2021中考数学考点专题训练——专题二十五：分式方程(含答案)

这是一份2021中考数学考点专题训练——专题二十五：分式方程(含答案)，共14页。试卷主要包含了列方程，解应用题等内容，欢迎下载使用。
备战2021中考数学考点专题训练——专题二十五：分式方程
1．为加快交通建设，促进经济发展，国家发改委于2015年批准武汉至十堰高铁孝感至十堰段建设，该工程于2015年开工，预计2019年完成并开通运营．原来武汉至十堰动车铁路全长约490km，建成后的高铁路段全长约460km，预测届时从武汉至十堰高铁比动车平均每小时快倍，高铁比动车少用1.5小时，问该段高铁平均每小时多少km？









2．春节即将来临，根据习俗每家每户都会在门口挂红灯笼和贴对联．某商店看准了商机，准备购进一批红灯笼和对联进行销售，已知对联的进价比红灯笼的进价少10元，若用720元购进对联的数量比用720元购进红灯笼的数量多50件．
（1）对联和红灯笼的单价分别为多少？
（2）由于销售火爆，第一批售完后，该商店以相同的进价再购进300幅对联和200个红灯笼，已知对联的销售价格为12元一幅，红灯笼的销售价格为24元一个销售一段时间后发现对联售出了总数的，红灯笼售出了总数的，为了清仓，该店老板决定对剩下的红灯笼和对联以相同的折扣数打折销售，并很快全部售出，问商店最低打几折，才能使总的利润率不低于20%？









3．列方程，解应用题
甲乙两人相约周末到影院看电影，他们的家分别距离影院1200米和2000米，两人分别从家中同时出发，已知甲和乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前4分钟到达影院．
（1）求甲、乙两人的速度？
（2）在看电影时，甲突然接到家长电话让其15分钟内赶回家，时间紧迫改变速度，比来时每分钟多走25米，甲是否能按要求时间到家？



4．甲、乙两辆汽车同时从A地出发，经过C地去B地，已知C地离B地180千米，出发时甲车每小时比乙车多行5千米，因此，乙车经过C地比甲车晚半小时，为赶上甲车，乙车从C地起将车速每小时增加10千米，结果两车同时到达B地．
求：（1）甲、乙两车出发时的速度；
（2）A，B两地间的距离．









5．某超市用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元．
（1）求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？
（2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多60件，求：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具多少件？









6．第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？











7．我市向民族地区的某县赠送一批计算机，首批270台将于近期启运．经与某物流公司联系，得知用A型汽车若干辆刚好装完；用B型汽车不仅可少用1辆，而且有一辆车差30台计算机才装满．
（1）已知B型汽车比A型汽车每辆车可多装15台，求A、B两种型号的汽车各能装计算机多少台？
（2）已知A型汽车的运费是每辆350元，B型汽车的运费是每辆400元．若运送这批计算机同时用这两种型号的汽车，其中B型汽车比A型汽车多用1辆，所用运费比单独用任何一种型号的汽车都要节省，按这种方案需A、B两种型号的汽车各多少辆运费多少元？









8．某公司生产的960件新产品，需要精加工后才能投放市场．现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用20天，而乙工厂每天加工产品是甲工厂每天加工产品的1.5倍，公司需付甲工厂加工费用每天80元，乙工厂费用每天120元．
（1）求甲乙两个工厂每天各能加工多少件产品？
（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家同时合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师每天到厂进行指导，并负担每天5元的午餐补助．
请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．









9．今年入夏以来，河北部分地区旱情严重，为了缓解甲、乙两地旱情，某水库计划向甲、乙两地送水．甲地需水量为180万立方米，乙地需水量为120万立方米，现已两次送水：往甲地送水3天，乙地送水2天，共送水84万立方米；往甲地送水2天，乙地送水3天，共送水81万立方米．问：完成往甲地、乙地送水任务还各需多少天？






10．印刷一张矩形的张贴广告（如图），它的印刷的面积是32dm2，上下空白各1dm，两边空白各0.5dm．设印刷部分从上到下的长是xdm，四周空白处的面积为Sdm2．
（1）求S与x的关系式；
（2）当要求四周空白处的面积为18dm2时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少？










