2021年九年级中考数学考点训练——几何专题：《圆的综合》(一)及答案

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1．对于平面内⊙C和⊙C外一点P，若过点P的直线l与⊙C有两个不同的公共点M，N，点Q为直线l上的另一点，且满足（如图1所示），则称点Q是点P关于⊙O的密切点．
已知在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点P（4，0）．
（1）在点D（﹣2，1），E（1，0），F（3，）中，是点P关于⊙O的密切点的为 ．
（2）设直线l方程为y＝kx+b，如图2所示，
①k＝﹣时，求出点P关于O的密切点Q的坐标；
②⊙T的圆心为T（t，0），半径为2，若⊙T上存在点P关于⊙O的密切点，直接写出t的取值范围．
2．A，B是⊙C上的两个点，点P在⊙C的内部．若∠APB为直角，则称∠APB为AB关于⊙C的内直角，特别地，当圆心C在∠APB边（含顶点）上时，称∠APB为AB关于⊙C的最佳内直角．如图1，∠AMB是AB关于⊙C的内直角，∠ANB是AB关于⊙C的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy中．
（1）如图2，⊙O的半径为5，A（0，﹣5），B（4，3）是⊙O上两点．
①已知P1（1，0），P2（0，3），P3（﹣2，1），在∠AP1B，∠AP2B，∠AP3B，中，是AB关于⊙O的内直角的是 ；
②若在直线y＝2x+b上存在一点P，使得∠APB是AB关于⊙O的内直角，求b的取值范围．
（2）点E是以T（t，0）为圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙T与x轴交于点D（点D在点T的右边）．现有点M（1，0），N（0，n），对于线段MN上每一点H，都存在点T，使∠DHE是DE关于⊙T的最佳内直角，请直接写出n的最大值，以及n取得最大值时t的取值范围．
3．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连结AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”．
（1）如图2，△ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”．
（2）△ABC中，BC＝9，tanB＝，tanC＝，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长．
（3）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，OH⊥AB于点H，连结CH并延长交⊙O于点D．
①求证：点H是△BCD中CD边上的“好点”．
②若⊙O的半径为9，∠ABD＝90°，OH＝6，请直接写出的值．
4．如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB为直径，点C是弧AD的中点，连接OC，BC分别交AD于点F，E．
（1）求证：∠ABD＝2∠C．
（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，8），B（6，0），C（0，3），点D从点A运动到点B停止，连接CD，以CD长为直径作⊙P．
（1）若△ACD∽△AOB，求⊙P的半径；
（2）当⊙P与AB相切时，求△POB的面积；
（3）连接AP、BP，在整个运动过程中，△PAB的面积是否为定值，如果是，请直接写出面积的定值，如果不是，请说明理由．
6．如图，已知Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝6．边长为4的等边△DEF沿射线AC运动（A、D、E、C四点共线）．当等边△DEF的边DF、EF与Rt△ABC的边AB分别相交于点M、N（M、N不与A、B重合）时，设AD＝x．
（1）则△FMN的形状是 ，△ADM的形状是 ；
（2）△ABC与△DEF重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出的取值范围；
