2021年九年级中考数学考点专题训练——专题二十六：二次函数(含答案)

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1．平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A'B'OC'．
（1）若抛物线过点C，A，A'，求此抛物线的解析式；
（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A'B'OC'重叠部分△OC'D的周长；
（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时；△AMA'的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），直线y＝h（h为常数，且0＜h＜6）与BC交于点D，与y轴交于点E，与AC交于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AE，求h为何值时，△AEF的面积最大．
（3）已知一定点M（﹣2，0），问：是否存在这样的直线y＝h，使△BDM是等腰三角形？若存在，请求出h的值和点D的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．
（1）求点A，点B，点C的坐标；
（2）求直线BD的解析式；
（3）在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
4．已知，如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为（1，0）、C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？如存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，二次函数y＝ax2+x+c的图象交x轴于A，B（4，0）两点，交y轴于点C（0，2）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为第一象限抛物线上一个动点，PM⊥x轴于点M．交直线BC于点Q，过点C作CN⊥PM于点N．连接PC；
①若△PCQ为以CQ为腰的等腰三角形，求点P的横坐标；
②点G为点N关于PC的对称点，当点G落在坐标轴上时，直接写出点P的坐标．
6．如图，二次函数y＝x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧），与抛物线对称轴交于点D（2，﹣3）．
（1）求b的值；
（2）设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形PBCQ为平行四边形．过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点P'（x1，y1）、Q'（x2，y2）．若|y1﹣y2|＝2，求x1、x2的值．
7．如图，抛物线y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）（a，m为正的常数）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为F，CD∥AB交抛物线于点D．
（1）当a＝1时，求点D的坐标．
（2）若点E是第一象限抛物线上的点，过点E作EM⊥x轴于点M，当OM＝2CD时，求证：∠EAB＝∠ADC．
（3）在（2）的条件下，试探究：在x轴上是否存在点P，使得以PF，AD，AE为边长构成的三角形是以AE为斜边的直角三角形？如果存在，请用含m的代数式表示点P的横坐标；如果不存在，请说明理由．
8．如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得△ACM的周长最小，求点M的坐标；
（3）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标．
9．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，4），在x轴上有一动点D（m，0）（0＜m＜4），过点D作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，
（1）直接写出抛物线和直线AB的函数表达式．
（2）当点C是DE的中点时，求出m的值，并判定四边形ODEB的形状（不要求证明）．
（3）在（2）的条件下，将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD′，旋转角为α（0°＜a＜90°），连接D′A、D′B，求D′A+D′B的最小值．
10．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝﹣ax2+4a与x轴交于A、B两点，顶点C在y轴的正半轴上，且AB＝4OC．
