数学九年级下册6.7用相似三角形解决问题达标测试

用相似三角形解决问题

一、单选题

1．如图，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子DA恰好与甲影子CA在同一条直线上，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙两同学相距（　　）米．

A．1 B．2 C．3 D．5

2．如图，在直角坐标系中，点P(2，2)是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为(0，1)，(3，1)．则木杆AB在x轴上的投影长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

3．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD．若物体AB的高为6cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8cm，6cm，则实像CD的高度为（　　）

A．4cm B．4.5cm C．5cm D．6cm

4．如图，身高1.6米的小慧同学从一盏路灯下的B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE的长是2米，则路灯AB的高为（　　）

A．5米 B．6.4米 C．8米 D．10米

5．为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，、、三点共线，则旗杆的高度为（       ）

A．13.5米 B．12.5米 C．11.9米 D．10.5米

6．如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中①号“E”字的高度BC长为b，当测试距离为3m时，②号“E”字的高度DF长为（　　）

A．5b B．3b C．b D．b

7．如图所示为某种型号的台灯的横截面图，已知台灯灯柱AB的长为30cm，且与水平桌面垂直，灯臂AC的长为10cm，灯头的横截面CEF为直角三角形，当灯臂AC与灯柱AB垂直时，沿CE边射出的光线刚好射到底座B点．若不考虑其他因素，则该台灯在桌面可照亮的宽度BD的长为（       ）

A．90cm B．100cm C． D．

8．如图所示，为了测量文昌塔AB的高度，数学兴趣小组根据光的反射定理（图中），把一面镜子放在点C处，然后观测者沿着直线BC后退到点D．这时恰好在镜子里看到塔顶A，此时量得，，观测者目高，则塔AB的高度为（       ）

A．35m B．36m C．37m D．38m

9．如图，已知零件的外径，现用一个交叉卡钳（两条尺长和相等，）量零件的内孔直径，若，量的，则零件的厚度为（       ）

A． B． C． D．

10．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（       ）

A． B．

C． D．

11．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为米，一级台阶高为米，如图所示，若此时落在地面上的影长为米，则树高为（ ）

A．11.5米 B．11.75米 C．11.8米 D．12.25米

12．如图，一人站在两等高的路灯之间走动，为人在路灯照射下的影子，为人在路灯照射下的影子．当人从点走向点时两段影子之和的变化趋势是（   ）

A．先变长后变短 B．先变短后变长

C．不变 D．先变短后变长再变短

二、填空题

13．图，小刚在打网球时，球恰好能打过网，且落在离网5m的位置上，则他的球拍击球的高度是___m．

14．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，则木竿PQ 的长度为_____m．

15．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到位置，已知，足分别为，，，，，则栏杆端应下降的垂直距离为________．

16．如图是步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，步枪上的准星宽度AB为0.2cm，目标的正面宽度CD为50cm，则眼睛到目标的距离OF为______m．

17．《九章算术》第九章“勾股”问题十九：“今有邑方（正方形小城）不知大小，各开中门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问：邑方几何（小城的边长）？”根据描述如图所示，其中E表示西门，F表示北门，G处是木（E，F分别是所在边的中点）．则邑的边长为__步．

三、解答题

18．为了估计河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得，设与交于点D，如图所示测得，那么这条河的大致宽度是多少米？

19．一天晚上，东升和朝阳利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度，如图，当朝阳走到点A处时，东升测得朝阳直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着朝阳沿AC方向继续向前走，走到点B处时，朝阳直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1m．已知朝阳直立时的身高为1.5m，求路灯的高CD的长．

20．我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳．如图是小亮站在距离墙壁1.60米处观察装饰画时的示意图，此时小亮的眼睛与装饰画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置E处，且与AD垂直，已知装饰面的高度AD为0.66米．

（1）求证：；

（2）求装饰画顶部到墙壁的距离DC（精确到0.01米）．

21．如图，小丁家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间地面的D处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点E射进房间地面的F处，AB⊥BD于点B，CE⊥BD于点O，小丁测得OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，求围墙AB的高为多少米．

22．如图，在Rt△ABC中，AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm．动点E从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，同时动点F从点B出发，沿BC方向以1cm/s的速度向点C运动，连接CE，EF．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），请解答下列问题：

（1）当CE⊥AB时，求t的值；

（2）是否存在某一时刻t，使CE＝CF，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（3）设四边形AEFC的面积为ycm2，求y与t之间的关系式．