（3）若以点M为圆心，MN为半径的圆与边AC、EF同时相切，求此时MN的长．
7．如图，以点O为圆心，OE为半径作优弧EF，连接OE，OF，且OE＝3，∠EOF＝120°，在弧EF上任意取点A，B（点B在点A的顺时针方向）且使AB＝2，以AB为边向弧内作正三角形ABC．
（1）发现：不论点A在弧上什么位置，点C与点O的距离不变，点C与点O的距离是 ；点C到直线EF的最大距离是 ．
（2）思考：当点B在直线OE上时，求点C到OE的距离，在备用图1中画出示意图，并写出计算过程．
（3）探究：当BC与OE垂直或平行时，直接写出点C到OE的距离．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，2），点M从点A出发沿x轴负方向以每秒3cm的速度移动，同时点N从原点出发沿y轴正方向以每秒1cm的速度移动．设移动的时间为t秒．
（1）若点M在线段OA上，试问当t为何值时，△ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似？
（2）若直线y＝x与△OMN外接圆的另一个交点是点C．
①试说明：当0＜t＜2时，OM、ON、OC在移动过程满足OM+ON＝OC；
②试探究：当t＞2时，OM、ON、OC之间的数量关系是否发生变化，并说明理由．
9．如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．
（1）求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；
（2）求证：CD平分∠ACB；
（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求证：BO2+OF2＝EF•BF．
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2．AD⊥BC于D．E为边BC上的一个（不与B、C重合）点，且AE⊥EF于E，∠EAF＝∠B，AF相交于点F．
（1）填空：AC＝ ；∠F＝ ．
（2）当BD＝DE时，证明：△ABC≌△EAF．
（3）△EAF面积的最小值是 ．
（4）当△EAF的内心在△ABC的外部时，直接写出AE的范围 ．
参考答案
1．解：（1）当圆心在坐标原点时，直线l为y＝0时，
∵⊙O的半径为2，点P（4，0）．
∴M（2，0），N（﹣2，0），PM＝2，PN＝6，＝，
∵，
∴＝，
设Q点坐标为（x，y），则QM＝|2﹣x|，QN＝|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，
∴＝，
∴|2+x|＝3|2﹣x|，
∴2+x＝6﹣3x，或2+x＝3x﹣6，
∴x＝1，或x＝4，
∴E（1，0）是点P关于⊙O的密切点．
故答案为：E．
（2）①依题意直线l：y＝kx+b过定点P（4，0），
∵k＝﹣
∴将P（4，0）代入y＝﹣x+b得：
0＝﹣×4+b，
∴b＝，
∴y＝﹣x+．
如图，作MA⊥x轴于点A，NB垂直x轴于点B，
设M（x，﹣x+），由OM＝2得：
x2+＝4，
∴5x2﹣4x﹣10＝0，
则M，N两点的横坐标xM，xN是方程5x2﹣4x﹣10＝0的两根，
解得xM＝，xN＝，
∴AB＝，PA＝，PB＝，
∵，
∴＝，＝，
∴＝，
∴HA＝，
∴OH＝OA﹣HA＝﹣＝1，
∴Q（1，1）．
②点P关于⊙O的密切点的轨迹为切点弦ST（不含端点），如图所示：
∴﹣1≤t＜0或2＜t≤3．
2．解：（1）如图1，
∵P1（1，0），A（0，﹣5），B（4，3），
∴AB＝＝4，P1A＝＝，P1B＝＝3，
∴P1不在以AB为直径的圆弧上，
故∠AP1B不是AB关于⊙O的内直角，
∵P2（0，3），A（0，﹣5），B（4，3），
∴P2A＝8，AB＝4，P2B＝4，
∴P2A2+P2B2＝AB2，
∴∠AP2B＝90°，
∴∠AP2B是AB关于⊙O的内直角，
同理可得，P3B2+P3A2＝AB2，
∴∠AP3B是AB关于⊙O的内直角，
故答案为：∠AP2B，∠AP3B；
（2）∵∠APB是AB关于⊙O的内直角，
∴∠APB＝90°，且点P在⊙O的内部，
∴满足条件的点P形成的图形为如图2中的半圆H（点A，B均不能取到），
