人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念第2课时学案及答案

第2课时　集合的表示

1.列举法

把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法．

　(1)一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？

提示：用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序．

例如：{a，b}与{b，a}表示同一个集合．

(2)数集R可以写为{实数集}、{全体实数}、{R}吗？

提示：实数集R可以写为{实数}，但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R}都是不正确的．因为花括号“{ }”表示“所有”“整体”的含义．

2．描述法

(1)用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．

(2)具体步骤：

①在花括号内写上表示这个集合的元素的一般符号及取值(或变化)范围．

②画一条竖线．

③在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．

　{(x，y)|y＝x2＋2}能否写为{x|y＝x2＋2}或{y|y＝x2＋2}呢？

提示：不能，(x，y)表示集合的元素是有序实数对或点，而x或y则表示集合的元素是数，所以用描述法表示集合时一定要弄清集合的元素是什么．

1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)

(1)不等式x ＞1的解集可以用列举法表示．(　　)

(2){x∈Z|x＝2k，k∈Z}与{x∈Z|x＝2k，k∈N}是相等的集合．(　　)

(3)集合{(1，2)}和{1，2}表示同一个集合．(　　)

(4)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示同一个集合．(　　)

提示：(1)×.不等式x＞1的解集中有无限多个元素，无法一一列出，不能用列举法表示．

(2)×.{x∈Z|x＝2k，k∈Z }表示所有偶数构成的集合，{x∈Z| x ＝2k，k ∈N } 表示所有非负偶数构成的集合，两个集合是不相等的．

(3)×.集合{(1，2)}中只有一个元素为(1，2)，而{1，2}中有两个元素1和2.

(4)√.虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集合．

2．(教材例题改编)方程x2＝4的解组成的集合用列举法表示为(　　)

A．{(－2，2)}    B．{－2，2}

C．{－2}    D．{2}

【解析】选B.由x2＝4得x＝±2，

故用列举法可表示为{－2，2}．

3．集合{2，4，6，8，10}可用描述法表示为________．

【解析】2，4，6，8，10均为偶数，

故该集合可用描述法表示为

{x|x＝2n，n∈N＋，且n≤5}．

答案：{x|x＝2n，n∈N＋，且n≤5}

类型一　列举法表示集合(数学抽象)

1．(2021·枣庄高一检测)下列集合中，表示方程组的解集的是(　　)

A．{2，1}    B．{x＝2，y＝1}

C．{(2，1)}    D．{(1，2)}

　【解析】1.选C.方程组的解是

所求集合为{(2，1)}．

2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a等于(　　)

A．1    B．－1    C．2    D．－2

【解析】2．选C.由题知a＋b＝0且b＝1，a＝－1，则b－a＝2.

3．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是(　　)

A．{1，－2}    B．{x＝1，y＝－2}

C．{(－2，1)}    D．{(1，－2)}

【解析】3．选D.由得

所以两函数图象的交点组成的集合是{(1，－2)}．

4．求方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M.

【解析】4．方程(x－2)2(x－3)＝0的解为x＝2或x＝3，

所以M＝{2，3}．

1．用列举法表示集合的三个步骤

(1)求出集合的元素．

(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．

(3)用花括号括起来．

2．在用列举法表示集合时的关注点

二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2，3)，(5，－1)}．

【补偿训练】

 1.设集合A＝{2，x，x2－30}，若－5∈A，则x的值为________．

【解析】因为集合中有三个元素，且－5是集合A中的元素，因此－5＝x或者－5＝x2－30，解得x＝－5或x＝5，而x＝－5不合题意，舍去，故x＝5.

答案：5

2．用列举法表示集合{x|x＝(－1)n，n∈N}＝________．

【解析】当n为奇数时，(－1)n＝－1；

当n为偶数时，(－1)n＝1，

所以{x|x＝(－1)n，n∈N}＝{－1，1}．

答案：{－1，1}

类型二　描述法表示集合(数学抽象、逻辑推理)

1．用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是(　　)

A．{x|y＝3x＋1}    B．{y|y＝3x＋1}

C．{(x，y)|y＝3x＋1}    D．{y＝3x＋1}

　【解析】1.选C.该集合是点集，故可表示为{(x，y)|y＝3x＋1}．

2．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为(　　)

A．3    B．6    C．8    D．10

【解析】2．选D.x＝5，y＝1，2，3，4；x＝4，y＝1，2，3；

x＝3，y＝1，2；x＝2，y＝1，共10个．

3．下列集合恰有两个元素的是(　　)

A．{x2－x＝0}    B．{x|y＝x2－x}

C．{y|y2－y＝0}    D．{y|y＝x2－x}

【解析】3．选C.A项为一个方程集，只有一个元素；B项为方程y＝x2－x的定义域，有无数个元素；C项为方程y2－y＝0的解，有0，1两个元素；D项为函数y＝x2－x的值域，有无数个元素．故选C.

