2020年辽宁省朝阳市中考一模数学试题（含解析）

这是一份2020年辽宁省朝阳市中考一模数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020年中考数学模拟试题一
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【1题答案】
【答案】D
【解析】
【详解】A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选D．
2. 下列计算正确的是（　　）
A. 2a﹣3a＝a B. （a3）2＝a6 C. D. a6÷a3＝a2
【2题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】分别计算出各项结果即可判断.
【详解】A. ，原选项错误；
B.正确；
C. ，不一定成立，故原选项错误；
D. ，原选项错误；
故选B
3. 如图是由6个大小相同的小正方体拼成的几何体，若去掉最上面的小正方体，则下列说法正确的是（ ）

A. 主视图不变 B. 左视图不变 C. 俯视图不变 D. 三种视图都不变
【3题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】若去掉最上面的小正方体，其俯视图不变，即俯视图依然还是两层，底层中间有一个正方形，上层有3个正方形；
故答案为：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图．
4. 数轴上的点A表示的数是a，当点A在数轴上向右平移了6个单位长度后得到点B，若点A和点B表示的数恰好互为相反数，则数a是（　　）
A. 6 B. ﹣6 C. 3 D. ﹣3
【4题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得出a+6=b，a=﹣b，求出即可．
【详解】设B点表示的数是b，根据题意得：a+6=b，a=﹣b，解得：a=－3，b=3．
故选D．
【点睛】本题考查了相反数的应用，关键是能根据题意得出方程a+6=b，a=﹣b．
5. 在2019中国牡丹之都菏泽国际马拉松赛中，随机抽取了10名选手，记录他们的成绩（所用的时间）如下：

由此所得的以下推断不正确的是（　　）
A. 这组样本数据的平均数超过150
B. 这组样本数据的中位数是167
C. 在这次比赛中，估计成绩为150min的选手的成绩会比平均成绩差
D. 在这次比赛中，估计成绩为162min的选手，会比一半以上的选手成绩要好
【5题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据中位数和平均数的概念和意义逐一判断即可得．
【详解】解：A．这组样本数据的平均数为(149+156+160+165+166+168+174+178+185+195) ÷10=169.6min，169.6>150，此选项正确；
B．从小到大排列后，位于第5和第6位的数是166和168，∴这组样本数据的中位数是(166+168) ÷2=167min，此选项正确；
C．∵1510<169.6，∴在这次比赛中，估计成绩为150min的选手的成绩会比平均成绩好，此选项错误；
D．∵中位数是167min，∴在这次比赛中，估计成绩为162min的选手，会比一半以上的选手成绩要好，此选项正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平均数和中位数，解题的关键是掌握中位数和平均数的概念和意义．
6. 一副直角三角板如图放置，其中，，，点F在CB的延长线上若，则等于（ ）

A. 35° B. 25° C. 30° D. 15°
【6题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠BDE=45°，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：∠EDF=30°，∠ABC=45°，
∵DE∥CB，
∴∠BDE=∠ABC=45°，
∴∠BDF=45°-30°=15°．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出∠BDE的度数是解题关键．
7. 某公司去年10月份的利润为a万元，11月份比10月份减少5%，12月份比11月份增加了9%，则该公司12月份的利润为( )
A. (a﹣5%)(a+9%)万元 B. (a﹣5%+9%)万元
C. a(1﹣5%+9%)万元 D. a(1﹣5%)(1+9%)万元
【7题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】先表示11月份利润为a（1-5%）万元，则12月份利润为a（1-5%）（1+9%）万元．
【详解】由题意得：12月份的利润为：a(1−5%)(1+9%)万元.
故答案选：D.
【点睛】本题考查了列代数式，解题的关键是根据题意列出代数式.
8. 若（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），则b+c的值是（　　）
A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2
【8题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】先将等式的右边展开并移项到左边,然后再根据完全平方公式可以分解因式，即可得到b+c的值．
【详解】解：∵（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），
∴b2﹣2bc+c2＝4c﹣4﹣4bc+4b，
∴（b2+2bc+c2）﹣4（b+c）+4＝0，
∴（b+c）2﹣4（b+c）+4＝0，
∴（b+c﹣2）2＝0，
∴b+c＝2，
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解的应用，掌握运用完全平方公式进行因式分解是解答本题的关键.
9. 如图所示的抛物线对称轴是直线x＝1，与x轴有两个交点，与y轴交点坐标是（0，3），把它向下平移2个单位后，得到新的抛物线解析式是 y＝ax2+bx+c，以下四个结论：①b2﹣4ac＜0，②abc＜0，③4a+2b+c＝1，④a﹣b+c＞0中，判断正确的有（　　）

