2021年九年级中考数学考点专题训练——专题十三：圆(含答案)

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备战2021中考数学考点专题训练——专题十三：圆
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为4，CF＝6，求tan∠CBF．










2．已知AB是⊙O的直经，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点的连线距离的最小值为d，B与直线CM上的连线距离的最小值为f，
（1）求证：PC是⊙O切线．
（2）设OP＝AC，求∠CPO的正切值．
（3）设AC＝9，AB＝15，求d+f的取值范围．










3．在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B作⊙O的切线BF交CD的延长线于点F．
（I）如图①，若∠F＝50°，求∠GBF的大小；
（II）如图②，连接BD，AC，若∠F＝36°，AC∥BF，求∠GBF的度数．










4．已知△ABC内接于⊙O，点D在弦AB上，设∠CAB＝α，∠ACD＝β．
（1）如图1，当⊙O的半径OB＝3，α＝30°时，求的长；
（2）如图1，试用含α的代数式表示∠OBC的大小；
（3）如图2，点P是DC延长线上的一点，连接PB．若∠ABC＝β，且PD＝PB，求证：PB是⊙O的切线．











5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，⊙O的切线DE交BC于点F，交AB的延长线于点D．
（1）若BD＝2，DE＝4，求⊙O的半径；
（2）求证：BF＝CF．










6．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连接CE，AE，CD，若∠AEC＝∠ODC．
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝8，则线段CD的长为　 　．














7．如图，AB是⊙O的直径，点C、E位于⊙O上AB两侧．在BA的延长线上取点D，使∠ACD＝∠B．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）当BC＝EC时，求证：AC2＝AE•AD；
（3）在（2）的条件下，若BC＝4，AD：AE＝5：9，求⊙O的半径．










8．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，⊙O过点D，与AB相切于点A，与CD相交于点E，且AB＝DE．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为5，求四边形ABCD的面积．













9．如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，O2A的延长线交⊙O1于点D，点E为AD的中点，AD＝AB，连接O1E．
（1）求证：O1E＝O1C；
（2）如果O1O2＝10，O1E＝6，求AB的长．










10．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．
（1）求证：MD＝MC；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝4，求OD长；
（3）在（2）的基础上求MC长．













11．如图1，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是上一点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，连结BD交AC于点G，且AF＝FG．
（1）求证：点D平分；
（2）如图2所示，延长BA至点H，使AH＝AO，连结DH．若点E是线段AO的中点．求证：DH是⊙O的切线．










12．如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）试证明DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求此时DE的长．












13．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，点C为BM上一点，连接AC与⊙O交于点D，E为⊙O上一点，且满足∠EAC＝∠ACB，连接BD，BE．
（1）求证：∠ABE＝2∠CBD；
（2）过点D作AB的垂线，垂足为F，若AE＝6，BF＝，求⊙O的半径长．










14．如图，AB为⊙O直径，PA、PC分别与⊙O相切于点A、C，PE⊥PA，PE交OC的延长线于点E．
（1）求证：OE＝PE；
（2）连接BC并延长交PE于点D，PA＝AB，且CE＝9，求PE的长．










15．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，＝＝，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若直径AB＝6，求AD的长．










16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）求证：＝．
（3）若sin∠ABC═，AC＝15，求四边形CHQE的面积．





17．如图，在三角形ABC中，AB＝10，AC＝BC＝13，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF⊥AC，于点F，交CB的延长线于点E．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求cos∠ADF的值．

































备战2021中考数学考点专题训练——专题十三：圆参考答案
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为4，CF＝6，求tan∠CBF．

【答案】（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
∵AB＝AC，
∴2∠1＝∠CAB．
∵∠BAC＝2∠CBF，
∴∠1＝∠CBF
∴∠CBF+∠2＝90°
即∠ABF＝90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：过C作CH⊥BF于H，
∵AB＝AC，⊙O的直径为4，
∴AC＝4，
∵CF＝6，∠ABF＝90°，
∴BF＝＝＝2，
∵∠CHF＝∠ABF，∠F＝∠F，
∴△CHF∽△ABF，
∴＝，
∴＝，
∴CH＝，
∴HF＝＝＝，
∴BH＝BF﹣HF＝2﹣＝，
∴tan∠CBF＝＝＝．

2．已知AB是⊙O的直经，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点的连线距离的最小值为d，B与直线CM上的连线距离的最小值为f，
（1）求证：PC是⊙O切线．
（2）设OP＝AC，求∠CPO的正切值．
（3）设AC＝9，AB＝15，求d+f的取值范围．

