专题5.1 平面向量（全国卷理科数学专用）-高考数学满分突破之5年全国卷高考真题（2016-2021）与优质模拟题（理科）

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1．（2021全国Ⅲ理6）已知向量满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路导引】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值．
【解析】，，，．
，因此．故选D．
2．（2018•新课标Ⅱ，理4）已知向量，满足，，则
A．4B．3C．2D．0
【答案】B
【解析】向量，满足，，则，故选．
3．（2016新课标，理3）已知向量 ， 则ABC=
(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200
【答案】A
【解析】由题意，得，所以，故选A．
4．（2019•新课标Ⅱ，理3）已知，，，则
A．B．C．2D．3
【答案】C
【解析】，，，，即，则，故选．
5．（2017•新课标Ⅱ，理12）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，则，，，
设，则，，，则，当，时，取得最小值，故选．
6．（2017•新课标Ⅲ，理12）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为
A．3B．C．D．2
【答案】A
【解析】如图：以为原点，以，所在的直线为，轴建立如图所示的坐标系，
则，，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，
设圆的半径为，，，，，，
圆的方程为，设点的坐标为，，
，，，，，，
，，，其中，∵，∴，故的最大值为3，故选．
7．（2015新课标Ⅰ，理5）已知M（x0，y0）是双曲线C：上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（ ）
（A）（-，）（B）（-，）
（C）（，） （D）（，）
【答案】A
【解析】由题知，，所以= =，解得，故选A．
8．（2011新课标，理10）已知与均为单位向量，其中夹角为，有下列四个命题
：∈[0，） ：∈(，]
： ∈[0， ） ：∈(，]
其中真命题是
（A）， (B) ， (C) ， (D) ，
【答案】A
【解析】由得，，即＞，即=＞，
∵∈[0，]，∴∈[0，），
由得，，即＜，即=＜，∵∈[0，]，∴∈(，]，故选A．
9．（2018•新课标Ⅰ，理6文7）在中，为边上的中线，为的中点，则
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在中，为边上的中线，为的中点，∴
，故选．
10．（2015新课标Ⅰ，理7）设D为?ABC所在平面内一点，则（ ）
（A） (B)
（C） (D)
【答案】A
【解析】由题知=，故选A．
11．（2016新课标，理3）已知向量，且，则m=（ ）
（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8
【答案】D
【解析】由题知a+b=，所以==0，解得，故选D．
12．（2014新课标Ⅱ，理3文4）设向量满足，，则（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D． 5
【答案】A
【解析】∵，，∴……①，……②．
由①②得：，故选A．
13．（2019•新课标Ⅲ，理13）已知，为单位向量，且，若，则， ．
【答案】
【解析】∵，，
，，．
14．（2017•新课标Ⅰ，理13）已知向量，的夹角为，，，则 ．
【答案】
【解析】向量，的夹角为，且，，
，．
15．（2018•新课标Ⅲ，理13）已知向量，，．若，则 ．
【答案】
【解析】向量，，，，，
，解得．
16．（2015•新课标Ⅱ，理13）设向量，不平行，向量与平行，则实数 ．
【答案】
【解析】向量，不平行，向量与平行，，
，解得实数．
17．（2021全国Ⅱ理13）已知单位向量的夹角为45°，与垂直，则__________．
【答案】
【思路导引】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值．
【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：，故答案为：．
18．（2021全国Ⅰ理14）设为单位向量，且，则 ．
【答案】
【思路导引】整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形可得：，问题得解．
【解析】∵为单位向量，∴，
∴，解得：，
∴，故答案为：．
19．（2014新课标Ⅰ，理15）已知A，B，C是圆O上的三点，若，则与的夹角为 ．
【答案】
【解析】∵，∴O为线段BC中点，故BC为的直径，
∴，∴与的夹角为．
20．（2013新课标Ⅰ，理13文13）已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c=0，则t=_____．
【答案】2
【解析】=====0，解得=．
21．（2013新课标Ⅱ，理13文14）已知正方形ABC的边长为2，E为CD的中点，则= ．
【答案】2
【解析】===4-2=2．
B组 能力提升
22．（2021届安徽省合肥市高三第二次质检）在平行四边形中，若交于点，则( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】如图，∵，∴E为CD的中点，
设，且B，F，D三点共线，
∴，解得，
∴．
故选D。
23．（2021届安徽省皖南八校高三第三次联考）在中，，是直线上一点，且，若则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，.
故选D。
24．（2021届甘肃省高三第一次高考诊断）已知平面向量，满足，，且，则（ ）
A．3B．C．D．5
【答案】B
【解析】
由，所以
，
，，
故选B。
25．（2021届甘肃省兰州市高三诊断）已知非零向量，给定，使得，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】，使得，则，共线，
等价于，同向，
因此是的必要不充分条件．
故选B。
26．（2021届广东省东莞市高三模拟）已知平面向量、的夹角为135°，且为单位向量，，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【解析】由题意得，则，故选C。
27．（2021届广东省汕头市高三第一次模拟）已知四边形ABCD为平行四边形，，，M为CD中点，，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【解析】

.
故选A。
28（2021届广东省湛江市模拟）已知，，则向量在方向上的投影为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵，，∴．
∴，．
∴向量在方向上的投影为．
故选D。
29．（2021届陕西省汉中市高三质检）在直角中，，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
在直角中，，，，，
，
若，则
故选C。
30．（2021届湖南省怀化市高三第一次模拟）已知向量，，，则等于（ ）
A．B．C．5D．25
【答案】C
【解析】，
，
故选C。
31．（2021届江西省九江市高三第二次模拟）已知向量，满足，，，则与的夹角为________.
【答案】60°
【解析】∵，∴，∴，，∴与的夹角为60°，故答案为：60°。