2020-2021学年第9章 多边形9.1 三角形3 三角形的三边关系课时训练

9.1.3三角形三边关系

★三角形中三边之间的关系:三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．

★三角形的稳定:三角形的形状不会改变，而四边形的形状会改变,即三角形是具有稳定性的图形，而四边形不具有稳定性．
★方法

（1）已知三角形的两边，确定第三边的取值范围，其方法是：第三边大于已知两边之差，小于已知两边之和。
(2）已知三角形的两边，确定周长的取值范国，其方法是：如果 a、b 是三角形已知的两边长，且 a >b。那么周长的取值范围满足2a<<2( a 十 b ).

一．选择题（共7小题）

1．不是利用三角形稳定性的是（　　）

A．自行车的三角形车架 B．三角形房架 

C．伸缩门 D．矩形门的斜拉条

2．等腰三角形的两边长为3和6，则此等腰三角形的周长为（　　）

A．12或15 B．12 C．15 D．18

3．人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（　　）

A．两点之间，线段最短 

B．垂线段最短 

C．两直线平行，内错角相等 

D．三角形具有稳定性

4．已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（　　）

A．2a+2b﹣2c B．2a+2b C．2c D．0

5．若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（　　）

A．1 B．2 C．4 D．8

6．已知n是正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有（　　）

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个

7．长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

二．填空题（共5小题）

8．三边长均为整数的三角形周长为50，其最长边是最短边的2倍长，则最短边长是 　   　．

9．多边形木架具有不稳定性，但加钉一些木条可以使其保持形状不变

根据上面规律，要使一个2n（n≥2）边形的木架形状不变，至少要钉　   　根木条．

10．如果将长度为a﹣2，a+5和a+2的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么a的取值范围是 　   　．

11．设a，b，c为△ABC的三边，化简|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|＝　   　．

12．已知△ABC三边分别为a、b、c，若a＝3，b＝4，则c的取值范围是　   　；已知四边形ABCD四边分别为a、b、c、d，若a＝3，b＝4，d＝10，则c的取值范围是　   　．

三．解答题（共5小题）

13．由下列长度的三条线段能组成三角形吗？请说明理由．

（1）1cm，2cm，3.5cm；

（2）4cm，5cm，9cm；

（3）6cm，8cm，13cm．

14．已知三角形的两边长分别为3cm和7cm．

（1）试确定三角形第三边长x的取值范围．

（2）若第三边的长为偶数，求三角形的周长．

（3）若三角形为等腰三角形，则三角形的周长为　   　cm．

15．已知等腰三角形的周长为21cm，一腰上的中线把等腰三角形分成周长之差为3cm的两个三角形，求等腰三角形的腰长．

16．已知a、b、c为△ABC的三边长；

①b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求出该三角形的周长，并判断△ABC的形状．

②若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值和最小值．

17．如图，D，E是△ABC内两点，求证：AB+AC＞BD+DE+CE．

9.1.3三角形三边关系

参考答案与试题解析

一．选择题（共7小题）

1．不是利用三角形稳定性的是（　　）

A．自行车的三角形车架 B．三角形房架 

C．伸缩门 D．矩形门的斜拉条

【解答】解：伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D都是利用了三角形的稳定性，

故选：C．

2．等腰三角形的两边长为3和6，则此等腰三角形的周长为（　　）

A．12或15 B．12 C．15 D．18

【解答】解：∵三角形中任意两边之和大于第三边

∴当另一边为3时3+3＝6不符

∴另一边必须为6

∴周长为3+6+6＝15

故选：C．

3．人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（　　）

A．两点之间，线段最短 

B．垂线段最短 

C．两直线平行，内错角相等 

D．三角形具有稳定性

【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，

故选：D．

4．已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（　　）

A．2a+2b﹣2c B．2a+2b C．2c D．0

【解答】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，

得a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，

故|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|＝a+b﹣c+c﹣a﹣b＝0．

故选：D．

5．若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（　　）

A．1 B．2 C．4 D．8

【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，

即2＜a＜8，

即符合的只有4，

故选：C．

6．已知n是正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有（　　）

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个

【解答】解：由三角形三边关系可得，

，

解得2＜n＜10，

∴正整数n有7个：3，4，5，6，7，8，9．

故选：D．

7．长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

【解答】解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；

②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；

③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；

④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；

综上所述，得到三角形的最长边长为5．

故选：B．

二．填空题（共5小题）

8．三边长均为整数的三角形周长为50，其最长边是最短边的2倍长，则最短边长是 　11或12　．

【解答】解：设最短边长为x，最长的边长为2x，则第三边长为50﹣3x，

∴该三角形三边的关系有，

解得：10＜x＜12.5，

∵三边长均为整数，

∴最短的边长为11或12．

故答案为：11或12．

9．多边形木架具有不稳定性，但加钉一些木条可以使其保持形状不变

根据上面规律，要使一个2n（n≥2）边形的木架形状不变，至少要钉　（2n﹣3）　根木条．

【解答】解：∵4﹣1＝3，5﹣2＝3，6﹣3＝3，7﹣4＝3，…

∴要使一个2n边形木架不变形，至少需要（2n﹣3）根木条固定．

故答案为：（2n﹣3）．

10．如果将长度为a﹣2，a+5和a+2的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么a的取值范围是 　a＞5　．

