人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念第1课时导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念第1课时导学案，共10页。学案主要包含了补偿训练，思路导引，拓展延伸，拓展训练等内容，欢迎下载使用。
第1课时　集合的含义导思1.什么是集合？什么是元素？元素与集合有着怎样的关系？2．常见的数集有哪些？它们用什么符号表示？1.元素与集合(1)元素(2)集合(3)集合中元素的特性确定性、互异性和无序性．　(1)集合中的“研究对象”所指的就是数学中的数、点、代数式吗？提示：集合中的“研究对象”所指的范围非常广泛，可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等．(2)“很瘦的人”能构成集合吗？为什么？提示：“很瘦的人”不能构成集合．因为它没有确定的标准．如果给定一个集合A，一个研究对象a是不是这个集合中的元素就确定了．2．元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A的元素，就说a属于集合Aa∈Aa属于集合A续表关系概念记法读法不属于如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合Aa∉Aa不属于集合A　元素与集合之间有第三种关系吗？提示：对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．3．常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR　N与N＋(或N*)有何区别？提示：N＋(或N*)是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋(或N*)多一个元素0.1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”) (1)在一个集合中可以找到两个相同的元素．(　　)(2)好听的歌能组成一个集合．(　　)(3)高一(1)班所有姓氏构成的集合．(　　) (4)含有1，2，3三个元素的集合有6个．(　　)提示：(1)×.集合中的元素是互不相同的．(2)×.好听的歌是不确定的，所以好听的歌不能组成一个集合．(3)√.高一(1)班的姓氏是确定的，所以能构成集合．(4)×.因为集合中的元素满足无序性，故含有1，2，3三个元素的集合只有1个．2．已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________．【解析】由题意可知a＋1＝4，即a＝3.答案：33．用“∈”或“∉”填空：________N；－3________Z；________Q；0________N*；________R.【解析】由N，Z，Q，R，N*所表示的数集以及各个实数值，即可得出结论，依次填写∉，∈，∉，∉，∈.答案：∉　∈　∉　∉　∈类型一　元素与集合的相关概念(数学抽象)1．下列能构成集合的是(　　)A．中央电视台著名节目主持人B．我市跑得快的汽车C．上海市所有的中学生D．香港的高楼　【解析】1.选C.A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．2．以下元素的全体不能构成集合的是(　　)A．我班的所有班委会成员B．周长为10 cm的三角形C．方程x2－1＝0的实数解D．地球上的小河流　【解析】2．选D.在A中，我班的班委会成员具有确定性，能构成集合；在B中，周长为10 cm的三角形具有确定性，能构成集合；在C中，方程x2－1＝0的实数解为x＝±1，能构成集合；在D中，地球上的小河流不确定，因此不能构成集合．3．集合P中含有两个元素分别为1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若P与Q相等，则a＝________．　【解析】3．由题意，得a2＝4，a＝±2.答案：±24．下列说法中，正确的有________．(填序号)①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合．　【解析】4．①不正确．book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.②正确．集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形．③不正确．小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关．答案：② 1．一组对象能构成集合的两个条件(1)能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．(2)任何两个对象都是不同的．2．集合相等的注意点若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等．【补偿训练】 下列说法正确的个数为(　　)(1)所有的等腰三角形构成一个集合．(2)倒数等于它自身的实数构成一个集合．(3)质数的全体构成一个集合．(4)由2，3，4，3，6，2构成含有6个元素的集合．A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4【解析】选C.(1)正确．(2)正确，若＝a，则a2＝1，所以a＝±1，构成的集合为{1，－1}．(3)正确，任何一个质数都在此集合中，不是质数的都不在．(4)不正确，集合中的元素具有互异性，构成的集合为{2，3，4，6}，含有4个元素．类型二　元素与集合的关系(数学抽象、逻辑推理)1．已知集合A由x<1的数构成，则有(　　)A．3∈A    B．1∈A    C．0∈A    D．－1∉A　【解析】1.选C.很明显3，1不满足不等式，而0，－1满足不等式．2．由不超过5的实数组成集合A，a＝＋，则(　　)A．a∈A    B．a2∈AC．∉A    D．a＋1∉A　【解析】2．选A.a＝＋<＋＝4<5，所以a∈A.a＋1<＋＋1＝5，所以a＋1∈A，a2＝()2＋2×＋()2＝5＋2>5，所以a2∉A，＝＝＝－<5，所以∈A.3．已知集合A含有三个元素1，0，x，若x2∈A，则实数x＝________．　【解析】3．因为x2∈A，所以x2＝1，或x2＝0，或x2＝x，所以x＝±1，或x＝0.当x＝0或x＝1时不满足集合中元素的互异性，所以x＝－1.答案：－14．已知集合A是由形如m＋n(其中m，n∈Z)的数组成的，判断是不是集合A中的元素？　【解析】4．是．因为＝2＋，此时m＝2，n＝1，满足集合A中数的构成形式．所以是集合A中的元素． 判断元素和集合关系的两种方法　(1)直接法．①使用前提：集合中的元素是直接给出的；②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可．