A. ②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ①④
【9题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据平移后的图象即可判定①，根据平移后的对称轴和与y轴的交点坐标，即可判定a和b的关系以及c的值，即可判定②，根据与y轴的交点求得对称点，即可判定③，根据图象即可判定④．
【详解】根据题意平移后的抛物线的对称轴x1，c=3﹣2=1，由图象可知，平移后的抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故①错误；
∵抛物线开口向上，∴a＞0，b=﹣2a＜0，∴abc＜0，故②正确；
∵平移后抛物线与y轴的交点为（0，1）对称轴x=1，∴点（2，1）是点（0，1）的对称点，∴当x=2时，y=1，∴4a+2b+c=1，故③正确；
由图象可知，当x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④正确．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数图象与系数之间的关系，解题的关键是可以看懂二次函数的图象，根据图象可以判断a、b、c的符号，灵活变化，能够找出所求各结论需要的条件．
10. 如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（ ）

A. B. C. D.
【10题答案】
【答案】A
【解析】
【详解】当F在PD上运动时，△AEF面积为y=AE•AD=2x（0≤x≤2），
当F在DQ上运动时，△AEF的面积为y=AE•AF==（2＜x≤4），
图象为：

故选A．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 菏泽牡丹机场位于菏泽市定陶区孟海镇西北，距満泽市中心直线距离约20公里，飞行区指标为4C级，跑道长2600米，菏泽机场性质为国内支线机场，计划2019年10月1日建成通航，预计机场年旅客吞吐量900000人次．数据900000用科学记数法表示为_____．
【11题答案】
【答案】9×105．
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】将900000用科学记数法表示为9×105．
故答案为9×105．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12. 如果a﹣b＝5，那么代数式的值是_____．
【12题答案】
【答案】5
【解析】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把a﹣b=5代入计算即可求出值．
【详解】原式••a﹣b．
当a﹣b=5时，原式=5．
故答案为5．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
13. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，F是AB中点，以点A为圆心，AD为半径作弧交AB于点E，以点B为圆心，BF为半径作弧交BC于点G，则图中阴影部分面积的差S1﹣S2为_____．

【13题答案】
【答案】
【解析】
【分析】根据图形可以求得BF的长，然后根据图形即可求得S1-S2的值．
【详解】解：∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，F是AB中点，
∴BF＝BG＝2，
∴S1＝S矩形ABCD﹣S扇形ADE﹣S扇形BGF+S2，
∴S1﹣S2＝4×3﹣﹣＝12﹣，
故答案为12﹣．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
14. 若一元二次方程有一个根为，则=_____．
【14题答案】
【答案】-1
【解析】
【分析】把x=0代入方程（k-1）x2+3x+k2-1=0，解得k的值．
【详解】解：把x=0代入一元二次方程（k-1）x2+3x+k2-1=0，
得k2-1=0，
解得k=-1或1；
又k-1≠0，
即k≠1；
所以k=-1．
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，此题应特别注意一元二次方程的二次项系数不得为零．
15. 如图，在菱形中，对角线与相交于点,,,于点,交于点,则的长为 ．

【15题答案】
【答案】
【解析】
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分先求出AD的长，再根据S菱形ABCD=AC·BD=AD·EF即可求得EF长.
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=AC=×8=4，DO=BD=×6=3，
∴AD==5，
∵S菱形ABCD=AC·BD=AD·EF，
∴×8×6=5EF，
∴EF=，
故答案为.
【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形面积的求解方法是解题的关键.菱形面积=对角线积的一半，菱形面积=底×高.
16. 定义：a是不为0的有理数，我们把1﹣称为a的倒数差．如：2的倒数差是1﹣＝，的倒数差是1﹣ ＝﹣1．已知a1＝﹣ ，a2是a1的倒数差，a3是a2的倒数差，a4是a3的倒数差，……，依此类推，则a2019＝_____．
【16题答案】
【答案】
【解析】
【分析】先依次计算出a2、a3、a4，即可发现每3个数为一个循环，然后用2019除以3，即可得出答案．
【详解】∵a1，∴a2=11+3=4，a3=1，a4=1，∴数列以，4，为周期，每3个数循环．
∵2019÷3=673，∴a2019=a3．
故答案为．
【点睛】本题考查了数字变化类，考查学生对倒数和数字变化类知识点的理解和掌握，解答此题的关键是依次计算出a2、a3、a4，找出数字变化的规律．
三、解答题
17. （1）计算：（）-1+﹣tan60°﹣|﹣2|．
（2）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
【17题答案】
【答案】（1）；（2），数轴见解析
【解析】
【分析】（1）先逐项化简，再算加减即可；
（2）先求出不等式的解集，再画出数轴表示即可．
【详解】(1)解：原式＝2+﹣+﹣2
＝．
(2)解：去分母，得 3(x+2)﹣(4x﹣1)≥6，
去括号，得 3x+6﹣4x+1≥6，
移项，合并同类项：﹣x≥﹣1，
系数化为1：x≤1，
把解集表示在数轴上：