（1）如图①，求抛物线的解析式；
（2）如图②，连接BC，过点A作BC的平行线，交第四象限的抛物线于点D，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，点E在第四象限的抛物线上，过点E作EF⊥AD于点F，直线EF交x轴于点G，过点E作x轴的垂线，垂足为H，点K在EH的延长线上，连接BK，CK，且∠BKC＝45°，若，求点K的坐标．
11．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：
①求PD+PC的最小值；
②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+OQ的最小值．
12．如图，点A（﹣2，0），点C（﹣1，0），点A、C关于原点O的对称点分别为点B、D．线段AB沿y轴向下平移2m（m＞0）个单位长度，得到线段A1B1，抛物线y＝ax2+bx+2过点A1，B1．
（1）当m＝1时，a＝ ；
（2）求a与m之间的关系式；
（3）线段CD沿y轴向下平移2n（n＞0）个单位长度，得到线段C1D1，抛物线y＝ax2+bx+2过点C1，D1．
①a＝ ；（用含n的式子来表示）m与n之间的关系式为 ．
②点P（x，0）在x轴上，当△PC1B1为等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标．
13．如图，已知二次函数y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知△BAC的面积是6．
（1）求a的值；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC．若存在请求出P坐标，若不存在请说明理由．
14．我们把方程（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2称为圆心为（m，n）、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为（1，﹣2）、半径长为3的圆的标准方程是（x﹣1）2+（y+2）2＝9．在平面直角坐标系中，⊙C与轴交于点A，B，且点B的坐标为（8，0），与y轴相切于点D（0，4），过点A，B，D的抛物线的顶点为E．
（1）求⊙C的标准方程；
（2）试判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由．
15．如图，已知双曲线C1：y＝、抛物线C2：y＝x2﹣12，直线l：y＝kx+m．
（Ⅰ）若直线l与抛物线C2有公共点，求+m的最小值；
（Ⅱ）设直线l与双曲线C1的两个交点为A、B，与抛物线C2的两个交点为C、D．是否存在直线l，使得A、B为线段CD的三等分点？若存在，求出直线l的解析式，若不存在，请说明理由．
16．如图，抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，）三点，顶点为D，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点E（x，y）运动时，试求三角形OEB的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值？
（3）在y轴上确定一点M，使点M到D、B两点距离之和d＝MD+MB最小，求点M的坐标．
17．如图，已知抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），且对称轴方程为x＝1
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．
备战2021中考数学考点专题训练——专题二十六：
二次函数参考答案
1．平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A'B'OC'．
（1）若抛物线过点C，A，A'，求此抛物线的解析式；
（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A'B'OC'重叠部分△OC'D的周长；
（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时；△AMA'的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标．
【答案】解：（1）∵▱A′B′O′C′由▱ABOC旋转得到，且A的坐标为（0，3），得
点A′的坐标为（3，0）．
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
将A，A′C的坐标代入，得
，
解得，
抛物线的解析式y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵AB∥OC，
∴∠OAB＝∠AOC＝90°，
∴OB＝＝，
