初中数学3 垂径定理教学设计

*3垂径定理

【知识与技能】

1.学会运用垂径定理解决一些有关证明、计算和作图问题.

2.掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用.

【过程与方法】

经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法，渗透一般到特殊、特殊到一般的辩证关系.

【情感态度】

通过观察、操作、变换和研究的过程进一步培养学生的思维能力、创新意识和良好的运用数学的习惯和意识.通过对推论的探讨，逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题，概括问题的能力，促进学生创造思维水平的发展和提高.

【教学重点】

垂径定理的发现、记忆与证明；垂径定理的推论.

【教学难点】

垂径定理的运用，以及对推论的探究方法.

一、情景导入，初步认知

1.将手中的圆垂直于直径向上折，你会发现折痕是圆的一条弦，这条弦被直径怎样了？

2.—个残缺的圆形物件，你能找到它的圆心吗？

3.赵州桥是我国古代桥梁史的骄傲，我们能求出主桥拱的半径吗？

   【教学说明】前两个问题可以由学生动手操作，并观察结果，得到初步结论.后两个问题作为问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生进一步的学习.

二、思考探究，获取新知

1.垂径定理

(思考）如图：AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD丄AB，垂足为E.

(1)这个图形是轴对称图形吗？

(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧?请说明理由.

(3)你能用一句话概括这些结论吗？

(4)你能用几何方法证明这些结论吗？

(5)你能用符号语言表达这个结论吗？

【归纳结论】 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

【教学说明】 教师循序渐进地将一个个的问题拋出，引导学生一步步地进行思考和总结，师生一起总结垂径定理.

2.垂径定理的推论

AB是⊙O的一条弦（非直径），且AM=BM.过点M作直径CD.

如图（1）是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

你能发现图中有哪些等量关系？与同伴说说你的想法和理由.

我们发现图中有

理由是：如图（2）连接OA,OB,则OA=OB.

在△OAM和△OBM中，

∵OA=OB,OM=OM,AM=BM

∴△OAM≌△OBM.

∴∠AMO=∠BMO.

∴CD⊥AB

∵⊙O关于直径CD对称,

【归纳结论】平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

还有如下正确结论：

（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

【教学说明】根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论.

三、运用新知，深化理解

1.见教材P74的例题.

2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（              )

A. CM—DM

B.

C.∠ACD=∠ADC

D. OM=MD

解析：根据垂径定理得: CM=DM，，AC=AD，由AC=AD得∠ACD=∠ADC，而OM=MD不一定成立.

答案：D.

3.如图，AB是⊙O的弦，OC丄AB于C.若AB=2     则半径OB的长为  .

解析：根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧”，可知，然后根据勾股定理，得

.

答案：2

4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中，点O是的圆心，其中CD=600m，E为上一点，且OE丄CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径.

分析：利用垂径定理，解题过程中可以使用列方程的方法.

解：如图，连接OC，

设弯路的半径为R，则OF=(R-90)m.

∵OE丄CD，

∴

在Rt△OCF中，根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2

即R2=3002+(R-90)2

解得R=545

∴这段弯路的半径为545m.

5.已知：AB交⊙O于C、D，且AC=BD.请证明：OA=OB

解：证明：过O作OE丄AB于E，

∵OE过圆心O，

∴CE=DE，

∵AC—BD，

∴AE—BE，

∵OE丄AB，

∴OA=OB.

【教学说明】简单应用由学生独立完成，教师可让学生自己进行评判.

6. 如图所示，OC交AB于点D，AD=DB,AB=6cm,CD=1cm，求⊙O的半径长.

分析：根据垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对应的两条弧”.可知，OC⊥AB,此时便可用勾股定理，得

解：设圆的半径为r，则OB=OC=r，

∴32+（r-1）2=r2,解得r=5cm.

即⊙O的半径长为5cm.

【教学说明】简单应用由学生独立完成,教师可让学生自己进行评判.

四、师生互动，课堂小结

1.本节课你学到了哪些数学知识？

2.垂径定理的推论有哪些？

3.在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？

4.从这些方法中你又用到了哪些数学思想？

1.作业：教材“习题3.3”中第2、4题.

2.判断：

（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧.

（2）平分弦的直线，必定过圆心.

（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦.

（4）弦的垂直平分线一定是圆的直径.

（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦.

（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分.

3.完成练习册中本课时的练习.

这节课我们主要学习了垂径定理及其推论（学生回答），它是这节课的重点，要求大家分清楚定理的条件和结论，并熟练掌握定理的简单应用，引导学生应用垂径定理的证明方法来证明推论，通过学生自主操作培养学生的动手能力；通过加深学生对感性知识的认识及理性知识的理解，培养学生的思维能力.