【答案】（1）证明：连接OC，如图1所示：
∵BP是圆的切线，
∴BP⊥OB，
∴∠OBP＝90°，
∵AC∥OP，
∴∠OAC＝∠BOP，∠ACO＝∠COP，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACO，
∴∠COP＝∠BOP，
在△OCP和△OBP中，，
∴△OCP≌△OBP（SAS），
∴∠OCP＝∠OBP＝90°，
∴PC⊥OC，
∴PC是圆的切线；
（2）解：连接BC，交OP于H，如图2所示：
由（1）得：∠COH＝∠BOH，
∵OB＝OC，
∴OH⊥BC，BH＝CH，
∵OA＝OB，
∴OH是△ABC的中位线，
∴OH＝AC，
∵OP＝AC，
∴设AC＝2a，则OP＝3a，
∴OH＝a，HP＝2a，
∠OCP＝90°，
∴∠OCH+∠PCH＝90°，
∵∠CPH+∠PCH＝90°，
∴∠OCH＝∠CPH，
∵∠OHC＝∠CHP＝90°，
∴△OHC∽△CHP，
∴＝，
∴HC2＝OH•HP＝a×2a＝2a2，
∴HC＝a，
∴tan∠CPO＝＝＝；
（3）解：连接BC，过点A作AN⊥CM于N，过点B作BS⊥CM于S，如图3所示：
则d＝AN＝AM•sin∠AMC，f＝BS＝BM•sin∠SMB，
∴d+f＝AM•sin∠AMC+BM•sin∠SMB，
∵∠AMC＝∠SMB，
∴d+f＝sin∠AMC（AM+BM）＝AB•sin∠AMC，
当∠AMC最大，d+f最大，即CM⊥AB最大，
此时，d+f＝AB＝15，
当∠AMC最小，d+f最小，
即M在B点∠AMC＝∠ABC，与M在A点∠AMC＝∠CAB时最小，
∵AB是⊙O的直经，
∴∠ACB＝90°，
由勾股定理得：BC＝＝＝12，
∴BC＞AC，
∴∠ABC＜∠ACB，
∴M在B点时，∠AMC最小，
此时，d+f＝AC＝9，
∴9≤d+f≤15．



3．在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B作⊙O的切线BF交CD的延长线于点F．
（I）如图①，若∠F＝50°，求∠GBF的大小；
（II）如图②，连接BD，AC，若∠F＝36°，AC∥BF，求∠GBF的度数．

【答案】解：（I）如图①，连接OB，

∵BF为⊙O的切线，
∴OB⊥BF，
∴∠OBF＝90°，
∵OA⊥CD，
∴∠OED＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠F＝180°﹣50°＝130°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠A＝（180°﹣130°）＝25°，
∴∠GBF＝90°﹣∠OBA＝65°；
（II）如图②，连接OB，BO的延长线交AC于H，

∵BF为⊙O的切线，
∴OB⊥BF，
∵AC∥BF，
∴BH⊥AC，
与（Ⅰ）方法可得到∠AOB＝180°﹣∠F＝180°﹣36°＝144°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝（180°﹣144°）＝18°，
∴∠GBF＝90°﹣∠OBA＝90°﹣18°＝72°．
4．已知△ABC内接于⊙O，点D在弦AB上，设∠CAB＝α，∠ACD＝β．
（1）如图1，当⊙O的半径OB＝3，α＝30°时，求的长；
（2）如图1，试用含α的代数式表示∠OBC的大小；
（3）如图2，点P是DC延长线上的一点，连接PB．若∠ABC＝β，且PD＝PB，求证：PB是⊙O的切线．

【答案】解：（1）如图1，连接OC，∵∠CAB＝α＝30°，

∴∠COB＝2∠CAB＝60°，
∵OB＝3，
∴的长为．
即的长度为π；
（2）∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠BOC＝2∠CAB＝2α，
∴．
（3）证明：如图2，延长BO交⊙O于点E，连接OA、OC、AE，