又∠OC′D＝∠OCA＝∠B，∠C′OD＝∠BOA，
∴△C′OD∽△BOA，又OC′＝OC＝1，
∴＝＝，
又△ABO的周长为4+，
∴△C′OD的周长为＝1+．
（3）
作MN⊥x轴交AA′于N点，
设M（m，﹣m2+2m+3），
AA′的解析式为y＝﹣x+3，N点坐标为（m，﹣m+3），MN的长为﹣m2+3m，
S△AMA′＝MN•xA′＝（﹣m2+3m）×3
＝﹣（m2﹣3m）＝﹣（m﹣）2+，
∵0＜m＜3，∴当m＝时，﹣m2+2m+3＝，M（，），
△AMA′的面积有最大值．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），直线y＝h（h为常数，且0＜h＜6）与BC交于点D，与y轴交于点E，与AC交于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AE，求h为何值时，△AEF的面积最大．
（3）已知一定点M（﹣2，0），问：是否存在这样的直线y＝h，使△BDM是等腰三角形？若存在，请求出h的值和点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+6．
（2）∵把x＝0代入y＝﹣x2﹣x+6，得y＝6，
∴点C的坐标为（0，6），
设经过点A和点C的直线的解析式为y＝mx+n，则，
解得 ，
∴经过点A和点C的直线的解析式为：y＝2x+6，
∵点E在直线y＝h上，
∴点E的坐标为（0，h），
∴OE＝h，
∵点F在直线y＝h上，
∴点F的纵坐标为h，
把y＝h代入y＝2x+6，得h＝2x+6，
解得x＝，
∴点F的坐标为（ ，h），
∴EF＝．
∴S△AEF＝•OE•FE＝•h•＝﹣（h﹣3）2+，
∵﹣＜0且0＜h＜6，
∴当h＝3时，△AEF的面积最大，最大面积是 ．
（3）存在符合题意的直线y＝h．
∵B（2，0），C（0，6），
∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+6，设D（m，﹣3m+6）．
①当BM＝BD时，（m﹣2）2+（﹣3m+6）2＝42，
解得m＝或（舍弃），
∴D（，），此时h＝．
②当MD＝BM时，（m+2）2+（﹣3m+6）2＝42，
解得m＝或2（舍弃），
∴D（，），此时h＝．
∵综上所述，存在这样的直线y＝或y＝，使△BDM是等腰三角形，当h＝时，点D的坐标为（，）；当h＝时，点D的坐标为（ ，）．
3．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．
（1）求点A，点B，点C的坐标；
（2）求直线BD的解析式；
（3）在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）当x＝0时，y＝2，即C点坐标为（0，2）；
当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，
即A（﹣1，0），B（4，0）；
（2）∵点D与点C关于x轴对称，
∴D（0，﹣2），设直线BD的解析式为y＝kx+b，
将B、D点坐标代入解析式，得
，解得，
直线BD的解析式为y＝x﹣2；
（3）存在，∵点P的坐标为（m，0），PQ⊥x轴交抛物线于点Q，
设点Q的坐标为（m，﹣m2+m+2），
∵△BDQ是以BD为直角边的直角三角形，
①当∠QBD＝90°时，由勾股定理，得
BQ2+BD2＝DQ2，即（m﹣4）2+（﹣m2+m+2）2+202＝m2+（﹣m2+m+2+2）2，
解得m1＝3，m2＝4（不符合题意，舍），
∴Q（3，2）；
②当∠QDB＝90°时，由勾股定理，得
BQ2＝BD2+DQ2，即（m﹣4）2+（﹣m2+m+2）2＝20+m2+（﹣m2+m+2+2）2，
解得m1＝8，m2＝﹣1，
∴Q（8，﹣18）；Q（﹣1，0），
综上所述：点Q的坐标为（3，2），（8，﹣18），（﹣1，0）．
4．已知，如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为（1，0）、C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？如存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）将点B、C的坐标代入抛物线的解析式得：，
解得：a＝，c＝﹣3．
∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣3
（2）令y＝0，则x2+x﹣3＝0，解得x1＝1，x2＝﹣4
∴A（﹣4，0）、B（1，0）
令x＝0，则y＝﹣3
∴C（0，﹣3）
∴S△ABC＝×AB×OC＝×5×3＝
设D（m，m2+m﹣3）
过点D作DE∥y轴交AC于E．直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，则E（m，﹣m﹣3）
DE＝﹣m﹣3﹣（m2+m﹣3）＝﹣（m+2）2+3
