人教版八年级下册第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形测试题

矩　　形

一、选择题(每小题4分,共12分)

1.(包头中考)如图,四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形,点B在EF边上,若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1,S2,则S1,S2的大小关系是(　　)

A.S1>S2　  B.S1=S2　  C.S1<S2　  D.3S1=2S2

2.(南充中考)如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B'处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是(　　)

A.12   B.24   C.12   D.16

3.如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A,B分别在边OM,ON上,当B在边ON上运动时,A随之在OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中,点D到点O的最大距离为(　　)

A.+1  B.   C.   D.

二、填空题(每小题4分,共12分)

4.(北京中考)如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为　　　　　.

5.(漳州中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是斜边AB的中点,DE⊥AC,垂足为E,若DE=2,CD=2,则BE的长为　　　　.

6.如图,四边形ABCD是矩形,点E在线段CB的延长线上,连接DE交AB于点F,∠AED=2∠CED,点G是DF的中点,若BE=1,AG=4,则AB的长为　　　　.

三、解答题(共26分)

7.(8分)(湘西中考)如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD的中点,连接AF,CE .

(1)求证:△BEC≌△DFA.

(2)求证:四边形AECF是平行四边形.

8.(8分)已知:如图,矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,AE平分∠BAD,若∠EAO=

15°,求∠BOE的度数.

【拓展延伸】

9.(10分)阅读以下短文,然后解决下列问题:[来源:学。科。网Z。X。X。K]

如果一个三角形和一个矩形满足条件:三角形的一边与矩形的一边重合,且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上,则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”.如图①所示,矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”.显然,当△ABC是钝角三角形时,其“友好矩形”只有一个.

(1)仿照以上叙述,说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”.

(2)如图②,若△ABC为直角三角形,且∠C=90°,在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”,并比较这些矩形面积的大小.

(3)若△ABC是锐角三角形,且BC>AC>AB,在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”,指出其中周长最小的矩形并加以证明.

答案解析

1.【解析】选B.矩形ABCD的面积S1=2S△ABC,而S△ABC=S2,所以S1=S2.

2.【解析】选D.由两直线平行,内错角相等,

知∠DEF=∠EFB=60°,∴∠AEF=∠A'EF=120°,

∴∠A'EB'=60°,A'E=AE=2,求得A'B'=2,

∴AB=2,矩形ABCD的面积为S=2×8=16.

【归纳整合】解决矩形中折叠问题的两个思路

(1)运用矩形的对边相等、对角线相等、四个角是直角等性质.

(2)运用轴对称的性质,找出折叠前后相等的角、线段.

3.【解析】选A.取AB的中点E,连接OE,DE,OD,

则OE=AB=1,AE=1,∴DE=,当D,E,O三点共线时,OD=OE+DE,否则OD<OE+DE,

∴OD长的最大值是+1.

4.【解析】由勾股定理得AC=13,

∵BO为直角三角形斜边上的中线,

∴BO=6.5,

由三角形中位线定理得MO=2.5,

∴四边形ABOM的周长为:6.5+2.5+6+5=20.[来源:学.科.网]

答案:20

5.【解析】∵∠ACB=90°,点D是斜边AB的中点,DE⊥AC,∴BC=2DE=4.[来源:Z+xx+k.Com]

∴AB=2CD=4,

∴AC===8.

∴CE=AC=4,∴BE===4.

答案:4

6.【解析】∵四边形ABCD是矩形,

∴AD∥BC.∴∠CED=∠ADE.

∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°.

∵点G是DF的中点,

∴AG=DF=DG.∴∠AGE=2∠ADE=2∠CED.

又∵∠AED=2∠CED,∴∠AGE=∠AED,

∴AE=AG=4.

在Rt△ABE中AB===.

答案:

7.【证明】(1)∵四边形ABCD是矩形,

∴AB=CD,AD=BC.

又∵E,F分别是边AB,CD的中点,

∴BE=DF,

∵在△BEC和△DFA中,

∴△BEC≌△DFA(SAS).

(2)由(1)得,CE=AF,又CF=AE,

故可得四边形AECF是平行四边形.

8.【解析】∵AD∥BC,

∴∠DAE=∠AEB.

∵AE平分∠DAB,∴∠DAE=∠BAE.

∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE.

∵∠BAD=90°,∠BAE=∠EAD,∴∠BAE=45°.

∵∠EAO=15°,∴∠BAO=45°+15°=60°.

∵OA=OB,∴△AOB是等边三角形,∴BO=AB.

∵AB=BE,∴BO=BE,∴∠BOE=∠BEO.

∵∠ABE=90°,∠ABO=60°,∴∠OBE=30°.

在△BOE中,∵∠BOE+∠BEO+∠OBE=180°,

∴∠BOE=(180°-∠OBE)=75°.

9.【解析】(1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件:三角形的一边与平行四边形的一边重合,三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上,则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.

(2)此时共有2个“友好矩形”,如图,矩形BCAD,矩形ABEF.

易知,矩形BCAD,矩形ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍,

∴△ABC的“友好矩形”的面积相等.

(3)此时共有3个“友好矩形”,如图中矩形BCDE,矩形CAFG及矩形ABHK,其中矩形ABHK的周长最小.[来源:学&科&网Z&X&X&K][来源:学科网]

证明如下:易知,这三个矩形的面积相等,令其为S.设矩形BCDE,矩形CAFG及矩形ABHK的周长分别为L1,L2,L3,△ABC的边长BC=a,CA=b,AB=c,则L1=+2a,L2=+2b,L3=+2c.

∴L1-L2=-=2(a-b)×,而ab>S,a>b,∴L1- L2>0,即L1> L2.

同理可得,L2> L3,

∴L3最小,即矩形ABHK的周长最小.