高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第七章 概率2 古典概型2.2 古典概型的应用第2课时导学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第七章 概率2 古典概型2.2 古典概型的应用第2课时导学案，共8页。


[问题] (1)抛掷一枚骰子，点数2朝上和点数3朝上可以同时发生吗？
(2)在两个装有质量盘的不透明箱子中各随机地取出一个质量盘，“总质量至少20 kg”与“总质量不超过10 kg”能同时发生吗？



知识点 互斥事件的概率加法公式
1．在一个试验中，如果事件A和事件B是互斥事件，那么有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．这一公式称为互斥事件的概率加法公式．
2．特别地，P(A∪ eq \x\t(A) )＝P(A)＋P( eq \x\t(A) )，
即P(A)＋P( eq \x\t(A) )＝1，所以P( eq \x\t(A) )＝1－P(A)．
3．一般地，如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么有
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
eq \a\vs4\al()
1．运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏，分别求出各个事件的概率，然后用加法公式求出结果．
2．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再运用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．
3．求解“至多”“至少”型事件的概率时，若直接计算符合条件的样本点的个数较烦琐，可先计算其对立事件的概率，再求结果．
设事件A发生的概率为P(A)，事件B发生的概率为P(B)，那么事件A∪B发生的概率是P(A)＋P(B)吗？
提示：不一定．当事件A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；当事件A与B不互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).
1．已知P(A)＝0.2，P(B)＝0.4，且A与B是互斥事件，则P(A∪B)＝________．
解析：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.2＋0.4＝0.6.
答案：0.6
2．事件A与B是对立事件，且P(A)＝0.3，则P(B)等于________．
解析：P(B)＝1－P(A)＝0.7.
答案：0.7
3．一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为________．
解析：中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65.
答案：0.65
[例1] (链接教科书第201页例4、例5)一名射击运动员在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率．
(2)至少射中7环的概率．
[解] 设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且P(A)＝0.24，P(B)＝0.28，P(C)＝0.19，P(D)＝0.16，P(E)＝0.13.
(1)P(射中10环或9环)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.
(2)事件“至少射中7环”与事件E“射中7环以下”是对立事件，则P(至少射中7环)＝1－P(E)＝1－0.13＝0.87.
所以至少射中7环的概率为0.87.
[母题探究]
1．(变设问)本例条件不变，求射中环数小于8环的概率．
解：事件“射中环数小于8环”包含事件D“射中7环”与事件E “射中7环以下”两个事件，则P(射中环数小于8环)＝P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29.
2．(变条件，变设问)某射击运动员在一次射击中，射中10环的概率是射中9环的概率的2倍，运动员射中9环以下的概率为0.1，求运动员在一次射击中，射中10环的概率．
解：设事件A，B，C分别表示“射中10环”“射中9环”“射中9环以下”，则 eq \(C,\s\up6(－)) ＝A∪B，
因为P(A)＝2P(B)，所以P( eq \(C,\s\up6(－)) )＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1－0.1＝0.9，
得3P(B)＝0.9，所以P(B)＝0.3，P(A)＝0.6.
即运动员在一次射击中，射中10环的概率为0.6.
eq \a\vs4\al()
运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤
(1)确定各事件彼此互斥；
(2)求各事件分别发生的概率，再求其和．
值得注意的是：(1)是公式使用的前提条件，不符合这点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的．
[跟踪训练]
甲、乙两人下棋，和棋的概率为 eq \f(1,2) ，乙获胜的概率为 eq \f(1,3) ，求：
(1)甲获胜的概率；
(2)甲不输的概率．
解：(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率P＝1－ eq \f(1,2) － eq \f(1,3) ＝ eq \f(1,6) .
即甲获胜的概率是 eq \f(1,6) .
(2)法一：设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝ eq \f(1,6) ＋ eq \f(1,2) ＝ eq \f(2,3) .
法二：设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(A)＝1－ eq \f(1,3) ＝ eq \f(2,3) .
即甲不输的概率是 eq \f(2,3) .
[例2] (链接教科书第202页例6)一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球，从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．
[解] 记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则
P(A1)＝ eq \f(5,12) ，P(A2)＝ eq \f(4,12) ，P(A3)＝ eq \f(2,12) ，P(A4)＝ eq \f(1,12) .
根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，
法一：由互斥事件的概率加法公式，得
(1)取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝ eq \f(5,12) ＋ eq \f(4,12) ＝ eq \f(3,4) .
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝ eq \f(5,12) ＋ eq \f(4,12) ＋ eq \f(2,12) ＝ eq \f(11,12) .
法二：(1)取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4.所以取得1球为红球或黑球的概率为
P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)
＝1－ eq \f(2,12) － eq \f(1,12) ＝ eq \f(9,12) ＝ eq \f(3,4) .