当m＝﹣2时，DE有最大值为3
此时，S△ACD有最大值为×DE×4＝2DE＝6
∴四边形ABCD的面积的最大值为6+＝．
（3）如图所示：
①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形，
∵C（0，﹣3）
∴设P1（x，﹣3）
∴x2+x﹣3＝﹣3
解得x1＝0，x2＝﹣3
∴P1（﹣3，﹣3）；
②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形，
∵C（0，﹣3）
∴设P（x，3），
∴x2+x﹣3＝3，
解得x＝或x＝，
∴P2（，3）或P3（，3）
综上所述存在3个点符合题意，坐标分别是P1（﹣3，﹣3）或P2（，3）或P3（，3）．
5．如图，二次函数y＝ax2+x+c的图象交x轴于A，B（4，0）两点，交y轴于点C（0，2）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为第一象限抛物线上一个动点，PM⊥x轴于点M．交直线BC于点Q，过点C作CN⊥PM于点N．连接PC；
①若△PCQ为以CQ为腰的等腰三角形，求点P的横坐标；
②点G为点N关于PC的对称点，当点G落在坐标轴上时，直接写出点P的坐标．
【答案】解：（1）∵直线y＝﹣x+2经过B，C，
∴B（4，0），C（0，2），
∵抛物线y＝ax2+x+c交x轴于点A，交y轴于点C，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）∵点P在抛物线在第一象限内的图象上，点P的横坐标为m，
∴0＜m＜4，P（m，﹣m2+m+2），
①∵PM⊥x轴，交直线y＝﹣x+2于点Q，
∴Q（m，﹣m+2），
∴PQ＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，
∵PD∥CO，
∴，
∴CQ＝＝m，
当PQ＝CQ时，﹣m2+2m＝m，
解得m1＝4﹣，m2＝0（舍去）；
当PC＝CQ时，PM+QM＝2CO，
即（﹣m2+m+2）+（﹣m+2）＝2×2，
∴﹣m2+m＝0，
解得m1＝2，m2＝0（舍去）；
综上，当△PCQ是等腰三角形时，m的值为m＝4﹣，2；
②存在，理由如下：
当点N'落在坐标轴上时，存在两种情形：
如图1，当点N'落在y轴上时，点P（m，﹣m2+m+2）在直线y＝x+2上，
∴﹣m2+m+2＝m+2，
解得m1＝1，m2＝0（舍去），
∴P（1，3）；
如图2，当点N'落在x轴上时，△CON'∽△N'DP，
∴，
∴，
∵PN＝2﹣（﹣m2+m+2）＝m（m﹣3），
∴N'M＝＝m﹣3，
∴ON'＝OM﹣MN＝m﹣（m﹣3）＝3，
在△CON'中，CN'＝＝，
∴m＝，
则P（，），
综上所述，当点N′落在坐标轴上时，点P的坐标为（1，3）或（，）．
6．如图，二次函数y＝x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧），与抛物线对称轴交于点D（2，﹣3）．
（1）求b的值；
（2）设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形PBCQ为平行四边形．过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点P'（x1，y1）、Q'（x2，y2）．若|y1﹣y2|＝2，求x1、x2的值．
【答案】解：（1）直线与抛物线的对称轴交于点D（2，﹣3），
故抛物线的对称轴为x＝2，即b＝2，解得：b＝﹣4，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x；
（2）把y＝﹣3代入y＝x2﹣4x并解得x＝1或3，
故点B、C的坐标分别为（1，﹣3）、（3，﹣3），则BC＝2，
∵四边形PBCQ为平行四边形，
∴PQ＝BC＝2，故x2﹣x1＝2，
又∵y1＝x12﹣4x1，y2＝x22﹣4x2，|y1﹣y2|＝2，
故|（x12﹣4x1）﹣（x22﹣4x2）＝2，|x1+x2﹣4|＝1．
∴x1+x2＝5或x1+x2＝﹣3，
由，解得；
由，解得．
7．如图，抛物线y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）（a，m为正的常数）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为F，CD∥AB交抛物线于点D．
（1）当a＝1时，求点D的坐标．
（2）若点E是第一象限抛物线上的点，过点E作EM⊥x轴于点M，当OM＝2CD时，求证：∠EAB＝∠ADC．
（3）在（2）的条件下，试探究：在x轴上是否存在点P，使得以PF，AD，AE为边长构成的三角形是以AE为斜边的直角三角形？如果存在，请用含m的代数式表示点P的横坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）当a＝1时，y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）＝x2﹣2mx﹣3m2，
