高中数学2.2 函数的表示法第2课时学案

这是一份高中数学2.2 函数的表示法第2课时学案，共8页。


根据我国地理学家的估算，我国的水资源总量约为27 000亿(m3)，而可利用的水资源不足总量的1%，现我国属于水资源贫困的国家，为了加强公民的节水意识，某城市制定每户月用水收费(含用水费和污水处理费)标准：
[问题] (1)如果小明家上个月用水量为8.9 m3，这个月用水量为12 m3，他家两个月分别应该交多少水费？
(2)每月用水量x(m3)与应交水费y(元)之间的关系是否可以用函数解析式表示出来？这个解析式有什么特点？




知识点 分段函数
1．分段函数
如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．
2．分段函数的图象
分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象．
eq \a\vs4\al()
理解分段函数应关注4点
(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系；
(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围；
(3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集．分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式；
(4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集．
1．f(x)＝|x－1|的图象是( )
解析：选B ∵f(x)＝|x－1|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－1，x≥1，,1－x，x<1，))当x＝1时，f(1)＝0，可排除A、C.又x＝－1时，f(－1)＝2，排除D.故选B.
2．若函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋1（x>0），,π（x＝0），,0（x<0），))则f(f(f(－2 021)))＝________．
解析：∵f(－2 021)＝0，∴f(f(－2 021))＝f(0)＝π，
∴f(f(f(－2 021)))＝f(π)＝π2＋1.
答案：π2＋1
3．函数y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2，x>0，,－2，x<0))的定义域为________，值域为________．
答案：(－∞，0)∪(0，＋∞) {－2}∪(0，＋∞)
[例1] (1)已知函数f(x)＝eq \f(|x|,x)，则其定义域为( )
A．R B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
(2)函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋1，0＜x＜1，,0，x＝0，,x2－1，－1＜x＜0))的定义域为________，值域为________．
[解析] (1)要使f(x)有意义，需x≠0，
故定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)由已知定义域为{x|0＜x＜1}∪{0}∪{x|－1＜x＜0}＝{x|－1＜x＜1}，即(－1，1)．又0＜x＜1时，0＜－x2＋1＜1，－1＜x＜0时，－1＜x2－1＜0，x＝0时，f(x)＝0，故值域为(－1，0)∪{0}∪(0，1)＝(－1，1)．
[答案] (1)D (2)(－1，1) (－1，1)
eq \a\vs4\al()
1．分段函数定义域、值域的求法
(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；
(2)分段函数的值域是各段函数值域的并集．
2．绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决．
[跟踪训练]
函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x2，0≤x≤1，,2，1＜x＜2，,3，x≥2))的值域是( )
A．R B．[0，＋∞)
C．[0，3] D．[0，2]∪{3}
解析：选D 当x∈[0，1]时，f(x)＝2x2∈[0，2]，所以函数f(x)的值域为[0，2]∪{2，3}＝[0，2]∪{3}.
[例2] 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x)，x>1，,x2＋1，－1≤x≤1，,2x＋3，x<－1.))
(1)求f(f(f(－2)))的值；
(2)若f(a)＝eq \f(3,2)，求a.
[解] (1)∵－2<－1，∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，
∴f(f(－2))＝f(－1)＝2，
∴f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2).
(2)当a>1时，f(a)＝1＋eq \f(1,a)＝eq \f(3,2)，∴a＝2>1；
当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝eq \f(3,2)，∴a＝±eq \f(\r(2),2)∈[－1，1]；
当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝eq \f(3,2)，∴a＝－eq \f(3,4)>－1(舍去)．
综上，a＝2或a＝±eq \f(\r(2),2).
eq \a\vs4\al()
1．求分段函数的函数值的方法
(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间；
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
2．已知函数值求字母取值的步骤
(1)先对字母的取值范围分类讨论；
(2)代入到不同的解析式中；
(3)通过解方程求出字母的值；
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
[跟踪训练]
1．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x3－1，x≥0，,2x，x<0，))设f(0)＝a，则f(a)＝( )
A．－2 B．－1
C.eq \f(1,2) D．0
解析：选A ∵a＝f(0)＝03－1＝－1，
∴f(a)＝f(－1)＝2×(－1)＝－2，故选A.
2．设f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(x)，0A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选C 当01，则f(a)＝eq \r(a)，
f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，
∵f(a)＝f(a＋1)，∴eq \r(a)＝2a，解得a＝eq \f(1,4).
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
当a≥1时，a＋1≥2，∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，则2(a－1)＝2a，无解．
综上，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝6.
[例3] (链接教科书第54页例3)已知函数f(x)＝1＋eq \f(|x|－x,2)(－2(1)用分段函数的形式表示该函数；
(2)画出函数的图象；
(3)写出该函数的值域．
[解] (1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋eq \f(x－x,2)＝1，
当－2∴f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，0≤x≤2，,1－x，－2(2)函数f(x)的图象如图所示：