(2)A1＋A2＋A3的对立事件为A4，所以
P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－ eq \f(1,12) ＝ eq \f(11,12) .
eq \a\vs4\al()
求复杂互斥事件概率的2种方法
[跟踪训练]
某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示．现从中随机抽取一名队员，求：
(1)该队员只属于一支球队的概率；
(2)该队员最多属于两支球队的概率．
解：分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A，B，C.由图知3支球队共有球员20名．则P(A)＝ eq \f(5,20) ，P(B)＝ eq \f(3,20) ，P(C)＝ eq \f(4,20) .
(1)令“抽取一名队员且该队员只属于一支球队”为事件D.
则D＝A＋B＋C，∵事件A，B，C两两互斥，
∴P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝ eq \f(5,20) ＋ eq \f(3,20) ＋ eq \f(4,20) ＝ eq \f(3,5) .
(2)令“抽取一名队员且该队员最多属于两支球队”为事件E，则 eq \x\t(E) 为“抽取一名队员且该队员属于3支球队”，
∴P(E)＝1－P( eq \x\t(E) )＝1－ eq \f(2,20) ＝ eq \f(9,10) .
[例3] 为了解我市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为5，6，7，8，9，10(单位：分).规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：
(1)求本次评估的平均得分，并参照上表估计我市的总体交通状况等级；
(2)用简单随机抽样的方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
[解] (1)6条道路的平均得分为 eq \f(1,6) ×(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7.5(分)，所以该市的总体交通状况等级为合格．
(2)设A表示事件“样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5”．
从6条道路中抽取2条的得分组成的样本空间为Ω＝{(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(5，10)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(6，10)，(7，8)，(7，9)，(7，10)，(8，9)，(8，10)，(9，10)}，共15个样本点，事件A包括的样本点为(5，9)，(5，10)，(6，8)，(6，9)，(6，10)，(7，8)，(7，9)，共7个．
所以P(A)＝ eq \f(7,15) .
故该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为 eq \f(7,15) .
eq \a\vs4\al()
解决古典概型与统计交汇的综合问题时，把相关的知识转化为事件，列举出样本空间，求出样本点的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．
[跟踪训练]
某校从七年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中实数a的值；
(2)若该校七年级共有学生640人，试估计该校七年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
(3)若从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
解：(1)由已知，得10×(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)＝1，解得a＝0.03.
(2)根据频率分布直方图，可知成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.010)＝0.85.由于该校七年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校七年级期中考试数学成绩不低于60分的人数为640×0.85＝544.
(3)易知成绩在[40，50)分数段内的人数为40×0.05＝2，这2人分别记为A，B；成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1＝4，这4人分别记为C，D，E，F.若从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，则所有的样本点有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个．如果2名学生的数学成绩都在[40，50)分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40，50)分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的样本点有(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共7个，故所求概率P(M)＝ eq \f(7,15) .
1．已知随机事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.5，P(B)＝0.3，则P( eq \(A,\s\up6(－)) )＝( )
A．0.5 B．0.2
C．0.7 D．0.8
解析：选D ∵A与B互斥，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，∴P(A)＝0.5－0.3＝0.2，∴P( eq \(A,\s\up6(－)) )＝1－P(A)＝1－0.2＝0.8.
2．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙两人下和棋的概率是( )
A．60% B．30%
C．10% D．50%
解析：选D “甲获胜”与“甲、乙下成和棋”是互斥事件，“甲不输”即“甲获胜或甲、乙下成和棋”，故P(甲不输)＝P(甲胜)＋P(甲、乙和棋)，∴P(甲、乙和棋)＝P(甲不输)－P(甲胜)＝90%－40%＝50%.
3．某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛，甲、乙两队夺取冠军的概率分别是 eq \f(3,7) 和 eq \f(1,4) ，则该市球队夺得全省足球冠军的概率为( )
A． eq \f(3,28) B． eq \f(1,2)
C． eq \f(17,28) D． eq \f(19,28)
解析：选D 设事件A，B分别表示该市的甲、乙队夺取冠军，则P(A)＝ eq \f(3,7) ，P(B)＝ eq \f(1,4) ，且A，B互斥．该市球队夺得冠军即事件A∪B发生．于是P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝ eq \f(3,7) ＋ eq \f(1,4) ＝ eq \f(19,28) .
4.如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是________．
解析：设“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.
因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10.
答案：0.10
5．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘轮船去的概率；
(3)如果他乘交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？
解：(1)记“他乘火车”为事件A，“他乘轮船”为事件B，“他乘汽车”为事件C，“他乘飞机”为事件D.这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥，所以P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.
即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
(2)设他不乘轮船去的概率为p，则
p＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8，
所以他不乘轮船去的概率为0.8.
(3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，
P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，
故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．
新课程标准解读
核心素养
通过实例，理解概率的性质，掌握互斥事件、对立事件概率的运算法则
数学建模、数学运算
互斥事件与对立事件概率公式的应用
互斥事件与对立事件概率的综合问题
直接法
将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和
间接法
先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P( eq \(A,\s\up6(－)))求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法
概率与统计的综合应用问题
评估的平均得分/分
[0，6)
[6，8)
[8，10]
全市的总体交通状况等级
不合格
合格
优秀