∵与y轴交于点C（0，﹣3），
∴﹣3m2＝﹣3，
解得：m＝±1，
∵m＞0，
∴m＝1，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∵CD∥AB，
∴C，D关于直线x＝1对称，
∴D点坐标为：（2，﹣3）；
（2）如图，过点A作AN⊥CD交CD的延长线于N，
对于y＝a（x2﹣2mx﹣3m2），
当y＝0，则0＝a（x2﹣2mx﹣3m2），
解得：x1＝﹣m，x2＝3m，
当x＝0，y＝﹣3am2，
可得：A（﹣m，0），B（3m，0），C（0，﹣3am2），
∵点C，点D关于对称轴直线x＝m对称，
∴点D（2m，﹣3am2）
∴CD＝2m，
∵OM＝2CD＝4m，
∴点E横坐标为4m，
∴点E坐标（4m，5am2），
∵A（﹣m，0），B（3m，0），C（0，﹣3am2），点E坐标（4m，5am2），点D（2m，﹣3am2），
∴AM＝5m，EM＝5am2，DN＝3m，AN＝3am2，
∵tan∠EAB＝＝am，tan∠ADC＝＝am，
∴tan∠EAB＝tan∠ADC
∴∠EAB＝∠ADC；
（3）存在，理由：
当x＝m时，y＝a（m2﹣2m2﹣3m2）＝﹣4am2，
∴F（m，﹣4am2），
∵A（﹣m，0），点E坐标（4m，5am2），点D（2m，﹣3am2），
设P（b，0），
∴PF2＝（m﹣b）2+16（am2）2，AD2＝9m2+9（am2）2，AE2＝25m2+25（am2）2，
∴（m﹣b）2+9m2＝25m2，
解得：b1＝﹣3m，b2＝5m
∴P（﹣3m，0）或（5m，0）．
8．如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得△ACM的周长最小，求点M的坐标；
（3）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标．
【答案】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为；y＝﹣x2+2x+3；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，3），对称轴为：x＝1，
根据抛物线的对称性知点A关于对称轴的对称点为点B，连接BC交对称轴于点M，则点M为所求，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3；
当x＝1，y＝﹣1+3＝2，
故点M（1，2）；
故△ACM的周长最小时点M的坐标为：（1，2）；
（3）当点P的横坐标为﹣时，点Q横坐标为：，
故点P的坐标为：（﹣，），点Q（，﹣），
将点P、Q的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：，
解得：，
故直线PQ的表达式为：y＝﹣x+，
如图②过点D作DE∥y轴交直线PQ与点E，设点D（x，﹣x2+2x+3），
则点E（x，﹣x+），则DE＝﹣x2+2x+3+x﹣＝﹣x2+3x+，
△DPQ面积S＝×DE×（xQ﹣xP）4＝﹣2x2+6x+＝﹣2（x﹣）2+8，
∵﹣2＜0，
∴S有最大值，最大值为8，此时，点D（，）．
9．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，4），在x轴上有一动点D（m，0）（0＜m＜4），过点D作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，
（1）直接写出抛物线和直线AB的函数表达式．
（2）当点C是DE的中点时，求出m的值，并判定四边形ODEB的形状（不要求证明）．
（3）在（2）的条件下，将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD′，旋转角为α（0°＜a＜90°），连接D′A、D′B，求D′A+D′B的最小值．
【答案】解：（1）将点B、A的坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得，
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣．
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4；
（2）∵过点D（m，0）（0＜m＜4）作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，
∴E（m，），C（m，﹣m+4）．
∴EC＝＝．
∵点C是DE的中点，
∴．
解得：m＝2，m＝4（舍去）．
∴ED＝OB＝4，
∴四边形ODEB为矩形．
（3）如图，由（2）可知D（2，0），在y轴上 取一点M′使得OM′＝1，连接AM′，在AM′上取一点D′使得OD′＝OD．
∵OD′＝2，OM′•OB＝1×4＝4，
∴OD′2＝OM′•OB，