11．某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼的装修工程，如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数；
（2）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙队施工，公司每日需付费用1400元，在规定时间内：A．请甲队单独完成此项工程；B．请乙队单独完成此项工程；C．请甲、乙两队合作完成此项工程，以上三种方案哪一种花钱最少？









12．在抗击“SARS”的过程中，某厂甲、乙两工人按上级指示同时做一批等数量的防护服．开始时，乙比甲每天少做3件，到甲、乙两人都剩下80件时，乙比甲多做了2天，这时，甲保持工作效率不变，乙提高了工作效率后比原来每天多做5件，这样甲、乙两人同时完成了任务．求甲、乙两人原来每天各做多少件防护服？





13．某书店老板去批发市场购买某种图书．第一次购书用100元，按该书定价2.8元出售，并很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高0.5元，用去了150元，所购数量比第一次多10本．当这批书售出时，出现滞销，便以定价5折售完剩余图书．问该店老板第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？赔（或赚）多少钱？









14．“玉树”地震后，某工厂一号车间接到紧急任务，急需为地震灾区生产15000顶帐篷，如果按照一号车间现有的人数和每个工人的生产速度（每个工人的生产速度一样），15天才能完成任务．生产两天后，由于情况紧急，厂领导决定从二号车间调来60名工人一起加入生产，调整后每个工人的生产工作效率都提高了40%．结果提前8天完成任务．求原来一号车间有多少名工人？









15．某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．
（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？
（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量的方案有几种？请你帮助设计出来（工程队分配工程量为正整百数）．










16．小明的爸爸下岗后，自谋职业，做起了经营水果的生意．一天，他先去批发市场，用100元购买甲种水果，用150元购乙种水果，乙种水果比甲种水果多10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价每千克高0.5元，然后到零售市场，按每千克2.80元零售，结果，乙种水果很快售完，甲种水果售出时，出现滞销，他按原零售价的5折售完剩余水果，请你帮小明的爸爸算这一天卖出水果是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少？若赚了，赚了多少？





































参考答案
1．为加快交通建设，促进经济发展，国家发改委于2015年批准武汉至十堰高铁孝感至十堰段建设，该工程于2015年开工，预计2019年完成并开通运营．原来武汉至十堰动车铁路全长约490km，建成后的高铁路段全长约460km，预测届时从武汉至十堰高铁比动车平均每小时快倍，高铁比动车少用1.5小时，问该段高铁平均每小时多少km？
【答案】解：设该段高铁的平均速度为xkm/h，
依题意列方程，，
解得，x＝230，
经检验，x＝230是原方程的根，
答：该段高铁的平均速度230km/h．
2．春节即将来临，根据习俗每家每户都会在门口挂红灯笼和贴对联．某商店看准了商机，准备购进一批红灯笼和对联进行销售，已知对联的进价比红灯笼的进价少10元，若用720元购进对联的数量比用720元购进红灯笼的数量多50件．
（1）对联和红灯笼的单价分别为多少？
（2）由于销售火爆，第一批售完后，该商店以相同的进价再购进300幅对联和200个红灯笼，已知对联的销售价格为12元一幅，红灯笼的销售价格为24元一个销售一段时间后发现对联售出了总数的，红灯笼售出了总数的，为了清仓，该店老板决定对剩下的红灯笼和对联以相同的折扣数打折销售，并很快全部售出，问商店最低打几折，才能使总的利润率不低于20%？
【答案】解：（1）设对联的进货单价为x元/幅，则红灯笼的进货单价为（x+10）元/个，
依题意，得：﹣＝50，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是所列分式方程的解，且符合题意，
∴x+10＝18．
答：对联的进货单价为8元/幅，红灯笼的进货单价为18元/个．
（2）设该店老板决定对剩下的红灯笼和对联打y折销售，
依题意，得：×300×（12﹣8）+×200×（24﹣18）+×300×（12×﹣8）+×200×（24×﹣18）≥（300×8+200×18）×20%，
解得：y≥5．
答：商店最低打5折，才能使总的利润率不低于20%．
3．列方程，解应用题
甲乙两人相约周末到影院看电影，他们的家分别距离影院1200米和2000米，两人分别从家中同时出发，已知甲和乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前4分钟到达影院．
（1）求甲、乙两人的速度？
（2）在看电影时，甲突然接到家长电话让其15分钟内赶回家，时间紧迫改变速度，比来时每分钟多走25米，甲是否能按要求时间到家？
【答案】解：（1）设甲的速度为3x米/分，则乙的速度为4x米/分，
根据题意得：＝4，
解得：x＝25，
经检验，x＝25是分式方程的根，且符合题意，
∴3x＝75，4x＝100．
答：甲的速度是75米/分，乙的速度是100米/分．
（2）∵，
所以甲能按要求时间到家．
4．甲、乙两辆汽车同时从A地出发，经过C地去B地，已知C地离B地180千米，出发时甲车每小时比乙车多行5千米，因此，乙车经过C地比甲车晚半小时，为赶上甲车，乙车从C地起将车速每小时增加10千米，结果两车同时到达B地．
求：（1）甲、乙两车出发时的速度；
（2）A，B两地间的距离．
【答案】解：（1）设出发时甲车的速度为x千米/小时，乙车的速度为（x﹣5）千米/小时，由题意得：
﹣＝，
整理得x2+5x﹣1800＝0．
解得x1＝﹣45，x2＝40，
经检验，都是原方程的根，但x＝﹣45不合题意，舍去，
则x﹣5＝35．
答：出发时甲车的速度为40千米/小时，乙车的速度为35千米/小时；