∵∠AOC＝2∠ABC＝2∠ACD＝2β，∠BOC＝2∠CAB＝2α，
∴∠AOB＝2α+2β．
∵∠AOB＝2∠E，
∴2∠E＝2α+2β．
∴∠E＝α+β．
∵PB＝PD，
∴∠PBD＝∠PDB＝α+β．
∵BE是⊙O的直径，
∴∠E+∠ABE＝90°，
∴α+β+∠ABE＝90°．
∴∠PBD+∠ABE＝90°．
即∠EBP＝90°．
∴PB是⊙O的切线．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，⊙O的切线DE交BC于点F，交AB的延长线于点D．
（1）若BD＝2，DE＝4，求⊙O的半径；
（2）求证：BF＝CF．

【答案】（1）解：连接OE，如图，
∵DE为⊙O的切线，
∴∠OEF＝90°，
设⊙O半径为x，则OB＝OE＝x，
∵BD＝2，
∴OD＝OB+BD＝x+2，
在Rt△DEO中，∵OE2+DE2＝OD2，
∴x2+42＝（x+2）2，解得x＝3，
即⊙O半径为3；
（2）证明：连接BE，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，∠CEB＝90°，
∴∠CBE+∠C＝90°，∠CEF+∠FEB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴BC为⊙O的切线，
∵DE为⊙O的切线，
∴BF＝EF，
∴∠CBE＝∠BEF，
∴∠C＝∠CEF，
∴CF＝EF，
∴BF＝CF．

6．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连接CE，AE，CD，若∠AEC＝∠ODC．
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝8，则线段CD的长为　 　．

【答案】（1）证明：连接OC，
∵∠CEA＝∠CBA，∠AEC＝∠ODC，
∴∠CBA＝∠ODC，
又∵∠CFD＝∠BFO，
∴∠DCB＝∠BOF，
∵CO＝BO，
∴∠OCF＝∠B，
∵∠B+∠BOF＝90°，
∴∠OCF+∠DCB＝90°，
∴直线CD为⊙O的切线；
（2）解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DCO＝∠ACB，
又∵∠D＝∠B
∴△OCD∽△ACB，
∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴AC＝6，
∴＝，即＝，
解得；DC＝，
故答案为：．

7．如图，AB是⊙O的直径，点C、E位于⊙O上AB两侧．在BA的延长线上取点D，使∠ACD＝∠B．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）当BC＝EC时，求证：AC2＝AE•AD；
（3）在（2）的条件下，若BC＝4，AD：AE＝5：9，求⊙O的半径．

【答案】（1）证明：连接OC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠ACO+∠B＝90°，
又∵∠ACD＝∠B，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴DC是⊙O的切线；
（2）解：连接BE．
∵BC＝EC，
∴＝，
∴∠CAB＝∠CBE，
∵四边形CAEB内接于圆，
∴∠CBE+∠CAE＝180°，
又∵∠CAD+∠CAB＝180°，
∴∠CAD＝∠CAE，
又∵∠ACD＝∠B，∠B＝∠AEC，
∴∠ACD＝∠AEC，
∴△ACD∽△AEC，
∴．
∴AC2＝AE•AD；
（3）解：设AD＝5k，AE＝9k，则AC＝3k，
∵△ACD∽△AEC，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝，
∵∠D＝∠D，∠ACD＝∠CBD，
∴△DCA∽△DBC，
∴CD2＝DA•DB，
∵DB＝，
∴AB＝﹣5k，
∵∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴（3k）2+（4）2＝（）2，
整理得：81k4+684k2﹣320＝0，
∴（9k2+80）（9k2﹣4）＝0，
∴k2＝，
∵k＞0，
∴k＝，
∴AB＝10，
∴⊙O的半径为5．

8．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，⊙O过点D，与AB相切于点A，与CD相交于点E，且AB＝DE．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为5，求四边形ABCD的面积．

【答案】解：（1）连接AE，
∵∠D＝90°，
∴AE是⊙O的直径，
过O作OF⊥BC于F，
∵AB是⊙O的切线，
∴∠OAB＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠OAB＝∠B＝∠OFB＝90°，
∴四边形ABFO是矩形，
∴AB＝OF，
∵∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，
∴∠DAB＝120°，
∴∠DAE＝30°，
∴DE＝AE＝AO，
∵AB＝DE，
∴OF＝OA，
∴BC与⊙O相切；
（2）由（1）知，AB＝AO＝5，AE＝10，
过E作EH⊥BC于H，
则BH＝AE＝10，EH＝AB＝5，
∵∠C＝60°，
∴CH＝EH＝，
∴BC＝10+，
在Rt△ADE中，∵DE＝AB＝5，
∴AD＝DE＝5，
∴四边形ABCD的面积＝+（10+10+）×5＝25+．