∴，
∵∠BOD′＝∠M′OD′，
∴△M′OD′∽△D′OB，
∴．
∴．
∴D′A+D′B＝D′A+M′D′＝AM′，此时D′A+D′B最小（两点间线段最短，A、M′、D′共线时），
∴D′A+D′B的最小值＝AM′＝＝．
10．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝﹣ax2+4a与x轴交于A、B两点，顶点C在y轴的正半轴上，且AB＝4OC．
（1）如图①，求抛物线的解析式；
（2）如图②，连接BC，过点A作BC的平行线，交第四象限的抛物线于点D，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，点E在第四象限的抛物线上，过点E作EF⊥AD于点F，直线EF交x轴于点G，过点E作x轴的垂线，垂足为H，点K在EH的延长线上，连接BK，CK，且∠BKC＝45°，若，求点K的坐标．
【答案】解：（1）y＝﹣ax2+4a＝﹣a（x2﹣4），
∴A（﹣2，0），B（2，0），
∴AB＝4，
∵AB＝4OC，
∴OC＝1，
∴C（0，1），
∴a＝，
∴函数解析式为y＝﹣x2+1；
（2）直线BC的解析式为y＝﹣x+1，
∴AD 直线解析式为y＝﹣x﹣1，
∴﹣x﹣1＝﹣x2+1，
解得x＝4或x＝﹣2，
∵D点在第四象限，
∴D（4，﹣3）；
（3）设E（m，﹣m2+1），
∵EF⊥AD，
∴EF的解析式为y＝2x﹣m2+1﹣2m，
∴2x﹣m2+1﹣2m＝﹣x﹣1，
∴x＝m2+m﹣，
∴F（m2+m﹣，﹣m2﹣m﹣），
∵，
∴＝，
∴＝，
∴m＝3或m＝﹣2，
∵点E在第四象限，
∴E（3，﹣），
∴K点横坐标为3，
∴CK＝1，
∵∠BKC＝45°，
∴当AC⊥CK时，AC＝CK，
∴K（3，2）．
11．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：
①求PD+PC的最小值；
②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+OQ的最小值．
【答案】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，
即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由抛物线的表达式得，点M（﹣1，4），点N（0，3），
则tan∠MAC＝＝2，
则设直线AM的表达式为：y＝2x+b，
将点A的坐标代入上式并解得：b＝6，
故直线AM的表达式为：y＝2x+6，
∵∠EFD＝∠DHA＝90°，∠EDF＝∠ADH，
∴∠MAC＝∠DEF，则tan∠DEF＝2，则cs∠DEF＝，
设点E（x，﹣x2﹣2x+3），则点D（x，2x+6），
则FE＝EDcs∠DEF＝（﹣x2﹣2x+3﹣2x﹣6）×＝（﹣x2﹣4x﹣3），
∵﹣＜0，故EF有最大值，此时x＝﹣2，故点D（﹣2，2）；
①点C（﹣1，0）关于y轴的对称点为点B（1，0），连接BD交y轴于点P，则点P为所求点，
PD+PC＝PD+PB＝DB为最小，
则BD＝＝；
②过点O作直线OK，使sin∠NOK＝，过点D作DK⊥OK于点K，交y轴于点Q，则点Q为所求点，
DQ+OQ＝DQ+QK＝DK为最小值，
则直线OK的表达式为：y＝x，
∵DK⊥OK，故设直线DK的表达式为：y＝﹣x+b，
将点D的坐标代入上式并解得：b＝2﹣，
则直线DK的表达式为：y＝﹣x+2﹣，
故点Q（0，2﹣），
由直线KD的表达式知，QD与x负半轴的夹角（设为α）的正切值为，则csα＝，
则DQ＝＝＝，而OQ＝（2﹣），
则DQ+OQ为最小值＝+（2﹣）＝．
12．如图，点A（﹣2，0），点C（﹣1，0），点A、C关于原点O的对称点分别为点B、D．线段AB沿y轴向下平移2m（m＞0）个单位长度，得到线段A1B1，抛物线y＝ax2+bx+2过点A1，B1．
（1）当m＝1时，a＝ ；
（2）求a与m之间的关系式；
（3）线段CD沿y轴向下平移2n（n＞0）个单位长度，得到线段C1D1，抛物线y＝ax2+bx+2过点C1，D1．
①a＝ ；（用含n的式子来表示）m与n之间的关系式为 ．
②点P（x，0）在x轴上，当△PC1B1为等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标．
【答案】解：（1）点A、C关于原点O的对称点分别为点B、D，则点B、D的坐标分别为（2，0）、（1，0），
则平移后A1、B1的坐标分别为（﹣2，﹣2m）、（2，﹣2m），则，
∴4a+4＝﹣4m，
∴a＝﹣m﹣1，
当m＝1时，a＝﹣2，
故答案为﹣2；
（2）由（1）得：a＝﹣m﹣1，
（3）①平移后点C1、D1的坐标分别为（﹣1，﹣2n）、（1，﹣2n），则，
解得：a＝﹣2n﹣2，而a＝﹣m﹣1，
故m＝2n+1，
故答案为：﹣2n﹣2；m＝2n+1；
②平移后点B1的坐标为（2，﹣2m），即（2，﹣4n﹣2），而点C1（﹣1，﹣2n），
（Ⅰ）当∠B1PC1为直角时，如图1，
