不计，结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】在直角△AOC中，利用三角函数即可求解；在图中共有三个直角三角形，即Rt△AOC、Rt△PCF、Rt△PAE，利用60°、45°以及坡度比，分别求出CO、CF、PE，然后根据三者之间的关系，列方程求解即可解决．
【解答】解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，
在Rt△AOC中，AO＝200米，∠CAO＝60°，
∴CO＝AO•tan60°＝200（米）
（2）设PE＝x米，
∵tan∠PAB＝＝，
∴AE＝3x．
在Rt△PCF中，
∠CPF＝45°，CF＝200﹣x，PF＝OA+AE＝200+3x，
∵PF＝CF，
∴200+3x＝200﹣x，
解得x＝50（﹣1）米．
答：电视塔OC的高度是200米，所在位置点P的铅直高度是50（﹣1）米．
23如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．
（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ECF＝2∠A，CM＝6，CF＝4，求MF的长．
【考点】圆周角定理；直线与圆的位置关系．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据斜边上的中线性质得MC＝MG＝ME，所以∠G＝∠1，接着证明∠1+∠2＝90°，从而得到∠OCM＝90°，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为⊙O的切线；
（2）先证明∠G＝∠A，再证明∠EMC＝∠4，则可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先计算出CE，再计算出EF，然后计算ME﹣EF即可．
【解答】解：（1）CM与⊙O相切．理由如下：
连接OC，如图，
∵GD⊥AO于点D，
∴∠G+∠GBD＝90°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵M点为GE的中点，
∴MC＝MG＝ME，
∴∠G＝∠1，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠2，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠OCM＝90°，
∴OC⊥CM，
∴CM为⊙O的切线；
（2）∵∠1+∠3+∠4＝90°，∠5+∠3+∠4＝90°，
∴∠1＝∠5，
而∠1＝∠G，∠5＝∠A，
∴∠G＝∠A，
∵∠4＝2∠A，
∴∠4＝2∠G，
而∠EMC＝∠G+∠1＝2∠G，
∴∠EMC＝∠4，
而∠FEC＝∠CEM，
∴△EFC∽△ECM，
∴＝＝，即＝＝，
∴CE＝4，EF＝，
∴MF＝ME﹣EF＝6﹣＝．
24为鼓励大学生毕业后自主创业，市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给应届毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．赵某按照相关政策投资销售本市生产的一种新型“儿童玩具枪”．已知这种“儿童玩具枪”的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣10x+500．
（1）赵某在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设赵某获得的利润为W（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种“儿童玩具枪”的销售单价不得高于28元．如果赵某想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
【考点】二次函数的应用．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）求出销售量，根据政府每件补贴2元，即可解决问题．
（2）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
（3）根据条件确定出自变量的取值范围，求出y的最小值即可解决问题．
【解答】解：（1）当x＝20时，y＝﹣10x+500＝﹣10×20+500＝300，
300×（12﹣10）＝300×2＝600元，
即政府这个月为他承担的总差价为600元；
（2）由题意得，W＝（x﹣10）（﹣10x+500）
＝﹣10x2+600x﹣5000
＝﹣10（x﹣30）2+4000
∵a＝﹣10＜0，∴当x＝30时，W有最大值4000元．
即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元，
（3）由题意得：﹣10x2+600x﹣5000＝3000，
解得：x1＝20，x2＝40．
∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下，
∴结合图象可知：当20≤x≤40时，3000≤W≤4000．
又∵x≤28，
∴当20≤x≤28时，W≥3000，
设政府每个月为他承担的总差价为p元，
∴p＝（12﹣10）×（﹣10x+500）
＝﹣20x+1000．
∵k＝﹣20＜0．∴p随x的增大而减小，
∴当x＝28时，p有最小值440元．
即销售单价定为28元时，政府每个月为他承担的总差价最少为440元．
25如图，矩形ABCD中，已知AB＝6．BC＝8，点E是射线BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F．将△ABE沿直线AE翻折，点B的对应点为点B'．