（2）设A，B两地距离为y千米，则
﹣＝，
解得y＝320．
答：A，B两地间的距离为320千米．
5．某超市用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元．
（1）求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？
（2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多60件，求：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具多少件？
【答案】解：（1）设甲种玩具的进货单价为x元，则乙种玩具的进价为（x﹣1）元，
根据题意得：＝×，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，
∴x﹣1＝5．
答：甲种玩具的进货单价6元，则乙种玩具的进价为5元．

（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（2y+60）件，
根据题意得：6y+5（2y+60）≤2100，
解得：y≤112，
∵y为整数，
∴y最大值＝112
答：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具112件．
6．第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？
【答案】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，
由题意得：﹣＝140，
解得：x＝4，
经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意，
15×4＝60，
答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．
7．我市向民族地区的某县赠送一批计算机，首批270台将于近期启运．经与某物流公司联系，得知用A型汽车若干辆刚好装完；用B型汽车不仅可少用1辆，而且有一辆车差30台计算机才装满．
（1）已知B型汽车比A型汽车每辆车可多装15台，求A、B两种型号的汽车各能装计算机多少台？
（2）已知A型汽车的运费是每辆350元，B型汽车的运费是每辆400元．若运送这批计算机同时用这两种型号的汽车，其中B型汽车比A型汽车多用1辆，所用运费比单独用任何一种型号的汽车都要节省，按这种方案需A、B两种型号的汽车各多少辆运费多少元？
【答案】解：（1）设A型汽车每辆可装计算机x台，则B型汽车每辆可装计算机（x+15）台．
依题意得：＝+1．
解得：x＝45，x＝﹣90（舍去）．
经检验：x＝45是原方程的解．
∴x+15＝60．
答：A型汽车每辆可装计算机45台，B型汽车每辆可装计算机60台．