连接BB1、CC1，
∵∠CPC1+∠BPB1＝90°，∠CPC1+∠CC1P＝90°，
∴∠BPB1＝∠CC1P，
而PB1＝PC1，∠PCC1＝∠B1BP＝90°，
∴△PCC1≌△B1BP（AAS），
∴CC1＝PB，BB1＝PC，
即2n＝2﹣x且x+1＝4n+2，解得：x＝，
故点P的坐标为（，0）；
（Ⅱ）当∠C1B1P为直角时，过C1作C1M⊥A1B1，过点P作PN⊥A1B1交A1B1的延长线于点N，
同理可得：△C1MB1≌△B1NP（AAS），
∴MC1＝B1N且MB1＝PN，
即2n+2＝x﹣2且4n+2＝3，解得：x＝；
（Ⅲ）当∠B1C1P为直角时，简图如图3，
过点C1作C1M⊥x轴，过点B1作x轴的平行线交MC1的延长线于点N，
同理可得：△PMC1≌△C1NB1（AAS），
∴PM＝C1N，C1M＝NB1，
即x+1＝2n+2，2n＝3，
解得：x＝4，故点P（4，0）；
综上，点P的坐标为（，0）或（4，0）或（，0）．
13．如图，已知二次函数y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知△BAC的面积是6．
（1）求a的值；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC．若存在请求出P坐标，若不存在请说明理由．
【答案】解：（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，
令x＝0，则y＝﹣a，
∴C（0，﹣a），
令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0
解得x1＝a，x2＝1
由图象知：a＜0
∴A（a，0），B（1，0）
∵S△ABC＝6
∴（1﹣a）（﹣a）＝6
解得：a＝﹣3，（a＝4舍去）；
（2）∵a＝﹣3，
∴C（0，3），
∵S△ABP＝S△ABC．
∴P点的纵坐标为±3，
把y＝3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝3，解得x＝0或x＝﹣2，
把y＝﹣3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝﹣3，解得x＝﹣1+或x＝﹣1﹣，
∴P点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）．
14．我们把方程（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2称为圆心为（m，n）、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为（1，﹣2）、半径长为3的圆的标准方程是（x﹣1）2+（y+2）2＝9．在平面直角坐标系中，⊙C与轴交于点A，B，且点B的坐标为（8，0），与y轴相切于点D（0，4），过点A，B，D的抛物线的顶点为E．
（1）求⊙C的标准方程；
（2）试判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由．
【答案】解：（1）如图，连接CD，CB，过点C作CM⊥AB于M．设⊙C的半径为r．
∵与y轴相切于点D（0，4），
∴CD⊥OD，
∵∠CDO＝∠CMO＝∠DOM＝90°，
∴四边形ODCM是矩形，
∴CM＝OD＝4，CD＝OM＝r，
∵B（8，0），
∴OB＝8，
∴BM＝8﹣r，
在Rt△CMB中，∵BC2＝CM2+BM2，
∴r2＝42+（8﹣r）2，
解得r＝5，
∴C（5，4），
∴⊙C的标准方程为（x﹣5）2+（y﹣4）2＝25．
（2）结论：AE是⊙C的切线．
理由：连接AC，CE．
∵CM⊥AB，
∴AM＝BM＝3，
∴A（2，0），B（8，0）
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣8），
把D（0，4）代入y＝a（x﹣2）（x﹣8），可得a＝，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）（x﹣8）＝x2﹣x+4＝（x﹣5）2﹣，
∴抛物线的顶点E（5，﹣），
∵AE＝＝，CE＝4+＝，AC＝5，
∴EC2＝AC2+AE2，
∴∠CAE＝90°，
∴CA⊥AE，
∴AE是⊙C的切线．
15．如图，已知双曲线C1：y＝、抛物线C2：y＝x2﹣12，直线l：y＝kx+m．
（Ⅰ）若直线l与抛物线C2有公共点，求+m的最小值；
（Ⅱ）设直线l与双曲线C1的两个交点为A、B，与抛物线C2的两个交点为C、D．是否存在直线l，使得A、B为线段CD的三等分点？若存在，求出直线l的解析式，若不存在，请说明理由．
【答案】解：（Ⅰ）∵直线l与抛物线C2有公共点，
∴联立，得x2﹣kx﹣m﹣12＝0，
∴△＝k2+4m+48≥0，
∴，
∴的最小值为﹣12；
（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），显然k≠0，