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及一元一次不等式的解法，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
18. 随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车厂生产的某型号自行车去年销售总额为8万元．今年该型号自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型号车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求该型号自行车去年每辆售价多少元？
【18题答案】
【答案】去年该型号自行车每辆售价为2000元．
【解析】
【详解】试题分析：设去年该型号自行车每辆售价x元，根据题意列出方程即可.
试题解析：解：设去年该型号自行车每辆售价x元，则今年每辆售价为（x﹣200）元．
由题意，得
，
解得：x=2000．
经检验，x=2000是原方程的根．
答：去年该型号自行车每辆售价为2000元．
19. 随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）这次统计共抽查了多少名学生？
（2）将条形统计图补充完整；
（3）运用这次的调查结果估计1200名学生中最喜欢用QQ进行沟通的学生有多少名？
（4）甲、乙两名同学从微信，QQ，电话三种沟通方式中随机选了一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．
【19题答案】
【答案】（1）120；（2）详见解析；（3）660；（4）
【解析】
【分析】（1）用喜欢使用微信的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）先计算出喜欢使用短信的人数，然后补全条形统计图；
（3）利用样本估计总体，用1200乘以样本中最喜欢用QQ进行沟通的学生所占的百分比即可；
（4）画树状图展示所有9种等可能结果数，再找出甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）24÷20%=120（人），所以这次统计共抽查了120名学生；
（2）喜欢使用短信的人数为120﹣18﹣24﹣66﹣2=10（人），条形统计图为：

（3）1200660，所以估计1200名学生中最喜欢用QQ进行沟通的学生有660名；
（4）画树状图为：

共有9种等可能结果数，甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的结果数为3，所以甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图和用样本估计总体．
20. 如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC的高为10米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为13.3米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为α和45°，且tanα＝6．求灯杆AB的长度．

【20题答案】
【答案】灯杆AB的长度为2.8米．
【解析】
【分析】过点A作AF⊥CE，交CE于点F，过点B作BG⊥AF，交AF于点G，则FG＝BC＝10．设AF＝x知EF＝AF＝x、DF＝＝，由DE＝13.3求得x＝11.4，据此知AG＝AF−GF＝1.4，再求得∠ABG＝∠ABC−∠CBG＝30°可得AB＝2AG＝2.8．
【详解】过点A作AF⊥CE，交CE于点F，过点B作BG⊥AF，交AF于点G，则FG＝BC＝10．

