2021_2022学年新教材高中数学第四章对数运算与对数函数章末复习与总结学案北师大版(2019)必修第一册

章末复习与总结

一、数学运算

数学运算核心素养在本章中主要体现在对数运算及对数函数的单调性、值域中.

[例1]　求下列各式的值：

(1)lg 20·lg 5＋(lg 2)2；

(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．

[解]　(1)原式＝(lg 22＋lg 5)·lg 5＋(lg 2)2＝(lg 5)2＋2lg 5lg 2＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝(lg 10)2＝1.

(2)原式＝log32·log43＋log92·log43＋log32·log83＋log92·log83＝log32·log23＋log32·log23＋log32·log23＋log32·log23＝＋＋＋＝.

[例2]　设定义域均为[，8]的两个函数f(x)和g(x)，其解析式分别为f(x)＝log2x－2和g(x)＝log4x－.

(1)求函数f(x)的值域；

(2)求函数G(x)＝f(x)·g(x)的值域．

[解]　(1)因为y＝log2x在[，8]上是增函数，

所以log2≤log2x≤log28，即log2x∈.

故log2x－2∈，

即函数f(x)的值域为.

(2)G(x)＝f(x)·g(x)＝(log2x－2)

＝(log2x－2)

＝[(log2x)2－3log2x＋2]，

令t＝log2x，x∈[，8]，t∈，

则y＝(t2－3t＋2)＝－，t∈，

故当t＝时，y取最小值，最小值为－；

当t＝3时，y取最大值，最大值为1.

所以函数G(x)＝f(x)·g(x)的值域为.

[例3]　已知函数f(x)＝log(x2－ax＋4a)在区间[2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－2，4]　　　　　　　 B．[－2，4]

C．(－∞，4]  D．[4，＋∞)

[解析]　∵函数f(x)＝log(x2－ax＋4a)在区间[2，＋∞)上单调递减，设t＝x2－ax＋4a，

又y＝logt是减函数，

∴t＝x2－ax＋4a>0在区间[2，＋∞)上恒成立，且是增函数，

∴解得－2<a≤4，故选A.

[答案]　A

二、直观想象

直观想象核心素养在本章中主要体现在对数函数图象的识别及应用问题中.

[例4]　已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx的图象可能是(　　)

[解析]　lg a＋lg b＝0，即为lg(ab)＝0，即有ab＝1，

当a>1时，0<b<1，函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx在同一坐标系中的图象不可能是选项C；

对数函数图象不可能在y轴的左边，A显然不成立；

选项D是0<a<1，0<b<1，不满足ab＝1；

当0<a<1时，b>1，函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx在同一坐标系中的图象可能是B，故选B.

[答案]　B

[例5]　(多选)f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值可以是(　　)

A．2  B．

C．3  D．4

[解析]　f(x)的图象如图所示．

由已知不妨设a<b<c，

∵f(a)＝f(b)，即|log2a|＝|log2b|，

∴－log2a＝log2b，∴log2a＋log2b＝0，

∴log2ab＝0，∴ab＝1，

又2<c<4，

∴abc∈(2，4)．故选B、C.

[答案]　BC

三、逻辑推理

逻辑推理核心素养在本章中主要体现在对数函数性质的应用中.

[例6]　(2019·天津高考)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a<c<b  B．a<b<c

C．b<c<a  D．c<a<b

[解析]　因为y＝log5x是增函数，所以a＝log52<log5＝0.5.因为y＝log0.5x是减函数，所以b＝log0.50.2>log0.50.5＝1.因为y＝0.5x是减函数，所以0.5＝0.51<c＝0.50.2<0.50＝1，即0.5<c<1.所以a<c<b.故选A.

[答案]　A

[例7]　若a>b>1，0<c<1，则(　　)

A．ac<bc  B．abc<bac

C．alogbc<blogac  D．logac<logbc

[解析]　法一：A、B、C、D分别等价于cln a<cln b，(c－1)ln b<(c－1)ln a，<，<.

由于a>b>1，0<c<1，

则由对数函数性质可得ln a>ln b>0，ln c<0，

所以cln a>cln b，(c－1)ln b>(c－1)ln a，<，>.故选C.

法二：由于0<c<1，故由幂函数的性质得，当a>b>1时，ac>bc，排除A.

abc<bac等价于bc－1<ac－1，由于c－1<0，故由幂函数的性质得，当a>b>1时，bc－1>ac－1，排除B.

由于a>b>1，0<c<1，所以ln c<0，ln a>ln b>0.

故logbc－logac＝(ln a－ln b)<0；

alogbc－blogac＝(aln a－bln b)<0，

即logac>logbc，排除D.alogbc<blogac，故选C.

法三：特殊值法，取a＝4，b＝2，c＝，则ac＝2，bc＝，ac>bc，排除A.abc＝4，bac＝4，abc>bac，排除B.logac＝－，logbc＝－1，logac>logbc，排除D.故选C.

[答案]　C

[例8]　设0<a<1，函数f(x)＝loga(a2x－2ax－2)，使f(x)<0的x的取值范围是(　　)

A．(－∞，0)  B．(loga3，＋∞)

C．(－∞，loga3)  D．(0，＋∞)

[解析]　由题意，令t＝ax，有t>0，则y＝loga(t2－2t－2)，若使f(x)<0，即loga(t2－2t－2)<0.因为0<a<1，所以y＝logax是减函数，故有t2－2t－2>1，解得t>3或t<－1.又因为t>0，故t>3，即ax>3.

又因为0<a<1，所以x的取值范围是(－∞，loga3)，故选C.

[答案]　C

[例9]　已知函数f(x)＝logm(0<m<1)．

(1)判断f(x)的奇偶性并证明；

(2)令g(x)＝f(x－3)，①判断g(x)在(6，＋∞)上的单调性(不必说明理由)；

②是否存在6<α<β，使得g(x)在区间[α，β]的值域为[logmmβ，logmmα]？若存在，求出此时m的取值范围；若不存在，请说明理由．

[解]　(1)f(x)是奇函数，证明如下：

由>0解得x<－3或x>3，所以f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(3，＋∞)，关于原点对称．又f(－x)＝logm＝logm＝logm＝－f(x)，故f(x)为奇函数．

(2)g(x)＝logm，①g(x)在(6，＋∞)上单调递减．

②假设存在β>α>6，使g(x)在区间[α，β]的值域为[logmmβ，logmmα]．

由①知，g(x)在(6，＋∞)上单调递减．

则有所以

所以α，β是方程＝mx在(6，＋∞)上的两根，

整理得mx2＝x－6在(6，＋∞)有2个不等根α和β.即m＝－，

令t＝，则0<t<，y＝－6t2＋t，

即直线y＝m与函数y＝－6t2＋t的图象(如图)在上有两个交点，所以m∈.