联立，得kx2+mx﹣1＝0，
则，
联立，得x2﹣kx﹣m﹣12＝0，
则x3+x4＝k，x3x4＝﹣m﹣12，
若A、B为线段CD的三等分点，则线段AB与CD的中点重合，且|CD|＝3|AB|，
则，即m＝﹣k2，
且|x3﹣x4|＝3|x1﹣x2|，即，
将m＝﹣k2代入上式并化简得k3﹣4k+3＝0，
解得k＝1或，对应的m＝﹣1或，经检验均符合题意．
故直线l的解析式为y＝x﹣1或或．
16．如图，抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，）三点，顶点为D，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点E（x，y）运动时，试求三角形OEB的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值？
（3）在y轴上确定一点M，使点M到D、B两点距离之和d＝MD+MB最小，求点M的坐标．
【答案】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，则
，解得：．
故抛物线解析式为y＝x2﹣4x+．
（2）过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，如图1所示．
E点坐标为（x，x2﹣4x+），F点的坐标为（x，0），
∴EF＝0﹣（x2﹣4x+）＝﹣x2+4x﹣．
∵点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，
∴1＜x＜5．
三角形OEB的面积S＝OB•EF＝×5×（﹣x2+4x﹣）＝﹣（x﹣3）2+（1＜x＜5）．
当x＝3时，S有最大值．
（3）作点D关于y轴的对称点D′，连接BD′，如图2所示．
∵抛物线解析式为y＝x2﹣4x+＝（x﹣3）2﹣，
∴D点的坐标为（3，﹣），
∴D′点的坐标为（﹣3，﹣）．
由对称的特性可知，MD＝MD′，
∴MB+MD＝MB+MD′，
当B、M、D′三点共线时，MB+MD′最小．
设直线BD′的解析式为y＝kx+b，则
，解得：，
∴直线BD′的解析式为y＝x﹣．
当x＝0时，y＝﹣，
∴点M的坐标为（0，﹣）．
17．如图，已知抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），且对称轴方程为x＝1
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．
【答案】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴方程为x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（3，0）．
（2）∵抛物线与y轴交于点C（0，3），
∴设抛物线解析式为 y＝ax2+bx+3（a不等于0），
根据题意，得 a﹣b+3＝0 9a+3b+3＝0 解得 a＝﹣1，b＝2，
∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2+2x+3；
（3）存在，由y＝﹣x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1，
①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为（x，y）根据勾股定理得x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2 即y＝4﹣x 又P点（x，y）在抛物线上，
∴4﹣x＝﹣x2+2x+3，即 x2﹣3x+1＝0 解得 x＝，
＜1 （舍去），
∴x＝，
∴y＝4﹣x＝，
即点P坐标为 （，）
②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，
由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为（2，3），
∴符合条件的点P坐标为（，） 或（2，3）；
（4）由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理，得CB＝，CD＝，BD＝
∴CD2+CB2＝BD2＝20，
∴∠BCD＝90°，
设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中，
∵CF＝DF＝1，
∴∠CDF＝45°，
由抛物线对称性可知，∠CDM＝2×45°＝90°，点坐标M为（2，3），
∴DM∥BC，
∴四边形BCDM为直角梯形由∠BCD＝90°及题意可知以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况；以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在．