由题意得∠ADE＝α，∠E＝45°．
设AF＝x．
∵∠E＝45°，
∴EF＝AF＝x．
在Rt△ADF中，∵tan∠ADF＝，
∴DF＝＝＝，
∵DE＝13.3，
∴x+＝13.3．
∴x＝11.4．
∴AG＝AF﹣GF＝11.4﹣10＝1.4．
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABG＝∠ABC﹣∠CBG＝120°﹣90°＝30°．
∴AB＝2AG＝2.8，
答：灯杆AB的长度为2.8米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形−仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．
21. 某药店销售口罩，进价15元，售价20元，为防控新冠肺炎疫情，药店决定凡是一次性购买10个以上的客户，每多买一个，售价就降低0.1元（顾客所购买的全部口罩），但最低价是17元/个．
（1）顾客一次性至少购买多少个口罩时，才能以最低价17元/个购买？
（2）写出一次性购买x个口罩时（x＞10），药店的利润y（元）与购买量x（个）之间的函数关系式；
（3）在销售过程中，药店发现一次性卖出36个口罩时比卖出26个口罩的钱少，为了使每次销售均能达到多卖就能多获利，在其他促销条件不变的情况下，最低价应确定为每个多少元？
【21题答案】
【答案】（1）顾客一次性至少购买40个口罩时，才能以最低价17元/个购买；（2）y＝；（3）最低价应确定为每个18元．
【解析】
【分析】（1）设顾客一次性至少购买x个口罩时，才能以最低价17元/个购买，由题意得关于x的一元一次方程，解方程即可；
（2）分两种情况：①当x＞40时；②当10＜x≤40时，分别写出函数关系式即可；
（3）当10＜x≤40时，将函数关系式配方，根据二次函数的性质及问题的实际意义可得答案．
【详解】解：（1）设顾客一次性至少购买x个口罩时，才能以最低价17元/个购买，由题意得：
20﹣（x﹣10）×0.1＝17，
解得x＝40．
∴顾客一次性至少购买40个口罩时，才能以最低价17元/个购买．
（2）当x＞40时，y＝（17﹣15）x＝2x；
当10＜x≤40时，y＝[（20﹣15）﹣（x﹣10）×0.1]x＝﹣x2+6x．
∴药店的利润y购买量x之间的函数关系式为y＝．
（3）当10＜x≤40时，
y＝﹣x2+6x
＝﹣（x﹣30）2+90．
∵二次项系数﹣＜0，
∴当x＝30时，y有最大值，且30＜x≤40，y随x的增大而减小，
∴最低价应定在销售量为30个时的价格，才能使每次销售均能达到多卖就能多获利，
此时最低价为：20﹣（30﹣10）×0.1＝18（元）．
∴最低价应确定为每个18元．
【点睛】本题主要考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并分类讨论是解题的关键．
22. 如图，双曲线y＝与直线y＝x交于A、B两点，点P（a，b）在双曲线y＝上，且0＜a＜4．
（1）设PB交x轴于点E，若a＝1，求点E的坐标；
（2）连接PA、PB，得到△ABP，若4a＝b，求△ABP的面积．

【22题答案】
【答案】（1）点E的坐标为（﹣3，0）；（2）15．
【解析】
【分析】（1）解方程组得A（4，1），B（﹣4，﹣1），再利用反比例函数解析式确定P（1，4），则可根据待定系数法求出直线PB的解析式为y＝x+3，从而计算出函数值为0对应的函数值得到点E的坐标；

（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到ab＝4，加上b＝4a，则可求出a、b得到P（1，4），连接OP，如图，由（1）得此时E点坐标为（﹣3，0），接着利用三角形面积公式计算出S△POB＝，由于点A与点B关于原点对称，所以OA＝OB，所以S△BAP＝2S△OBP．
【详解】解：（1）解方程组
得或，
∴A（4，1），B（﹣4，﹣1），
当x＝1时，y＝＝4，则P（1，4），
设直线PB的解析式为y＝mx+n，
把P（1，4），B（﹣4，﹣1）代入得，
解得，
∴直线PB的解析式为y＝x+3，
当y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣3，
∴点E的坐标为（﹣3，0）；
（2）∵点P（a，b）在双曲线y＝上，
∴ab＝4，
而b＝4a，
∴a•4a＝4，解得a＝±1，
∵0＜a＜4．
∴a＝1，
∴P（1，4），
连接OP，如图，由（1）得此时E点坐标为（﹣3，0），
S△POB＝S△OBE+S△OEP＝×3×1+×3×4＝，
∵点A与点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∴S△OAP＝S△OBP＝，
∴S△BAP＝2S△OBP＝15．

【点睛】此题考查的是反比例函数、一次函数和几何图形是综合题型，掌握求联立方程求交点坐标、利用待定系数法求一次函数解析式和三角形的面积公式是解决此题的关键．
23. 如图，在Rt△ABE中，∠B＝90°，以AB为直径的⊙O交AE于点C，CE的垂直平分线FD交BE于D，连接CD．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明；
（2）若AC·AE＝12，求⊙O的半径．

【23题答案】
【答案】（1）CD与⊙O相切；（2）.
【解析】
【分析】（1）连接OC，由于FD是CE的垂直平分线，所以∠E=∠DCE，又因为∠A=∠OCA，∠A+∠E=90°，所以∠OCA+∠DCE=90°，所以CD与⊙O相切．
（2）连接BC，易知∠ACB=90°，所以△ACB∽ABE，所以，由于AC•AE=12，所以AB=2. OA=AB=
【详解】（1）CD与⊙O相切．

证明：如图1，连接OC．
∵ FD是CE的垂直平分线，
∴ DC=DE．
∴ ∠E=∠DCE．
∵ OA=OC，
∴ ∠A=∠OCA．
又∵在Rt△ABE中，∠B＝90°，
∴ ∠A+∠E=90°．
∴∠OCA+∠DCE＝90°．
∴ OC⊥CD．
∴ CD与⊙O相切．
（2）如图2，连接BC．