参考答案：

1．A

解：设两个同学相距x米，

∵△ADE∽△ACB，

∴，

∴，

解得：x=1．

故选：A．

2．D

解：延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，

∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）．

∴PD=1，PE=2，AB=3，

∵AB//A′B′，

∴△PAB∽△PA′B′，

∴，即，

∴A′B′=6，

故选：D．

3．B

解：由题意得：

物体AB的高为6cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8cm，6cm，

故选B

4．C

解：由题意知，CE＝2米，CD＝1.6米，BC＝8米，CDAB，

则BE＝BC+CE＝10米，

∵CDAB，

∴△ECD∽△EBA

∴＝，即＝，

解得AB＝8（米），即路灯的高AB为8米．

故选C．

5．A

解：设CD与EH交于点G

由题意得：EF=GD=BH=1.6,BD=EH=15，EG=DF=2

∴CG=CD-GD=1.4,

∵CD⊥FB，AB⊥FB，

∴CD∥AB，

∴△CGE∽△AHE，

∴，

即：，

∴AH=11.9，

∴AB=AH+HB=AH+EF=11.9+1.6=13.5（m）．

故选：A．

6．C

解：由题意得：CB∥DF，

∴△ADF∽△ABC，

∴，

∵AD＝3m，AB＝5m，BC＝b，

∴

∴DF＝b ，

故选：C．

7．B

解：∵AC⊥AB，且AB=30cm，AC=10cm

∴由勾股定理得：

∵AC⊥AB，AB⊥BD

∴

∴∠ACB=∠CBD

∵∠CAB=∠ECF=90°

∴△BCD∽△CAB

∴

∴

故台灯在桌面可照亮的宽度BD的长为100cm．

故选B

8．B

解：∵入射角=反射角，

∴∠1=∠2，

∴∠ACB=90°-∠1=90°-∠2=∠ECD，

∵AB⊥BD，ED⊥BD，

∴∠ABC=∠EDC=90°，

∴△ABC∽△EDC，

∴

∵，， ，BC=BD-CD=94-4=90m，

∴，

解得m．

故选择B．

9．B

解：∵两条尺长AC和BD相等，OC＝OD，

∴OA＝OB，

∵OC：AC＝1：3，

∴OC：OA＝1：2，

∴OD：OB＝OC：OA＝1：2，

∵∠COD＝∠AOB，

∴△AOB∽△COD，

∴CD：AB＝OC：OA＝1：2，

∵CD＝10mm，

∴AB＝20mm，

∴零件的厚度为mm．

故选：B

10．C

解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm），

第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm），

因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，

所以图1和图2中的两个三角形相似，

∴，

∴（cm），

故选：C．

11．C

解：如图，根据题意可知EF=BC=4.4米，DE=0.2米，BE=FC=0.3米，则ED=4.6米，

∵同一时刻物高与影长成正比例，

∴AE：ED=1：0.4，即AE：4.6=1：0.4，

∴AE=11.5米，

∴AB=AE+EB=11.5+0.3=11.8米，

∴树的高度是11.8米，

故选C.

12．C

解：连接DF，已知CD=EF，CD⊥EG,EF⊥EG,

∴四边形CDFE为矩形.

∴DF∥GH,

∴

又AB∥CD，∴.

设=a，DF=b,

∴,

∴

∴

∴GH=，

∵a,b的长是定值不变，

∴当人从点走向点时两段影子之和不变．

故选：C.

13．2.4

解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ACB，即，

则，

∴h=2.4m．

故答案为：2.4．

，

14．2.3

解：如图，过N点作于点D，

则四边形是矩形，

根据同一时刻木竿长和影子长的比是固定的，

∴，

∵，，，，

∴，

∴．

15．##m

解：，，

，

又，

，

则，

，，，

，

解得：，

栏杆端应下降的垂直距离为．

故答案为：．

16．200

解：∵AB∥CD，

∴△OAB∽△OCD，

∴，即，

∴．

故答案为：200．

17．300

解：设正方形城池的边长为x步，

由题意可得，Rt△AHE∽Rt△GAF，

∴＝，

即，

解得，（不合题意，舍去），

答：正方形城池的边长为300步．

故答案为：300．

18．90m

解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，

∴∠B=∠C=90°

又∵∠ADB=∠EDC

∴△ABD∽△ECD，

∴AB：CE＝BD：CD，

即AB：30＝120：40，

∴AB＝90（m），

即这条河的大致宽度是90m．

19．m

解：设长为m，

，，，，

，且为等腰直角三角形，

，

为等腰直角三角形，

m，m，

，

，，

，

，

，

解得：，

路灯的高度为m．

20．（1）证明见解析；（2）0.14米

解：（1）由题意可知∠DCA=∠BEA=∠CAB=90°

∵∠CAD+∠BAE=∠EBA+∠BAE

∴∠CAD=∠ABE

∴

（2）由（1）可得

其中AE=

则CD=．

21．3m

解：∵EO⊥BF，

∴∠FOE＝90°，

∵AB⊥BF，CO⊥BF，

∴，

∴△ABD∽△COD，△ABF∽△EOF，

∴

∵OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，

∴

整理得：

解得：AB＝3．

答：围墙AB的高度是3m．

22．（1）t=    （2）存在，，详解见解析   （3）

解：（1）当CE⊥AB时，可知∠AEC=90°，

∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，

∴△ABC的面积=×3×4=6，△ABC的面积=×5×CE，

∴×5×CE=6，

∴CE=，

在Rt△ACE中，AE=；

即t= ；

（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，

由题意可知AE=t，BF=t，

∵BC=4，

∴CF=4-t，

∵CE≥CD，即4-t≥，

∴t≤，

∴此时点E还未到D点，

由（1）可知CD=，

在Rt△CDE中，ED= ，

在Rt△ACD中，AD= ，

ED=AD-AE=，

，

两边同时平方，得：

，

整理得：

，

，

；

（3）过点E作EG⊥BC，垂足为G，

由图可知：四边形AEFC的面积=△ABC的面积－△BEF的面积，

∵AC⊥BC，EG⊥BC，

∴EG AC，

∴△BEG∽△BAC

∴ ，

即 ，

∴ ，

∴四边形AEFC的面积= ，

设四边形AEFC的面积为y，

∴ ，

∴ ．