初中人教版第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.2 菱形一课一练

第十八章 平行四边形

18.2.2 菱形

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．菱形的两条对角线的分别为60 cm和80 cm，那么边长是

A．60 cm    B．50 cm   C．40 cm   D．80 cm

【答案】B

【解析】如图，

∵菱形的两条对角线的长是60 cm和80 cm，∴OA=×80=40 cm，OB=×60=30 cm，

又∵菱形的对角线AC⊥BD，∴AB==50 cm，∴这个菱形的边长是50 cm．故选B．

2．已知四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为菱形，还需要添加一个条件，这个条件是

A．AB=CD   B．AB=BC   C．AD=BC   D．AC=BD

【答案】B

3．菱形具有而矩形不具有的性质是

A．对角线相等       B．对角线互相平分

C．对角线互相垂直      D．对角线平分且相等

【答案】C

【解析】A．菱形的对角线不一定相等，矩形的对角线一定相等，故本选项错误；

B．菱形和矩形的对角线均互相平分，故本选项错误；

C．菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直（互相垂直时是正方形），故本选项正确；

D．菱形和矩形的对角线均互相平分且相等，故本选项错误．故选C．

4．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于

A．3.5    B．4    C．7    D．14

【答案】A

5．如图，四边形ABCD加上以下条件中的哪个，我们可认为它是菱形

A．AC⊥BD        B．∠1=∠2，∠3=∠4

C．AO=CO，BO=DO      D．AB=BC=CD=DA

【答案】D

【解析】若AB=BC=CD=AD，则四边形ABCD是菱形．故选D．

6．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AC=12，AB=7，则菱形ABCD的面积是

A．12   B．36    C．24   D．60

【答案】A

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC⊥BD，OA=OC=AC=6，OB=OD=BD，

∴OB==，∴BD=2，∴菱形ABCD的面积=AC×BD=×12×2=12．故选A．

7．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于

A．60°    B．55°    C．45°    D．30°

【答案】A

【解析】如图，连接AC，

∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，∴AB=AC，AD=AC．

又∵在菱形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∴AB=BC=CD=AD=AC．∴△ABC和△ADC都是等边三角形，

∴∠BAC=∠DAC=60°，∴∠EAC=∠BAC=30°，∠FAC=∠DAC=30°，∴∠EAF=∠EAC+∠FAC=60°．

故选A．

8．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC=30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④△DBF≌△EFA．其中正确结论的序号是

A．②④    B．①③    C．②③④   D．①③④

【答案】D

【解析】∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC=60°，AE=AC．∵∠BAC=30°，∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC．

∵F为AB的中点，∴AB=2AF，∴BC=AF，∴△ABC≌△EFA，∴∠AEF=∠BAC=30°，∴EF⊥AC．故①正确；（含①的只有B和D，它们的区别在于有没有④．它们都是含30°的直角三角形，并且斜边是相等的）．

∵AD=BD，BF=AF，∴∠DFB=90°，∠BDF=30°．∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，∴∠DFB=∠EAF．

∵EF⊥AC，∴∠AEF=30°，∴∠BDF=∠AEF，∴△DBF≌△EFA（AAS），故④正确．故选D．

二、填空题：请将答案填在题中横线上．

9．如图，已知平行四边形ABCD，AC，BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为__________．（只写出符合要求的一个即可）

【答案】AB=BC

10．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（-2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是__________．

【答案】（-5，4）

【解析】由题知A（3，0），B（-2，0），D在y轴上，∴AB=3-（-2）=5，OA=3，BO=2，

由菱形邻边相等可得AD=AB=5，在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD==4，

由菱形对边相等且平行得CD=BA=5，所以C（-5，4）．故答案为：（-5，4）．

11．如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED=__________．

【答案】20°

12．如图，ABCD是菱形，AC是对角线，点E是AB的中点，过点E作对角线AC的垂线，垂足为点M，交AD边于点F，连接DM．若∠BAD=120°，AE=2，则DM=__________．

【答案】

【解析】如图，过M作MN⊥AD于N，

∵四边形ABCD是菱形，∴，

∵EF⊥AC，∴AE=AF=2，∠AFM=30°，∴AM=1，Rt△AMN中，∠AMN=30°，∴，

∵AD=AB=2AE=4，∴，由勾股定理得：

．

故答案为：．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

13．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AC平分DAB，作CE垂直AC交AB的延长线于点E，若AB=BE，求证：四边形ABCD是菱形．

∴DAC=CAB=ACB，

∴AD∥BC．

∵AD=BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AB=BC，

∴四边形ABCD是菱形．

14．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，DE∥BC，且CE=CD．

（1）求证：∠B=∠DEC；

（2）求证：四边形ADCE是菱形．

【解析】（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，

∴CD=DB，

∴∠B=∠DCB，

∵DE∥BC，

∴∠DCB=∠CDE，

∵CD=CE，

∴∠CDE=∠CED，

∴∠B=∠CED．

（2）∵DE∥BC，

∴∠ADE=∠B，

∵∠B=∠DEC，

∴∠ADE=∠DEC，

∴AD∥EC，

∵EC=CD=AD，

∴四边形ADCE是菱形．

15．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于E，点F在AD上，且AF=AB，连接EF．

（1）判断四边形ABEF的形状并证明；

（2）若AE、BF相交于点O，且四边形ABEF的周长为20，BF=6，求AE的长度及四边形ABEF的面积．

∴BE=AB，

又∵AF=AB，

∴BE=AF，

又∵BE∥AF，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∵AF=AB，

∴四边形ABEF是菱形．

（2）∵四边形ABEF为菱形，

∴AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，

在Rt△AOB中，，

∴AE=2AO=8．

∴四边形ABEF的面积为：．

综上所述，AE=8，四边形ABEF的面积是24．

16．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．

（1）求证：四边形ODEC是矩形；

（2）当∠ADB=60°，AD=2时，求EA的长．

（2）∵Rt△AOD中，∠ADO=60°，

∴∠OAD=30°，

∴OD=AD=，

∴AO==3，

∴AC=6，

∵四边形ODEC是矩形，

∴EC=OD=，∠ACE=90°，

∴AE==．