9．如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，O2A的延长线交⊙O1于点D，点E为AD的中点，AD＝AB，连接O1E．
（1）求证：O1E＝O1C；
（2）如果O1O2＝10，O1E＝6，求AB的长．

【答案】（1）证明：连接O1A，

∵O1E⊥AD，
∴AE＝，
∵⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，
∴O1C⊥AB，
∴AC＝AB，
∵AB＝AD，
∴AE＝AC，
在Rt△O1EA和Rt△O1CA中，
，
∴Rt△O1EA≌Rt△O1CA（HL）
∴O1E＝O1C；
（2）解：设⊙O2的半径长为r，
∵O1E＝O1C＝6，
∴O2C＝10﹣6＝4，
在Rt△O1EO2中，O2E＝＝8，
∵Rt△O1EA≌Rt△O1CA，
∴AC＝AE＝8﹣r，
在Rt△ACO2中，O2A2＝AC2+O2C2，即r2＝（8﹣r）2+42，
解得，r＝5，
∴AC＝8﹣5＝3，
∴AB＝2AC＝6．
10．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．
（1）求证：MD＝MC；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝4，求OD长；
（3）在（2）的基础上求MC长．

【答案】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵CN为⊙O的切线，
∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM＝90°，
∵OM⊥AB，
∴∠OAC+∠ODA＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠ACM＝∠ODA＝∠CDM，
∴MD＝MC；
（2）解：由题意可知AB＝5×2＝10，AC＝4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝2，
∵∠AOD＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△AOD∽△ACB，
∴＝，
即＝，
可得：OD＝2.5，
（3）解：设MC＝MD＝x，
在Rt△OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2＝x2+52，
解得：x＝，
即MC＝．

11．如图1，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是上一点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，连结BD交AC于点G，且AF＝FG．
（1）求证：点D平分；
（2）如图2所示，延长BA至点H，使AH＝AO，连结DH．若点E是线段AO的中点．求证：DH是⊙O的切线．

【答案】证明：（1）如图1，连接AD、BC，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE＝∠ABD，
又∵AF＝FG，即点F是Rt△AGD的斜边AG的中点，
∴DF＝AF，
∴∠DAF＝∠ADF＝∠ABD，
又∵∠DAC＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴＝，
∴即点D平分；
（2）如图2所示，连接OD、AD，
∵点E是线段OA的中点，
∴，
∴∠AOD＝60°，
∴△OAD是等边三角形，
∴AD＝AO＝AH，
∴△ODH是直角三角形，且∠HDO＝90°，
∴DH是⊙O的切线．


12．如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）试证明DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求此时DE的长．

【答案】（1）证明：连接OD、BD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
∵AB＝BC，
∴D为AC中点，
∵OA＝OB，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）由（1）知BD是AC的中线，
∴AD＝CD＝＝3，
∵O的半径为5，
∴AB＝6，
∴BD＝＝＝，
∵AB＝AC，
∴∠A＝∠C，
∵∠ADB＝∠CED＝90°，
∴△CDE∽△ABD，
∴，即＝，
∴DE＝3．

13．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，点C为BM上一点，连接AC与⊙O交于点D，E为⊙O上一点，且满足∠EAC＝∠ACB，连接BD，BE．
（1）求证：∠ABE＝2∠CBD；
（2）过点D作AB的垂线，垂足为F，若AE＝6，BF＝，求⊙O的半径长．

【答案】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即∠DAB+∠DBA＝90°，
∵BM是⊙O的切线，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，即∠CBD+∠DBA＝90°，
∴∠DAB＝∠CBD，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠BAC，
∵∠EAC＝∠ACB，
∴∠EAC＝90°﹣∠BAC
＝90°﹣（∠EAC﹣∠BAE），
∴∠BAE＝2∠EAC﹣90°，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠BAE
＝90°﹣（2∠EAC﹣90°）
＝2（90°﹣∠EAC）
＝2（90°﹣∠ACB）
＝2∠CAB
＝2∠CBD．
∴∠ABE＝2∠CBD；
（2）如图，连接DO并延长交AE于点G，