（1）如图1，若点E为线段BC的中点，延长AB'交CD于点M，求证：AM＝FM；
（2）如图2，若点B'恰好落在对角线AC上，求的值；
（3）若＝，求∠DAB'的正弦值．
【考点】相似形综合题．
【专题】几何综合题；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由折叠的性质及等腰三角形的判定可得出答案；
（2）由勾股定理求出AC＝10，证明△ABE∽△FCE，由比例线段可得出答案；
（3）分两种情况讨论：①点E在线段BC上，②点E在BC的延长线上，分别设DM＝x，根据Rt△ADM中，AM2＝AD2+DM2，得到关于x的方程，求得x的值，最后根据sin∠DAB'＝进行计算即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠F＝∠BAF，
由折叠可知：∠BAF＝∠MAF，
∴∠F＝∠MAF，
∴AM＝FM．
（2）解：同（1）的证法可得△ACF是等腰三角形，AC＝CF，
在Rt△ABC中，∵AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝＝10，
∴CF＝AC＝10，
∵AB∥CF，
∴△ABE∽△FCE，
∴；
（3）①当点E在线段BC上时，如图3，AB'的延长线交CD于点M，
由AB∥CF可得：△ABE∽△FCE，
∴，即，
∴CF＝4，
同（1）的证法可得AM＝FM．
设DM＝x，则MC＝6﹣x，则AM＝FM＝10﹣x，
在Rt△ADM中，AM2＝AD2+DM2，即（10﹣x）2＝82+x2，
解得：x＝，
则AM＝10﹣x＝10﹣＝，
∴sin∠DAB'＝＝．
②当点E在BC的延长线上时，如图4，
由AB∥CF可得：△ABE∽△FCE，
∴，即，
∴CF＝4，
则DF＝6﹣4＝2，
设DM＝x，同（1）的证法可得AM＝FM＝2+x，
在Rt△ADM中，AM2＝AD2+DM2，即（2+x）2＝82+x2，
解得：x＝15，
则AM＝2+x＝17，
∴sin∠DAB'＝．
综上所述：当时，∠DAB'的正弦值为或．
26.已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．
（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）点D（b，y0）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值；
（Ⅲ）点Q（b+，yQ）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．
【答案】（Ⅰ）（1，﹣4）；（Ⅱ）3﹣1；（Ⅲ）4．
【分析】（Ⅰ）根据点A的坐标和b的值，求出抛物线的解析式，利用配方法可求顶点坐标；
（Ⅱ）将点A坐标代入抛物线解析式，整理后见点D坐标解析式，化简得y0与b的关系式，根据b的取值判定D的位置；过点D作DE⊥x轴于点E，则可表示出点E的坐标，从而得到线段AE，DE的长，即可判定△AED为等腰直角三角形，得到AD与AE的数量关系，再根据已知条件列出方程，求出b的值；
（Ⅲ）将点Q的坐标代入抛物线的解析式，整理后可得yQ与b的关系式，即可判断点Q的位置；根据已知线段的数量关系，可取点N，使△OAN是等腰直角三角形，再作AN的垂线，得到满足条件的点M，过点Q作QH⊥x轴于点H，表示出垂足H的坐标，在等腰Rt△MQH中得线段间的关系，根据点M的坐标，QH＝MH列出方程，用含b的代数式表示m，代入已知的关系式，列出关于b的方程，即可求出b的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），
∴1+b+c＝0，
∴c＝﹣1﹣b．
当b＝2时，c＝﹣1﹣2＝﹣3，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点坐标为（1，﹣4）．
（Ⅱ）由（1）知：抛物线的解析式为y＝x2﹣bx﹣b﹣1．
∵点D（b，y0）在该抛物线上，
∴y0＝b2﹣b×b﹣b﹣1＝﹣b﹣1．
∵b＞0，
∴b＞＞0，﹣1﹣b＜0．
∴D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在抛物线的对称轴x＝的右侧．
如图，过点D作DE⊥x轴于点E，则E（b，0）．
∴OE＝b，DE＝1+b，
∵A（﹣1，0），
∴OA＝1．
∴AE＝OA+OE＝1+b．
∴AE＝DE．
∴△ADE为等腰直角三角形．
∴∠EAD＝∠EDA＝45°．
∴AD＝AE．
∵AM＝AD，m＝5，
∴5﹣（﹣1）＝（b+1），
∴b＝3﹣1．
（Ⅲ）∵点Q（b+，yQ）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，
∴yQ＝﹣b×（b+）﹣b﹣1＝﹣﹣，
∴Q（b+，﹣）．
∵b＞0，
∴﹣＜0，b+＞b，
∴点Q在第四象限，且在对称轴x＝b的右侧．
∵AM+2QM＝（），
∴取点N（0，1），如图，过点Q作直线AN的垂线，垂足为点G，QG交x轴于点M，
∵OA＝ON＝1，
∴∠GAM＝∠ONA＝45°．
∴AM＝GM．
则此时点M满足题意．
过点Q作QH⊥x轴于点H，则H（b+，0）．
∵∠HMQ＝∠GMA＝45°，
∴∠HQM＝∠HMQ＝45°．
∴QH＝HM，QM＝MH．
∵点M（m，0），
∴OM＝m．
∵Q（b+，﹣），
∴OH＝b+，QH＝．
∴MH＝b+﹣m，
∴＝b+﹣m，
解得：m＝﹣．
∵AM+2QM＝，
∴×（1+m）+2××（b+﹣m）＝．
即×（1+）+2（b+﹣）＝．
解得：b＝4．组别
捐款额（x）元
A
10≤x＜100
B
100≤x＜200
C
200≤x＜300
D
300≤x＜400
E
x≥400
组别
捐款额（x）元
A
10≤x＜100
B
100≤x＜200
C
200≤x＜300
D
300≤x＜400
E
x≥400