（2）由（1）知．
若单独用A型汽车运送，需6辆，运费为2100元；
若单独用B型汽车运送，需车5辆，运费为2000元．
若按这种方案需同时用A，B两种型号的汽车运送，设需要用A型汽车y辆，则需B型汽车（y+1）辆．根据题意可得：350y+400（y+1）＜2000．
解得：y＜．
因汽车辆数为正整数．∴y＝1或2．
当y＝1时，y+1＝2．则45×1+60×2＝165＜270．不同题意．
当y＝2时，y+1＝3．则45×2+60×3＝270．符合题意．
此时运费为350×2+400×3＝1900元．
答：需要用A型汽车2辆，则需B型汽车3辆．运费1900元．
8．某公司生产的960件新产品，需要精加工后才能投放市场．现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用20天，而乙工厂每天加工产品是甲工厂每天加工产品的1.5倍，公司需付甲工厂加工费用每天80元，乙工厂费用每天120元．
（1）求甲乙两个工厂每天各能加工多少件产品？
（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家同时合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师每天到厂进行指导，并负担每天5元的午餐补助．
请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．
【答案】解：（1）设甲工厂每天能加工x件产品，则乙工厂每天能加工1.5x件产品．
依题意得：．
解得：x＝16．
检验：x＝16是原方程的一个解．
答：甲工厂每天能加工16件，乙工厂每天能加工24件．

（2）甲工厂单独完成需960÷16＝60（天），所需费用为80×60+5×60＝5100（元）
乙工厂单独完成需960÷24＝40（天），所需费用为120×40+5×40＝5000（元）
设他们合作完成这批新产品所用时为y天．
则：（+）×y＝1．
解得：y＝24．
所需费用为（80+120）×24+5×24＝4920（元）．
答：通过比较，选择甲、乙两家工厂合作完成这批产品比较合适．
9．今年入夏以来，河北部分地区旱情严重，为了缓解甲、乙两地旱情，某水库计划向甲、乙两地送水．甲地需水量为180万立方米，乙地需水量为120万立方米，现已两次送水：往甲地送水3天，乙地送水2天，共送水84万立方米；往甲地送水2天，乙地送水3天，共送水81万立方米．问：完成往甲地、乙地送水任务还各需多少天？
【答案】解：设往甲每天送水x万立方米．
由题意得：．
解得：x＝18．
经检验：x＝18是原方程的解．
甲送水共用了180÷18＝10天，那么甲还需10﹣3﹣2＝5天．
乙的送水效率为：（84﹣18×3）÷2＝15万立方米/天．
乙还需的天数为：120÷15﹣3﹣2＝3天．
答：完成往甲地送水任务还需5天，完成往乙地送水任务还需3天．
10．印刷一张矩形的张贴广告（如图），它的印刷的面积是32dm2，上下空白各1dm，两边空白各0.5dm．设印刷部分从上到下的长是xdm，四周空白处的面积为Sdm2．
（1）求S与x的关系式；
（2）当要求四周空白处的面积为18dm2时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少？

【答案】解：（1）因为印刷部分的面积是32dm2，印刷部分从上到下的长是xdm，
则印刷部分从左到右的宽是dm．
因此有S+32＝（+0.5×2）（x+2）；
∴S＝x++2；

（2）根据题意有x++2＝18．
整理得x2﹣16x+64＝0，
解得x＝8，
经检验x＝8是原方程的解，所以这张广告纸的长为x+2＝10（dm），宽为+1＝5（dm）．
答：用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是10dm，5dm．
11．某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼的装修工程，如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数；
（2）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙队施工，公司每日需付费用1400元，在规定时间内：A．请甲队单独完成此项工程；B．请乙队单独完成此项工程；C．请甲、乙两队合作完成此项工程，以上三种方案哪一种花钱最少？
【答案】解：（1）设乙队单独完成此项工程需用x天．依题意得（1分）
（4分）
去分母，整理得x2﹣34x+120＝0（5分）
解这个方程得x1＝4，x2＝30（6分）
经检验，知x1＝4，x2＝30都是原方程的解
因为x＝4不合题意，所以只取x＝30
所以单独完成此项工程甲队需20天，乙队需30天；（7分）