∵∠DOB＝2∠BAD，
∠ABE＝2∠CAB，
∴∠DOB＝∠ABE，
∴DG∥BE，
∴∠AGO＝∠AEB＝90°，
∴AG＝EG＝AE＝3，
∠AOG＝∠DOF，
OA＝OD，
∴△AOG≌△DOF（AAS）
∴DF＝AG＝3，
又OF＝OB﹣BF＝OD﹣，
在Rt△DOF中，根据勾股定理，得
OD2＝DF2+OF2，
即OD2＝32+（OD﹣）2，
解得OD＝．
答：⊙O的半径长为．
14．如图，AB为⊙O直径，PA、PC分别与⊙O相切于点A、C，PE⊥PA，PE交OC的延长线于点E．
（1）求证：OE＝PE；
（2）连接BC并延长交PE于点D，PA＝AB，且CE＝9，求PE的长．

【答案】（1）证明：连接OP．
∵PA、PC分别与⊙O相切于点A，C
∴PA＝PC，OA⊥PA，
∵OA＝OC，OP＝OP，
∴△OPA≌△OPC（SSS），
∴∠AOP＝∠POC，
∵EP⊥PA，
∴EP∥BA，
∴∠EPO＝∠AOP，
∴∠EOP＝∠EPO，
∴OE＝PE．
（2）设OA＝r．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵OB∥ED，
∴∠EDC＝∠B，
∵∠OCB＝∠ECD，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴EC＝ED＝9，
∵EO＝EP，
∴OC＝DP＝r，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP＝∠PCE＝90°，
在Rt△PCE中，∵PE2＝PC2+EC2，
∴（9+r）2＝92+（2r）2，
解得：r＝6或0（舍弃），
∴PE＝15．

15．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，＝＝，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若直径AB＝6，求AD的长．

【答案】（1）证明：连接OD，
∵＝＝，
∴∠BOD＝180°＝60°，
∵＝，
∴∠EAD＝∠DAB＝BOD＝30°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，
∴∠EDA＝60°，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DAB＝30°，AB＝6，
∴BD＝AB＝3，
∴AD＝＝3．

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）求证：＝．
（3）若sin∠ABC═，AC＝15，求四边形CHQE的面积．

【答案】（1）证明：连接OE，OP，
∵PE⊥AB，点Q为弦EP的中点，
∴AB垂直平分EP，
∴PB＝BE，
∵OE＝OP，OB＝OB，
∴△BEO≌△BPO（SSS），
∴∠BEO＝∠BPO，
∵BP为⊙O的切线，
∴∠BPO＝90°，
∴∠BEO＝90°，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
（2）解：∵∠BEO＝∠ACB＝90°，
∴AC∥OE，
∴∠CAE＝∠OEA，
∵OA＝OE，
∴∠EAO＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠EAO，
∴＝．
（3）解：∵AD为的⊙O直径，点Q为弦EP的中点，
∴EP⊥AB，
∵CG⊥AB，
∴CG∥EP，
∵∠ACB＝∠BEO＝90°，
∴AC∥OE，
∴∠CAE＝∠AEO，
∵OA＝OE，
∴∠EAQ＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠EAO，
∵∠ACE＝∠AQE＝90°，AE＝AE，
∴△ACE≌△AQE（AAS），
∴CE＝QE，
∵∠AEC+∠CAE＝∠EAQ+∠AHG＝90°，
∴∠CEH＝∠AHG，
∵∠AHG＝∠CHE，
∴∠CHE＝∠CEH，
∴CH＝CE，
∴CH＝EQ，
∴四边形CHQE是平行四边形，
∵CH＝CE，
∴四边形CHQE是菱形，
∵sin∠ABC═sin∠ACG═＝，
∵AC＝15，
∴AG＝9，
∴CG＝＝12，
∵△ACE≌△AQE，
∴AQ＝AC＝15，
∴QG＝6，
∵HQ2＝HG2+QG2，
∴HQ2＝（12﹣HQ）2+62，
解得：HQ＝，
∴CH＝HQ＝，
∴四边形CHQE的面积＝CH•GQ＝×6＝45．

17．如图，在三角形ABC中，AB＝10，AC＝BC＝13，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF⊥AC，于点F，交CB的延长线于点E．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求cos∠ADF的值．

【答案】（1）证明：连接OD，CD，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB，
∵AC＝BC，AB＝10，
∴AD＝BD＝5，
∵O为BC中点，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥EF，
∵OD过O，
∴直线DF是⊙O的切线；
（2）∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∠ODF＝90°，
∴∠ADF＝∠ODC，
∴OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠ADF＝∠ODC，
∵BD＝5，BC＝13，
∴CD＝12，
∴cos∠ADF＝cos∠BCD＝＝．