专题3.1 导数的应用（选填题）（全国卷理科数学专用）-高考数学满分突破之5年全国卷高考真题（2016-2021）与优质模拟题（理科）

专题3.1 导数的应用（选填题）

A组 5年高考真题

1．（2021全国Ⅰ理6）函数的图像在点处的切线方程为 （   ）

A．          B．          C．          D．

【答案】B

【思路导引】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可．

【解析】，，，，因此，所求切线的方程为，即，故选B．

2．（2021全国Ⅲ理10）若直线与曲线和圆相切，则的方程为 （   ）

A．           B．          C．        D．

【答案】D

【思路导引】可以根据圆的切线性质，结合排除法得出正确答案；也可以根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案．

【解析】解法一：由与圆相切，故圆心到直线的距离为圆半径，符合条件的只有A，D，将答案A的直线方程带入，得：，无解；将答案AD的直线方程带入，得：，有一解．故选D．

解法二：设直线在曲线上的切点为，则，

函数的导数为，则直线的斜率，

设直线的方程为，即，

由于直线与圆相切，则，

两边平方并整理得，解得，（舍），

则直线的方程为，即，故选D．

3．（2019全国Ⅲ理6）已知曲线在点处的切线方程为y=2x+b，则

A．  B．a=e，b=1 

C．  D． ，

【答案】D

【解析】 的导数为，又函数在点处的切线方程为，可得，解得，又切点为，可得，即，故选D．

4．(2018全国卷Ⅰ理5)设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为

A．   B．    C．     D．

【答案】D

【解析】因为函数为奇函数，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为．故选D．

5．（2014全国卷2理8）．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0，0)处的切线方程为y=2x，则a= （ ）

A． 0       B． 1      C． 2       D． 3

【答案】D

【解析】∵，且在点处的切线的斜率为2，∴，即，故选D．

6．【2018全国卷2理3】函数的图像大致为（   ）

【答案】B

【解析】，，为奇函数，舍去A，，

舍去D；，，，所以，舍去C，故选B．

7．（2018全国卷3理7）函数的图像大致为（   ）

【答案】D

【解析】当时，，可以排除A、B选项；又因为，则的解集为，单调递增区间为，；的解集为，单调递减区间为，．结合图象，可知D选项正确．

8．（2016卷1理7）．函数|在[–2，2]的图像大致为

【答案】D

【解析】由题知该函数是偶函数，当时，，所以，因为，由零点存在性定理知，存在，使得，当时，，当时，，所以在是减函数，在

9．（2012全国理10）已知函数=，则=的图像大致为

【答案】B

【解析1】定义域为（－1，0）∪(0，+∞)，=

∴在(－1，0)是减函数，在（0，+∞）是增函数，结合选项，只有B符合，故选B．

【解析2】

10．（2017全国卷2理11）若是函数的极值点，则的极小值为

A．    B．    C．     D．1

【答案】A

【解析】由题可得，因为，所以，，故，令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为，故选A．

11．（2013全国卷2理10）已知函数=，下列结论错误的是

A． =0，

B．函数=的图像是中心对称图形

 C．若是的极小值点，则在区间（，）单调递减 

D．若是的极值点，则=0，

【答案】C

【解析】对于选项C：取，，，即，则，所以当或时，，当时，，所以在和内为增，内为减，则时为极小值点，但在区间不单调递减，显然错误，故选C．

12．（2015新课标Ⅰ理12）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是

A．   B．   C．   D．

【答案】D

【解析】由题意可知存在唯一的整数，使得，设， ，由，可知在上单调递减，在上单调递增，作出与的大致图象如图所示，故，即，所以．

13．（2015新课标Ⅱ理12）设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得f (x)0成立的的取值范围是

A．              B．

C．             D．

【答案】A

【解析】令，因为为奇函数，所以为偶函数，由于

，当时， ，所以在

上单调递减，根据对称性在上单调递增，又，，

数形结合可知，使得成立的的取值范围是．

14．（2019全国Ⅰ理13）曲线在点处的切线方程为____________．

【答案】

【解析】因为，所以，所以当时，，所以在点处的切线斜率，又，所以切线方程为，即．

15．（2018全国卷3理14）曲线在点处的切线的斜率为，则________．

【答案】

【解析】由题知，，则，所以．

16．（2018全国卷2理13）曲线在点处的切线方程为__________．

【答案】

【解析】由题知，，，．

17．（2017全国卷1理14）曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．

【答案】

【解析】设，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即．

18．(2016年全国Ⅱ理16)若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则        ．

【答案】

【解析】设与和的切点分别为 和．

则切线分别为，，

化简得，，

依题意，，解得，

从而．

19．(2016年全国Ⅲ理15) 已知为偶函数，当时，，则曲线

，在点处的切线方程是_________．

【答案】

【解析】由题意可得当时，，则，，则在点处的切线方程为，即．

20．（2017全国卷1理16）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为      ．

【答案】

【解析】如下图，连接DO交BC于点G，设D，E，F重合于S点，正三角形的边长为x(x>0)，则．

，

，

三棱锥的体积．

设，x>0，则，

令，即，得，易知在处取得最大值．

∴．

B组 优质模拟题

21．（2021·河南省实验中学高三二测（理））已知函数，若函数在处的切线方程为，则的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】

∵，

∴，解得，∴，

∴.故选：B。

22．（2021·江西省南昌市第十中学校高三模拟（理））已知函数的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为，则（   ）

A． B． C．0 D．2

【答案】A

【解析】∵函数f（x）=|cosx|（x≥0）的图象与过原点的直线恰有四个交点，∴直线与函数y=|cosx|（x≥0）在区间（，2π）内的图象相切，在区间（，2π）上，y的解析式为y=cosx，故由题意切点坐标为（θ，cosθ），∴切线斜率k=y′=-sinx|x=θ=-sinθ，∴由点斜式得切线方程为：y-cosθ=-sinθ（x-θ），即 y=-sinθx+θsinθ+cosθ，∵直线过原点，∴θsinθ+cosθ=0，得θ=-，

。

23．（2021·福建省厦门市高三质检（理）已知方程只有一个实数根，则的取值范围是（    ）

A．或 B．或 C． D．或

【答案】A

【解析】令，则原方程转化成，即，

令，显然，

问题转化成函数在上只有一个零点1，

，

若，则在单调递增，，此时符合题意；

若，则，在单调递增，，此时符合题意；

若，记，

则函数开口向下，对称轴，过，，

当即即时，，在单调递减，，此时符合题意；

当即即时，设有两个不等实根，，

又，对称轴，所以，

则在单调递减，单调递增，单调递增，

由于，所以，

取，，

记 令，

则，所以，

结合零点存在性定理可知，函数在存在一个零点，不符合题意；

综上，符合题意的的取值范围是或，故选A。

24．（2021·广西师大附属外国语学校高三一模（理））已知函数的导数为，且，则函数图象的大致形状是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

，，

,

所以为奇函数，且当时，有g(x)<0.

结合选项，只有A符合题意，故选：A。

25．（2021·安徽省淮北市高三一模（理）函数在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到，然后两边同时求导得，于是，用此法探求的递减区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，

于是有：，当时，有.

故选C。

26．（2021·湖南省长沙市明达中学高三二模（理）已知函数，若存在实数满足时，成立，则实数的最大值为_____

【答案】

【解析】由，所以，

令，（），则，（，），

显然，在单调递减，

∴（）

令，（），，

∵，∴，则，

∴令在单调递减，

∴，∴实数的最大值为．

故答案为：。