高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学案，共7页。


一家世界500强公司曾经出过这样的一道面试题：
现在有一套房子，价格200万元，假设房价每年上涨10%，某人每年固定能一共攒下40万元，如果他想买这套房子，在不贷款，收入不增加的前提下，这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子？
A．5年 B．7年
C．8年 D．9年
E．永远买不起
[问题] (1)房子每年的价格满足什么函数关系？
(2)这个人每年的收入之和满足什么函数关系？
(3)你能给出这道题的答案吗？



知识点 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
1．当b>1，c>0时，即使b很接近于1，c很接近于0，都有y＝xc比y＝lgbx增长快．
2．当a>1，c>0时，即使a很接近于1，c很大，都有y＝ax比y＝xc增长快．
3．随着自变量x的增大，y＝ax的函数值增长远远大于y＝xc的函数值增长；而y＝xc的函数值增长又远远大于y＝lgbx的函数值增长．
4．当底数a>1时，由于指数函数y＝ax的值增长非常快，人们称这种现象为“指数爆炸”．
eq \a\vs4\al()
三种函数模型的再理解
(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型；
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．
存在一个x0，当x>x0时，为什么ax>xn>lgax(a>1，n>0)一定成立？
提示：当a>1，n>0时，由y＝ax，y＝xn，y＝lgax的增长速度，存在x0，当x>x0时，三个函数的图象由上到下依次为指数，幂，对数，故一定有ax>xn>lgax.
1．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是( )
A．y＝ex B．y＝ln x
C．y＝3x D．y＝e－x
答案：A
2．某公司为了适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用( )
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
答案：D
3．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
关于x呈指数型函数变化的变量是________．
解析：以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象可知变量y2关于x呈指数型函数变化．
答案：y2
[例1] (链接教科书第117页练习1题)下面对函数f(x)＝lgeq \s\d9(\f(1,2))x，g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)与h(x)＝xeq \s\up6(－eq \f(1,2))在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是( )
A．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢
B．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快
C．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢
D．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快
[解析] 画出三个函数的图象如图，由图象可知选C.
[答案] C
eq \a\vs4\al()
一般地，在(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(0随着x的增大，函数y＝ax(01时，函数值小于0，会越来越小．
因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有lgax[提醒] 由指数函数、对数函数和幂函数的增长与衰减差异可知，总会存在一个x0，使得当x>x0时，若a>1，n>0，则lgax[跟踪训练]
三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是( )
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y3，y1，y2
解析：选C 由指数函数、对数函数、幂函数的增长速率比较，指数函数增长最快，对数函数增长最慢，分析表格中数据可知，y1是幂函数型函数，y2是指数函数型函数，y3是对数函数型函数，故选C.
[例2] 如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好( )
A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝lg2t
C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2
[解析] 由图可知函数在第一象限内单调递增，并且增长速度较快，且图象过点(2，4)，(4，16)，因此利用指数函数模型拟合较好．
[答案] A
eq \a\vs4\al()
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变；
(2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”；
(3)对数函数模型：对数函数模型y＝lgax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓；
(4)幂函数模型：幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．
[跟踪训练]
四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x＞1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝lg2x，f4(x)＝2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝2x
C．f3(x)＝lg2x D．f4(x)＝2x
解析：选D 由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大．故选D.
[例3] (链接教科书第117页习题2题)某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝lga(t＋1)来拟合h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度.
[解] 在坐标轴上标出t(年)与h(米)之间的关系如图所示．
由图象可以看出增长的速度越来越慢，用一次函数模型拟合不合适，则选用对数函数模型比较合理．
不妨将(2，1)代入h＝lga(t＋1)中，得1＝lga3，解得a＝3.
故可用函数h＝lg3(t＋1)来拟合这个实际问题．
当t＝8时，求得h＝lg3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2米．
eq \a\vs4\al()
函数模型构建的一般步骤
(1)收集数据；
(2)根据收集到的数据，在平面直角坐标系内画出散点图；
(3)根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型；
(4)选择其中的几组数据求出函数模型；
(5)将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则返回步骤(3)；若符合实际，则进入下一步；
(6)用所得函数模型解析实际问题．
[跟踪训练]
某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x, y＝lg5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
解：作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝lg5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝lg5x进行奖励才符合学校的要求．
1．下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是( )
A．y＝2 022ln x B．y＝x2 022
C．y＝eq \f(\r(x),2 022) D．y＝2 022·2x
解析：选D 由于指数函数的增长是爆炸式增长，则随着x越来越大，函数y＝2 022·2x的函数值的增长速度最快．故选D.
2．向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是( )
解析：选B 水深h为自变量，随着h的增大，A项中V的增长速度越来越快，C项中先慢后快，D项中增长速度不变，只有B项中V的增长速度越来越慢．
3．某校甲、乙食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份( )
A．甲食堂的营业额较高
B．乙食堂的营业额较高
C．甲、乙两食堂的营业额相同
D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
解析：选A 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意，可得m＋8a＝m×(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m×(1＋x)4＝eq \r(m（m＋8a）).因为yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高．
新课程标准解读
核心素养
1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型
数学抽象
2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义
逻辑推理
3.能根据具体问题选择合适的函数模型
数学建模
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1 024
32 768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
几类函数模型的比较
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1 715
3 635
6 655
y2
5
29
245
2 189
19 685
177 149
y3
5
6.10
6.61
6.95
7.20
7.40
几种函数模型增长的差异
函数模型的构建
t(年)
1
2
3
4
5
6
h(米)
0.6
1
1.3
1.5
1.6
1.7