过点B作BD⊥y轴于点D，
∵A（0，﹣5），B（4，3），
∴BD＝4，AD＝8，
并可求出直线AB的解析式为y＝2x﹣5，
∴当直线y＝2x+b过直径AB时，b＝﹣5，
连接OB，作直线OH交半圆于点E，过点E作直线EF∥AB，交y轴于点F，
∵OA＝OB，AH＝BH，
∴EH⊥AB，
∴EH⊥EF，
∴EF是半圆H的切线．
∵∠OAH＝∠OAH，∠OHB＝∠BDA＝90°，
∴△OAH∽△BAD，
∴，
∴OH＝AH＝EH，
∴OH＝EO，
∵∠EOF＝∠AOH，∠FEO＝∠AHO＝90°，
∴△EOF≌△HOA（ASA），
∴OF＝OA＝5，
∵EF∥AB，直线AB的解析式为y＝2x﹣5，
∴直线EF的解析式为y＝2x+5，此时b＝5，
∴b的取值范围是﹣5＜b≤5．
（3）∵对于线段MN上每一个点H，都存在点T，使∠DHE是DE关于⊙T的最佳内直角，
∴点T一定在∠DHE的边上，
∵TD＝4，∠DHT＝90°，线段MN上任意一点（不包含点M）都必须在以TD为直径的圆上，该圆的半径为2，
∴当点N在该圆的最高点时，n有最大值，
即n的最大值为2．
分两种情况：
①若点H不与点M重合，那么点T必须在边HE上，此时∠DHT＝90°，
∴点H在以DT为直径的圆上，
如图3，当⊙G与MN相切时，GH⊥MN，
∵OM＝1，ON＝2，
∴MN＝＝，
∵∠GMH＝∠OMN，∠GHM＝∠NOM，ON＝GH＝2，
∴△GHM≌△NOM（ASA），
∴MN＝GM＝，
∴OG＝﹣1，
∴OT＝+1，
当T与M重合时，t＝1，
∴此时t的取值范围是﹣﹣1≤t＜1，
②若点H与点M重合时，临界位置有两个，一个是当点T与M重合时，t＝1，另一个是当TM＝4时，t＝5，
∴此时t的取值范围是1≤t＜5，
综合以上可得，t的取值范围是﹣﹣1≤t＜5．
3．解：（1）如答图1，当CD⊥AB或点D是AB的中点是，CD2＝AD•BD；
（2）作AE⊥BC于点E，由，可设AE＝4x，
则BE＝3x，CE＝6x，
∴BC＝9x＝9，∴x＝1，
∴BE＝3，CE＝6，AE＝4，
设DE＝a，
①如答图2，若点D在点E左侧，
由点D是BC边上的“好点”知，AD2＝BD•CD，
∴a2+42＝（3﹣a）（6+a），即2a2+3a﹣2＝0，
解得，a2＝﹣2（舍去），
∴．
②如答图3，若点D在点E右侧，
由点D是BC边上的“好点”知，AD2＝BD•CD，
∴a2+42＝（3+a）（6﹣a），即2a2﹣3a﹣2＝0，
解得a1＝2，（舍去）
∴BD＝3+a＝3+2＝5．
∴或5．
（3）①如答图4，连接AD，BD，
∵∠CHA＝∠BHD，∠ACH＝∠DBH
∴△AHC∽△DHB，
∴，即AH•BH＝CH•DH，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH，
∴BH2＝CH•DH
∴点H是△BCD中CD边上的“好点”．
②．
理由如下：如答图4，
∵∠ABD＝90°，
∴AD是直径，
∴AD＝18．
又∵OH⊥AB，
∴OH∥BD．
∵点O是线段AD的中点，
∴OH是△ABD的中位线，
∴BD＝2OH＝12．
在直角△ABD中，由勾股定理知：AB＝＝＝6．
∴由垂径定理得到：BH＝AB＝3．
在直角△BDH中，由勾股定理知：DH＝＝＝3．
又由①知，BH2＝CH•DH，即45＝3CH，则CH＝．
∴＝＝，即．
4．（1）证明：∵C是的中点，
∴＝，
∴∠ABC＝∠CBD，
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠ABC＝∠CBD＝∠C，
∴∠ABD＝∠ABC+CBD＝2∠C；
（2）解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝6，
∵C是的中点，
∴OC⊥AD，
∴OA2﹣OF2＝AF2＝AC2﹣CF2，
∴52﹣OF2＝62﹣（5﹣OF）2，
∴OF＝1.4，
又∵O是AB的中点，
∴BD＝2OF＝2.8．
5．解：（1）如图1，
∵A（0，8），B（6，0），C（0，3），
∴OA＝8，OB＝6，OC＝3，
∴AC＝5，
∵△ACD∽△AOB，
∴，
∴
∴CD的＝，
∴⊙P的半径为；
（2）在Rt△AOB中，OA＝8，OB＝6，