(3)由(2)知，f(x)在(－2，2]上的值域为[1，3)．
[母题探究]
(变条件)若本例条件变为“已知函数f(x)＝|x|－2”，如何求解？
解：(1)f(x)＝|x|－2＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2，x≥0，,－x－2，x<0.))
(2)函数的图象如图所示：
(3)由图可知，f(x)的值域为[－2，＋∞)．
eq \a\vs4\al()
分段函数图象的画法
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象；
(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
[跟踪训练]
1．设x∈R，定义符号函数sgn x＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))则函数f(x)＝|x|sgn x的图象大致是( )
解析：选C 函数f(x)＝|x|sgn x＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x，x>0，,0，x＝0，,x，x<0，))故函数f(x)＝|x|sgn x的图象为y＝x所在的直线，故选C.
2．(多选)已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，x≥0，,0，x<0，))则不等式xf(x)＋x≤2的解可以是( )
A．1 B．2
C．－1 D．3
解析：选AC 当x≥0时，原不等式可化为x＋x≤2，
∴x≤1，∴0≤x≤1；
当x<0时，原不等式可化为x≤2，
∴x<0.
综上，不等式的解集为(－∞，1]．故可选A、C.
[例4] (链接教科书第56页练习5题)某市有A，B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元，某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时．
(1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12≤x≤30)，在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30)，试求f(x)与g(x)的解析式；
(2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？
[解] (1)由题意f(x)＝6x，x∈[12，30]，
g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(90，x∈[12，20]，,2x＋50，x∈（20，30].))
(2)①12≤x≤20时，6x＝90，解得：x＝15，
即当12≤x<15时，f(x)当x＝15时，f(x)＝g(x)，
当15g(x)．
②当20g(x)，
故当12≤x<15时，选A俱乐部合算，
当x＝15时，两家俱乐部一样合算，
当15eq \a\vs4\al()
分段函数的实际应用
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画；
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．
[跟踪训练]
小王家在县城A地，现在主城B地上学，周六小王的父母早上8时从家出发，驾车3 h到达主城B地，由于交通等原因，小王父母的车所走的路程s(单位：km)与离家的时间t(单位：h)的函数关系为s(t)＝－5t(t－13)，到达主城B地后，小王父母把车停在B地，在学校陪小王玩到16时，然后开车从B地以60 km/h的速度沿原路返回．
(1)求这天小王父母的车所走路程y(单位：km)与离家时间t(单位：h)的函数解析式；
(2)在距离小王家60 km处有一加油站，求这天小王父母的车途经加油站的时间．
解：(1)依题意得当0≤t≤3时，s(t)＝－5t(t－13)．
∴s(3)＝－5×3×(3－13)＝150.即小王家距B地150 km.
小王父母的车在B地逗留时间为16－8－3＝5(h)，
∴当3小王父母从B地回家所花时间为eq \f(150,60)＝2.5(h)，
∴当8故y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－5t（t－13），0≤t≤3，,150，3(2)当0≤t≤3时，令－5t(t－13)＝60，得t2－13t＋12＝0，解得t＝1或t＝12(舍去)，当t＝1时，小王父母的车经过加油站的时间为9时；
当8∴这天小王父母的车途经加油站的时间为9时和17时30分．
1．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图示可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )
解析：选B 根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A、D，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C，故选B.
2．若函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－x2，x≤1，,x2＋x－2，x>1，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,f（2）)))的值为( )
A.eq \f(15,16) B．－eq \f(27,16)
C.eq \f(8,9) D．18
解析：选A f(2)＝22＋2－2＝4，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,f（2）)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(2)＝eq \f(15,16)，故选A.
3．(多选)下列给出的函数是分段函数的是( )
A．f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋1，1B．f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1，x∈R，,x2，x≥2))
C．f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3，1≤x≤5，,x2，x≤1))
D．f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋3，x<0，,x－1，x≥5))
解析：选AD 对于B，取x＝2，得f(2)＝3或4，对于C，取x＝1，f(1)＝5或1，所以B、C都不合题意，故选A、D.
4．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是________．
解析：由题图可知，f(x)的图象是由两条线段组成的．当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1，0)，(0，1)代入解析式，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－a＋b＝0，,b＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝1.))
当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，得k＝－1.
所以f(x)的解析式为f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1，－1≤x<0，,－x，0≤x≤1.))
答案：f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1，－1≤x<0，,－x，0≤x≤1))
用水量
不超过10 m3部分
超过10 m3部分
水费(元/m3)
2.27
3.40
污水处理费(元/m3)
0.30
0.80
分段函数的定义域、值域
分段函数求值问题
分段函数的图象及应用
分段函数的应用问题