【解答】解：因为﹣2＜2＜5，

所以a﹣2＜a+2＜a+5，

所以由三角形三边关系可得a﹣2+a+2＞a+5，

解得：a＞5．

则不等式的解集是：a＞5．

故答案为：a＞5．

11．设a，b，c为△ABC的三边，化简|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|＝　a﹣3b+c　．

【解答】解：∵a，b，c为△ABC的三边，

∴a﹣b+c＞0，a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，

∴|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|＝a﹣b+c﹣（a+b﹣c）+（a﹣b﹣c）

＝a﹣b+c﹣a﹣b+c+a﹣b﹣c

＝a﹣3b+c．

故答案为：a﹣3b+c．

12．已知△ABC三边分别为a、b、c，若a＝3，b＝4，则c的取值范围是　1＜c＜7　；已知四边形ABCD四边分别为a、b、c、d，若a＝3，b＝4，d＝10，则c的取值范围是　3＜c＜17　．

【解答】解：由三角形的三边关系，得

第三边的取值范围是：4﹣3＜x＜4+3，

解得1＜x＜7．

由三角形的三边关系，得

4﹣3＜对角线的长＜4+3，即1＜对角线的长＜7，

则c的取值范围是10﹣7＜c＜10+7，即3＜c＜17．

故答案为：1＜x＜7；3＜c＜17．

三．解答题（共5小题）

13．由下列长度的三条线段能组成三角形吗？请说明理由．

（1）1cm，2cm，3.5cm；

（2）4cm，5cm，9cm；

（3）6cm，8cm，13cm．

【解答】解：（1）∵1+2＝3＜3.5，

∴不能组成三角形；

（2）∵4+5＝9，

∴不能组成三角形；

（3）∵6+8＞13，

∴能组成三角形．

14．已知三角形的两边长分别为3cm和7cm．

（1）试确定三角形第三边长x的取值范围．

（2）若第三边的长为偶数，求三角形的周长．

（3）若三角形为等腰三角形，则三角形的周长为　17　cm．

【解答】解：（1）根据三角形三边关系，得7﹣3＜x＜7+3，即4＜x＜10；

（2）因为4＜x＜10，且x是偶数，所以x＝6或x＝8；

所以三角形的周长为3+7+6＝16cm或3+7+8＝18cm；

（3）若三角形是等腰三角形，则第三边只能是7cm，

周长为3+7+7＝17cm，

故答案为17．

15．已知等腰三角形的周长为21cm，一腰上的中线把等腰三角形分成周长之差为3cm的两个三角形，求等腰三角形的腰长．

【解答】解：设腰长为xcm，底边长为ycm．

（1）若腰比底边长，

根据题意得，

解得；

（2）若底边比腰长，

根据题意得，

解得．

故这个三角形的腰长是8cm或6cm．

16．已知a、b、c为△ABC的三边长；

①b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求出该三角形的周长，并判断△ABC的形状．

②若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值和最小值．

【解答】解：①∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，

∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，

解得：b＝2，c＝3，

∵a为方程|a﹣4|＝2的解，

∴a﹣4＝±2，

解得：a＝6或2，

∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，

∴a＝6不合题意舍去，

∴a＝2，

∴△ABC的周长为：2+2+3＝7，

∴△ABC是等腰三角形．

②∵a＝5，b＝2，c为整数，

∴5﹣2＜c＜2+5，

∴c的最小值为4，c的最大值为6，

∴△ABC的周长的最大值＝5+2+6＝13，最小值＝5+2+4＝11．

17．如图，D，E是△ABC内两点，求证：AB+AC＞BD+DE+CE．

【解答】证明：延长DE、ED分别交AB、AC于F、G，

在△AFG中：AF+AG＞FG①，

在△BFD中：FB+FD＞BD②，

在△EGC中：EG+GC＞EC③，

∵FD+ED+EG＝FG，

∴①+②+③得：

AF+FB+FD+EG+GC+AG＞FG+BD+EC，

即：AB+FD+EG+AC＞FG+BD+EC，

AB+AC＞FG﹣FD﹣EG+BD+EC，

∴AB+AC＞BD+ED+EC．

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日期：2022/3/29 14:31:57；用户：杨晓忆；邮箱：syx071@xyh.com；学号：24369258