∴＝＝10，
如图2，当⊙P与AB相切时，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠AOB＝90°，∠CAD＝∠BAO，
∴△ACD∽△ABO，
∴，
即，
∴AD＝4，CD＝3，
∵CD为⊙P的直径，
∴CP＝，
过点P作PE⊥AO于点E，
∵∠PEC＝∠ADC＝90°，∠PCE＝∠ACD，
∴△CPE∽△CAD，
∴，
即，
∴，
∴，
∴△POB的面积＝＝；
（3）①如图3，若⊙P与AB只有一个交点，则⊙P与AB相切，
由（2）可知PD⊥AB，PD＝，
∴△PAB的面积＝．
②如图4，若⊙P与AB有两个交点，设另一个交点为F，连接CF，可得∠CFD＝90°，
由（2）可得CF＝3，
过点P作PG⊥AB于点G，则DG＝，
则PG为△DCF的中位线，PG＝，
∴△PAB的面积＝＝．
综上所述，在整个运动过程中，△PAB的面积是定值，定值为．
6．解：（1）如图1，∵△DEF是等边三角形，
∴∠FDE＝∠F＝60°．
∵∠A＝30°，
∴∠AMD＝∠FDE﹣∠A＝30°，
∴∠FMN＝∠AMD＝30°，
∴∠MNF＝90°，
即△FMN是直角三角形，
∵∠FDE＝60°，
∴∠AMD＝∠FDE﹣∠A＝30°，
∴∠AMD＝∠A，
∴DM＝DA，
∴△ADM是等腰三角形；
故答案为：直角三角形，等腰三角形；
（2）如图2，△ADM是等腰三角形，
∴DM＝AD＝x，FM＝4﹣x，
又∵∠FED＝60°，∠A＝30°，
∴∠FNM＝90°，
∴MN＝MF•sinF＝（4﹣x），
FN＝，
∴y＝＝，
＝．
当0＜x≤2时，
∴y＝S四边形DENM＝S△FDE﹣S△FMN＝4，
当2≤x＜4时，
CD＝6﹣x，
∵∠BCE＝90°，∠PDC＝60°，
∴PC＝（6﹣x），
∴，
＝．
（3）如图3，点M作MG⊥AC于点G，由（2）得DM＝x，
∵∠MDG＝60°，
∴MG＝，
MNF＝90°
∴MN⊥FC
要使以点M为圆心，MN长为半径的圆与边AC、EF相切，
则有MG＝MN，
∴，
解得：x＝2，
∴圆的半径MN＝．
7．解：（1）如图1，连接OA、OB、OC，延长OC交AB于点G，
在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝2，
∵OA＝OB，AC＝BC，
∴OC垂直平分AB，
∴AG＝AB＝1，
∴在Rt△AGC中，由勾股定理得：CG＝＝＝，
在Rt△AGO中，由勾股定理得：OG＝＝＝2，
∴OC＝2﹣；
如图2，延长CO交EF于点H，
当CO⊥EF时，点C到直线EF的距离最大，最大距离为CH的长，
∵OE＝OF，CO⊥EF，
∴CO平分∠EOF，
∵∠EOF＝120°，
∴∠EOH＝∠EOF＝60°，
在Rt△EOH中，cs∠EOH＝，
∴cs60°＝＝，
∴OH＝，
∴CH＝CO+OH＝，
∴点C到直线EF的最大距离是．
故答案为：2﹣；．
（2）如图3，当点B在直线OE上时，
由OA＝OB，CA＝CB可知，
点O，C都在线段AB的垂直平分线上，
过点C作AB的垂线，垂足为G，
则G为AB中点，直线CG过点O．
∴由∠COM＝∠BOG，∠CMO＝∠BGO
∴△OCM∽△OBG，
∴＝，
∴＝，
∴CM＝，
∴点C到OE的距离为．
（3）如图4，当BC⊥OE时，设垂足为点M，
∵∠EOF＝120°，
∴∠COM＝180°﹣120°＝60°，
∴在Rt△COM中，sin∠COM＝，
∴sin60°＝＝，
∴CM＝CO＝（2﹣）＝﹣；
如图5，当BC∥OE时，过点C作CN⊥OE，垂足为N，
∵BC∥OE，
∴∠CON＝∠GCB＝30°，
∴在Rt△CON中，sin∠CON＝，
∴sin30°＝＝，
∴CN＝CO＝（2﹣）＝﹣；
综上所述，当BC与OE垂直或平行时，点C到OE的距离为﹣或﹣．
8．解：（1）由题意，得OA＝6，OB＝2．
当0＜t＜2时，OM＝6﹣3t，ON＝t．
若△ABO∽△MNO，则＝，即＝，
解得t＝1．
若△ABO∽△NMO，则＝，即＝，
解得t＝1.8．
综上，当t为1或1.8时，△ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似．