(2)推理法．①使用前提：对于某些不便直接表示的集合；②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．【补偿训练】 1.设A是方程x2－ax－5＝0的解组成的集合，且－5∈A，则实数a的值为(　　)A．－4    B．4    C．1    D．－1【解析】选A.因为－5∈A，所以(－5)2－a×(－5)－5＝0，所以a＝－4.2．已知集合A中元素x满足－≤x≤，且x∈N*，则必有(　　)A．－1∈A    B．0∈A    C．∈A    D．1∈A【解析】选D.x∈N*，且－≤x≤，所以x＝1，2.所以1∈A.类型三　集合中元素的特性(数学抽象、逻辑推理)角度1　依据元素的特性求参数值【典例】已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，(1)若－3∈A，试求实数a的值．(2)若a∈A，试求实数a的值．【思路导引】(1)从－3∈A，列方程求a的值，再检验元素的互异性．(2)从a∈A，列方程求a的值，再检验元素的互异性．【解析】(1)因为－3∈A, 所以a－3＝－3或2a－1＝－3.若a－3＝－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．若2a－1＝－3，则a＝－1.此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.(2)因为a∈A，所以a－3＝a或2a－1＝a.当a－3＝a时，有－3＝0，不成立．当2a－1＝a时，有a＝1，此时A中有两个元素－2，1，符合题意．综上知a＝1.　若本例(1)－3∈A改为－3∉A，试求a的取值范围．【解析】因为－3∉A，所以－3≠a－3，且－3≠2a－1，且a－3≠2a－1.解得：a≠0，且a≠－1，且a≠－2.所以a的取值范围为a≠0，且a≠－1，且a≠－2.角度2　依据元素的特性求集合中的元素【典例】若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则＋的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．【思路导引】从与，可分类讨论a与b的正负值，求解．【解析】当a，b同正时，＋＝＋＝1＋1＝2.当a，b同负时，＋＝＋＝－1－1＝－2.当a，b异号时，＋＝0.所以＋的可能取值所组成的集合中元素共有3个．答案：3 1．根据集合中元素的特性求值的三个步骤2．依据元素的特性求集合中的元素的两点注意一点是解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．二点要注意集合中元素的互异性，忽视互异性往往会产生不合条件的解的情形．1．已知集合A中含有1和a2＋a＋1两个元素，且3∈A，则a3的值为(　　)A．0    B．1    C．－8    D．1或－8　【解析】1.选D.依题意得：a2＋a＋1＝3，整理，得(a＋2)(a－1)＝0，解得a1＝－2，a2＝1.故a3＝－8或a3＝1.2．若集合M中的三个元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是(　　)A．锐角三角形    B．直角三角形C．钝角三角形    D．等腰三角形　【解析】2．选D.由集合中元素的互异性可知，集合中的任何两个元素都不相同，所以△ABC一定不是等腰三角形．3．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.(1)求实数x应满足的条件．(2)若－2∈A，求实数x.　【解析】3．(1)由集合中元素的互异性可知，x≠3，且x≠x2－2x，x2－2x≠3.解之得x≠－1且x≠0，且x≠3.(2)因为－2∈A，所以x＝－2或x2－2x＝－2.由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以x＝－2.【拓展延伸】　　　　集合中元素的特性的主要作用(1)确定性的主要作用是判断一组对象能否构成集合，只有这种对象具有确定性时才能构成集合．(2)无序性的主要作用是验证集合相等与否．当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相等，只要元素完全一致即可．(3)互异性的主要作用是做题后进行检验．特别是题中含有参数(字母)，求出参数(字母)的值后一定要检验求出的参数(字母)是否满足集合中元素的互异性．【拓展训练】　数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1).若∈A，求集合中的其他元素．【解析】因为∈A，所以＝2∈A，所以＝－3∈A，所以＝－∈A，所以＝∈A.故当∈A时，集合中的其他元素为2，－3，－.【补偿训练】　下列说法正确的是________．(填序号)①某个单位里的年轻人组成一个集合；②1，，，，这些数组成的集合含有五个元素；③由a，b，c组成的集合与由b，a，c组成的集合是同一个集合；④方程(x－3)2＝0的解组成的集合有2个元素．【解析】①不正确．因为“年轻人”没有明确的标准，不具有确定性，不能组成集合．②不正确．根据互异性知，这个集合是由三个元素1，，组成的．③正确．集合中的元素相同，只是次序不同，它们表示同一个集合．④不正确．方程(x－3)2＝0的解是x1＝x2＝3，因此组成的集合只有3一个元素．答案：③1．下列语句能确定一个集合的是(　　)A．充分小的负数B．爱好飞机的一些人C．某班本学期视力较差的同学D．某校某班某一天的所有课程【解析】选D.由集合的含义，根据集合元素的确定性，易排除A，B，C.2．(教材二次开发：习题改编)下列关系中，正确的有(　　)①∈R；②∉Q；③|－3|∈N；④|－|∈Q.A．1个    B．2个    C．3个    D．4个【解析】选C.因为是实数，是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－|＝是无理数．所以，①②③正确，④错误．3．满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是(　　)A．0    B．1    C．2    D．3【解析】选C.因为a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N，若a＝0，则4－a＝4，此时A＝{0，4}满足要求；若a＝1，则4－a＝3，此时A＝{1，3}满足要求；若a＝2，则4－a＝2，此时A＝{2}不满足要求．故有且只有2个元素的集合A有2个．4．下列说法中：①集合N与集合N＋是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________(填序号).【解析】因为集合N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④