∵ AB是⊙O直径，
∴ ∠ACB=90°．
∴ △ACB∽△ABE．
∴ ．
∵ AC·AE＝12，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及垂直平分线的性质，切线的判定和性质，相似三角形的性质与判定等知识，需要学生灵活运用所学知识．
24. 如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F．

（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则的值为　 　；
（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值；
（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论．
【24题答案】
【答案】（1）；（2）；（3）变化.证明见解析.
【解析】
【分析】（1）证明△APE≌△PCF，得PE=CF；在Rt△PCF中，解直角三角形求得的值即可；
（2）如答图1所示，作辅助线，构造直角三角形，证明△PME∽△PNF，并利用（1）的结论，求得的值；
（3）如答图2所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明△APM∽△PCN，求得；然后证明△PME∽△PNF，从而由求得的值.与（1）（2）问相比较，的值发生了变化.
【详解】（1）∵矩形ABCD，∴AB⊥BC，PA=PC.
∵PE⊥AB，BC⊥AB，∴PE∥BC.∴∠APE=∠PCF.
∵PF⊥BC，AB⊥BC，∴PF∥AB.∴∠PAE=∠CPF.
∵在△APE与△PCF中，∠PAE=∠CPF，PA=PC，∠APE=∠PCF，
∴△APE≌△PCF（ASA）.∴PE=CF.
在Rt△PCF中，，∴；
（2）如答图1，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN.

∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN.
又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF.
∴.
由（1）知，，
∴.
（3）变化.证明如下：
如答图2，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB.

∵PM∥BC，PN∥AB，
∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN.
∴△APM∽△PCN.
∴，得CN=2PM.
在Rt△PCN中，，
∴.
∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN.
又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF.
∴.
∴的值发生变化.
25. 如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（-9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

【25题答案】
【答案】(1) 抛物线的解析式为y=x2+2x+1，(2) 四边形AECP的面积的最大值是，点P（，﹣）；(3) Q（-4,1）或（3，1）.
【解析】
【分析】(1)把点A，B的坐标代入抛物线的解析式中，求b，c；(2)设P(m，m2−2m＋1)，根据S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC，把S四边形AECP用含m式子表示，根据二次函数的性质求解；(3)设Q(t，1)，分别求出点A，B，C，P的坐标，求出AB，BC，CA；用含t的式子表示出PQ，CQ，判断出∠BAC＝∠PCA＝45°，则要分两种情况讨论，根据相似三角形的对应边成比例求t.
【详解】解：(1)将A(0，1)，B(-9，10)代入函数解析式得：
×81-9b＋c＝10，c＝1，解得b＝2，c＝1，
所以抛物线的解析式y＝x2+2x＋1；
(2)∵AC∥x轴，A(0，1)，
∴x2+2x＋1＝1，解得x1＝-6，x2＝0(舍)，即C点坐标为(-6，1)，
∵点A(0，1)，点B(-9，10)，
∴直线AB的解析式为y＝-x＋1，设P(m，m2+2m＋1)，∴E(m，-m＋1)，
∴PE＝-m＋1−(m2+2m＋1)＝−m2-3m.
∵AC⊥PE，AC＝6，
∴S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝AC⋅EF＋AC⋅PF
＝AC⋅(EF＋PF)＝AC⋅EP
＝×6(−m2-3m)＝−m2-9m.
∵-6 ∴当m＝时，四边形AECP的面积最大值是，此时P()；
(3)∵y＝x2+2x＋1＝(x+3)2−2，
P(-3，−2)，PF＝yF−yp＝3，CF＝xF−xC＝3，
∴PF＝CF，∴∠PCF＝45∘，
同理可得∠EAF＝45∘，∴∠PCF＝∠EAF，
∴在直线AC上存在满足条件点Q，
设Q(t，1)且AB＝，AC＝6，CP＝，
∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△ABC时，
CQ:AC＝CP:AB，(t+6):6＝，解得t＝-4，所以Q(-4，1)；
②当△CQP∽△ABC时，
CQ:AB＝CP:AC，(t+6)6，解得t＝3，所以Q(3，1).
综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，Q点的坐标为(-4，1)或(3，1).
【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，平行于坐标轴的直线上两点间的距离是较大的坐标减较小的坐标；解（3）的关键是利用相似三角形的性质的出关于CQ的比例，要分类讨论，以防遗漏．