所属成套资源：高考数学满分突破之5年全国卷高考真题（2016-2021）与优质模拟题（理科）
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专题3.2 导数的应用（解答题）（全国卷理科数学专用）-高考数学满分突破之5年全国卷高考真题（2016-2021）与优质模拟题（理科）
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专题3.2 导数的应用（解答题）
A组 5年高考真题
1．（2019全国Ⅰ理20）已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
【解析】（1）设，则，．
当时，单调递减，而，
可得在有唯一零点，设为．
则当时，；当时，．
所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点．
（2）的定义域为．
（i）当时，由（1）知，在单调递增，而，所以当时，，故在单调递减，又，从而是在的唯一零点．
（ii）当时，由（1）知，在单调递增，在单调递减，而，，所以存在，使得，且当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减．
又，，所以当时，．
从而 在没有零点．
（iii）当时，，所以在单调递减．而，，所以在有唯一零点．
（iv）当时，，所以
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