专题11.2 不等式选讲（全国卷理科数学专用）-高考数学满分突破之5年全国卷高考真题（2016-2021）与优质模拟题（理科）

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专题11.2 不等式选讲A组 5年高考真题1．（2021全国Ⅲ文理23）设．（1）证明：； （2）用表示的最大值，证明：．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析．【思路导引】（1）根据题设条件两边平方，再利用均值不等式证明即可；（2）思路一：不妨设，由题意得出，由，结合基本不等式，即可得出证明．思路二：假设出中最大值，根据反证法与基本不等式推出矛盾，即可得出结论．【解析】（1）证明：即（2）证法一：不妨设，由可知，，，，当且仅当时，取等号，，即．证法二：不妨设，则而矛盾，∴命题得证．2．（2019全国I文理23）已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）；（2）．【解析】（1）因为，又， 故有，∴．（2）因为为正数且，故有=24．∴．3．（2019全国III文理23）设，且．（1）求的最小值；（2）若成立，证明：或．【解析】（1）由于，故由已知得，当且仅当x=，y=–，时等号成立．∴的最小值为．（2）由于，故由已知，当且仅当，，时等号成立，因此的最小值为．由题设知，解得或．4．（2017全国Ⅱ文理）已知，，，证明：(1)；(2) ．【解析】（1）．（2）∵，∴，因此．5．（2021全国Ⅰ文理22）已知函数．（1）画出的图像；（2）求不等式的解集．【解析】（1）∵，作出图像，如图所示：（2）将函数的图像向左平移个单位，可得函数的图像，如图所示：由，解得，∴不等式的解集为．6．（2016全国I文理）已知函数．（I）在图中画出的图像；（II）求不等式的解集．【解析】(1)如图所示：(2) ，．当，，解得或，；当，，解得或，或；当，，解得或，或．7．（2021全国Ⅱ文理22）已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）或；（2）．【思路导引】（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果．【解析】（1）当时，．当时，，解得：；当时，，无解；当时，，解得：；综上所述：的解集为或．（2）（当且仅当时取等号），，解得：或，的取值范围为．8．（2019全国II文理23）[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知 （1）当时，求不等式的解集；（2）若时，，求的取值范围．【解析】（1）当a=1时，．当时，；当时，，∴不等式的解集为．（2）因为，∴．当，时，∴的取值范围是．9．（2018全国Ⅰ文理）已知．(1)当时，求不等式的解集；(2)若时不等式成立，求的取值范围．【解析】(1)当时，，即故不等式的解集为．(2)当时成立等价于当时成立．若，则当时；若，的解集为，∴，故．综上，的取值范围为．10．（2018全国Ⅱ文理）设函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)若，求的取值范围．【解析】(1)当时，可得的解集为．(2)等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，∴的取值范围是．11．（2018全国Ⅲ文理）设函数．(1)画出的图像；(2)当时，，求的最小值．【解析】(1)的图像如图所示．(2)由(1)知，的图像与轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为5．，或或，，解集为．12．（2017全国Ⅰ文理）已知函数，．(1)当时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集包含，求的取值范围．【解析】（1）当时，不等式等价于．①当时，①式化为，无解；当时，①式化为，从而；当时，①式化为，从而，∴的解集为．（2）当时，，∴的解集包含，等价于当时．又在的最小值必为与之一，∴且，得，∴的取值范围为．13．（2017全国Ⅲ文理）已知函数．(1)求不等式的解集；(2)若不等式的解集非空，求的取值范围．【解析】（1），当时，无解；当时，由得，，解得；当时，由解得．∴的解集为．（2）由得，而，且当时，，故m的取值范围为．14．（2016全国III文理）已知函数（Ⅰ）当a=2时，求不等式的解集；（Ⅱ）设函数，当时，，求a的取值范围．【解析】（Ⅰ）当时，．解不等式，得，因此的解集为．（Ⅱ）当时，，当时等号成立，∴当时，等价于．  ① 当时，①等价于，无解．当时，①等价于，解得．∴的取值范围是．15．（2016全国II文理）已知函数，M为不等式的解集．（I）求M；（II）证明：当a，时，．【解析】（I）当时，，若；当时，恒成立；当时，，若，．综上可得，．（Ⅱ）当时，有，即， 则，则，即，证毕．