（2）①当0＜t＜2时，在ON的延长线的截取ND＝OM，连接CD、CN、CM，如图所示：
∵直线y＝x与x轴的夹角为450，
∴OC平分∠AOB．
∴∠AOC＝∠BOC．
∴CN＝CM．
又∵在⊙O中∠CNO+∠CMO＝180°，∠DNC+∠CNO＝180°，
∴∠CND＝∠CMO．
∴△CND≌△CMO（SAS）．
∴CD＝CO，∠DCN＝∠OCM．
又∵∠AOB＝90°，
∴MN为⊙O的直径，
∴∠MCN＝90°．
∴∠OCM+∠OCN＝90°．
∴∠DCN+∠OCN＝90°．
∴∠OCD＝90°．
又∵CD＝CO，
∴OD＝OC．
∴ON+ND＝OC．
∴OM+ON＝OC．
②当 t＞2时，过点C作CD⊥OC交ON于点D，连接CM、CN，如图所示：
∵∠COD＝45°，
∴△CDO为等腰直角三角形，
∴OD＝OC．
∵MN为⊙O的直径，
∴∠MCN＝90°．
又∵在⊙O中，∠CMN＝∠CNM＝45°，
∴MC＝NC．
又∵∠OCD＝∠MCN＝90°，
∴∠DCN＝∠OCM．
∴△CDN≌△COM（SAS）．
∴DN＝OM．
又∵OD＝OC，
∴ON﹣DN＝OC．
∴ON﹣OM＝OC．
9．证明：（1）如图，连接OD，OC，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是AB的中点，
∴OC＝OA＝OB，
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，点O是AB的中点，
∴OD＝OA＝OB，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；
（2）由（1）知，A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上，且AD＝BD，
∴，
∴CD平分∠ACB；
（3）由（2）知，∠BCD＝45°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BEC＝75°，
∴∠AED＝75°，
∵DF∥BC，
∴∠BFD＝∠ABC＝60°，
∵∠ABD＝45°，
∴∠BDF＝180°﹣∠BFD﹣∠ABD＝75°＝∠AED，
∵∠DFE＝∠BFD，
∴△DEF∽△BDF，
∴，
∴DF2＝BF•EF，
连接OD，则∠BOD＝90°，OB＝OD，
在Rt△DOF中，根据勾股定理得，OD2+OF2＝DF2，
∴OB2+OF2＝BF•EF，
即BO2+OF2＝EF•BF．
10．解：（1）∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，tanB＝，
∴AC＝AB•tanB＝2tan60°＝2；
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∵∠EAF＝∠B＝60°，
∴∠F＝90°﹣∠EAF＝90°﹣60°＝30°．
故答案为：2，30°；
（2）证明：当BD＝DE时，
∵AD⊥BC于D，
∴AB＝AE，
∵∠AEF＝90°，∠BAC＝90°，
∴∠AEF＝∠BAC，
又∠EAF＝∠B，
∴△ABC≌△EAF（ASA）；
（3）∵∠AEF＝90°，∠EAF＝60°，tan∠EAF＝，
∴EF＝AE•tan∠EAF＝AE•tan60°＝AE，
∴S△EAF＝AE•EF＝AE×AE＝AE2，
当AE⊥BC时，AE最短，S△EAF最小，此时∠AEB＝90°，sinB＝，
∴AE＝AB•sinB＝2sin60°＝2×＝，
S△EAF＝AE2＝×3＝，
∴△EAF面积的最小值是，
故答案为：；
（4）当△EAF内心恰好落在AC上时，设△EAF的内心为N，连接EN，如图：
∵N是△EAF的内心，
∴AN平分∠EAF，EN平分∠AEF，
∴∠EAC＝∠AEF＝×60°＝30°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝90°﹣30°＝60°，
又∵∠B＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝2，
∵E为BC上的一点，不与B、C重合，由（1）可知AC＝2，
∴当△EAF的内心在△ABC的外部时，．
故答案为：．