（2）因为，请甲队需2000×20＝40000元，（8分）
请乙队需1400×30＝42000元，（9分）
请甲、乙两队合作需（2000+1400）×12＝40800元，
所以单独请甲队完成此项工程花钱最少．
12．在抗击“SARS”的过程中，某厂甲、乙两工人按上级指示同时做一批等数量的防护服．开始时，乙比甲每天少做3件，到甲、乙两人都剩下80件时，乙比甲多做了2天，这时，甲保持工作效率不变，乙提高了工作效率后比原来每天多做5件，这样甲、乙两人同时完成了任务．求甲、乙两人原来每天各做多少件防护服？
【答案】解：设甲原来每天做x件，则乙原来每天做（x﹣3）件，提高效率后每天做（x﹣3）+5＝（x+2）件，（1分）
根据题意，得（4分）
去分母，整理，得x2+2x﹣80＝0（5分）
解这个方程，得x1＝8，x2＝﹣10（7分）
经检验x1＝8，x2＝﹣10都是原方程的根，但负数不合题意，
∴只取x＝8，∴x﹣3＝5
答：甲原来每天做8件防护服，乙原来每天做5件防护服．（8分）
13．某书店老板去批发市场购买某种图书．第一次购书用100元，按该书定价2.8元出售，并很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高0.5元，用去了150元，所购数量比第一次多10本．当这批书售出时，出现滞销，便以定价5折售完剩余图书．问该店老板第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？赔（或赚）多少钱？
【答案】解：设第二次购书x本，则第一次购书（x﹣10）本，依题意得：
，
化简整理后，得x2﹣110x+3000＝0，
解之得x1＝50，x2＝60，
经检验，x1＝50，x2＝60都是所列方程的根，
当x＝50时，每本书的批发价为150÷50＝3（元），高于书的定价，不合题意舍去，
当x＝60时，符合题意，故第二次购书60本．
（60××2.8+60××2.8×）﹣150＝151.2﹣150＝1.2（元）
答：该店老板第二次售书赚钱了，赚了1.2元．
14．“玉树”地震后，某工厂一号车间接到紧急任务，急需为地震灾区生产15000顶帐篷，如果按照一号车间现有的人数和每个工人的生产速度（每个工人的生产速度一样），15天才能完成任务．生产两天后，由于情况紧急，厂领导决定从二号车间调来60名工人一起加入生产，调整后每个工人的生产工作效率都提高了40%．结果提前8天完成任务．求原来一号车间有多少名工人？
【答案】解：设原来一号车间有x名工人，依题意得：
，
化简得：
解之得：x＝70
经检验：x＝70是原方程的根．
答：原来一号车间有70名工人．
15．某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．
（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？
（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量的方案有几种？请你帮助设计出来（工程队分配工程量为正整百数）．
【答案】解：（1）设甲工程队每天能铺设x米，则乙工程队每天能铺设（x﹣20）米．
根据题意得：，
即350（x﹣20）＝250x，
∴7x﹣140＝5x
解得x＝70．
经检验，x＝70是原分式方程的解，且符合题意，
乙工程队每天能铺设：x﹣20＝70﹣20＝50米．
答：甲、乙工程队每天分别能铺设70米和50米．

（2）设分配给甲工程队y米，则分配给乙工程队（1000﹣y）米．
由题意，得
，
解得500≤y≤700．
所以分配方案有3种：
方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米；
方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米；
方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米．
16．小明的爸爸下岗后，自谋职业，做起了经营水果的生意．一天，他先去批发市场，用100元购买甲种水果，用150元购乙种水果，乙种水果比甲种水果多10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价每千克高0.5元，然后到零售市场，按每千克2.80元零售，结果，乙种水果很快售完，甲种水果售出时，出现滞销，他按原零售价的5折售完剩余水果，请你帮小明的爸爸算这一天卖出水果是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少？若赚了，赚了多少？
【答案】解：设甲种水果批发价为x元/千克，则乙种水果的批发价为（x+0.5）元/千克．
由题意得+10＝，
整理得：100（x+0.5）+10x（x+0.5）＝150x，
即2x2﹣9x+10＝0，
∴x＝2.5或x＝2，
经检验，x＝2.5或x＝2都是原方程的根，但当x＝2.5时，乙种水果批发价为3元，高于零售价，不合题意，舍去，
∴x＝2．
∴甲种水果赚钱2.8×（）﹣100＝26（元）；
乙种水果赚钱﹣150＝60×2.8﹣150＝18（元）；
两种水果总共赚钱26+18＝44（元）．
答：小明的爸爸共赚钱44元．