1．用描述法表示集合的两个步骤

2．用描述法表示集合应注意的四点

(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}．

(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，

{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．

(3)不能出现未被说明的字母．

(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解组成的集合可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．

1．下列集合的表示方法正确的是(　　)

A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}

B．不等式x－1<4的解集为{x<5}

C．{全体整数}

D．实数集可表示为R

【解析】选D.选项A中应是xy<0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{}”与“全体”意思重复．

2．下面对集合{1，5，9，13，17}用描述法表示，其中正确的一个是(　　)

A．{x|x是小于18的正奇数}

B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，k<5}

C．{x|x＝4t－3，t∈N，t<5}

D．{x|x＝4s－3，s∈N*，s<6}

【解析】选D.集合中的元素除以4余1，故可以用4k＋1(0≤k≤4，k∈Z)或4k－3(1≤k≤5，k∈Z)来表示，D项的表示正确．

3．能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为______．

【解析】正整数中所有的偶数均能被2整除．

答案：{x|x＝2n，n∈N*}

4．集合{x∈Z|2x2－3x＋1＝0}中元素为________．

【解析】由2x2－3x＋1＝0得x＝1或x＝，

因为x∈Z，所以x＝1，所以元素为1.

答案：1

【拓展延伸】

下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．

(1)它们各自的含义是什么？

(2)它们是不是相同的集合？

提示：(1)集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，满足条件y＝x2＋1中的x∈R，所以实质上{x|y＝x2＋1}＝R；集合②的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以实质上{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}；集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可以认为是满足y＝x2＋1的数对(x，y)的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的集合，且这些点的坐标满足y＝x2＋1，所以{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．

(2)由(1)中三个集合各自的含义知，它们是不同的集合．

【拓展训练】

1．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示(　　)

A．方程y＝2x－1

B．点(x，y)

C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合

D．一次函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合

【解析】选D.本题中的集合是点集，其表示一次函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合．

2．写出满足下列条件的集合

(1)满足y＝x2的所有x的集合A.

(2)满足y＝x2的所有y的集合B.

(3)满足y＝x2的所有点组成的集合C.

【解析】(1)满足y＝x2的所有x为全体实数，所以A＝{x|y＝x2}＝R.

(2)满足y＝x2的所有y为全体非负实数，所以B＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}．

(3)满足y＝x2的所有点组成抛物线，所以C＝{(x，y)|y＝x2}．

类型三　集合表示方法的综合应用(数学抽象、逻辑推理)

角度1　用适当的方法表示集合

【典例】用适当的方法表示集合

(1)比1大又比10小的实数的集合．

(2)3和4的所有正的公倍数构成的集合．

(3)方程组的解组成的集合B.

(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合．

【思路导引】选择适当的表示方法的原则是列举法通常用于表示元素个数较少的集合，描述法通常用于表示元素具有明显共同特征的集合．

【解析】(1){x∈R|1<x<10}．

(2)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}．

(3)解得所以B＝{(3，2)}．

(4)集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x，y)|x<0，且y>0}．

角度2　已知与参数有关的集合求参数值或范围

【典例】若集合A＝{x|mx2＋2x＋m＝0，m∈R}中有且只有一个元素，则m的取值集合是__________．

【思路导引】集合A有且只有一个元素可转化为关于x的方程mx2＋2x＋m＝0只有一个实数根，求出m的值．

【解析】当m＝0时，方程mx2＋2x＋m＝0为2x＝0，解得x＝0，A＝{0}；

当m≠0时，若集合A只有一个元素，

则一元二次方程mx2＋2x＋m＝0有相等实根，

所以判别式Δ＝22－4m2＝0，解得m＝±1；

综上，当m＝0或m＝±1时，集合A只有一个元素．

所以m的值组成的集合B＝{－1，0，1}．

答案：{－1，0，1}

　若本例“有且只有一个元素改为两个元素”，试求m的取值范围．

【解析】因为A中有两个元素，所以该方程mx2＋2x＋m＝0为一元二次方程，且有两个解，

所以m≠0，且Δ＝22－4m2>0，

解得－1<m<1，且m≠0.所以－1<m<1，且m≠0.

1．解答集合表示方法综合题的策略

(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．

(2)若已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键．

2．方程、不等式等知识与集合交汇问题的处理

(1)准确理解集合中的元素，明确元素的特征性质．

(2)解题时还应注意方程、不等式等知识以及转化、分类与整合思想的综合应用．

1．规定⊗与⊕是两个运算符号，其运算法则如下：对任意实数a，b有a⊗b＝ab，a⊕b＝b(a2＋b2＋1).若－2<a<b<2，a，b∈Z，则集合A＝用列举法可表示为________．

【解析】由－2<a<b<2，a，b∈Z，

得a＝－1，b＝0或a＝0，b＝1或a＝－1，b＝1.

x＝2(a⊗b)＋＝2ab＋a2＋b2＋1＝(a＋b)2＋1，(*)

将a＝－1，b＝0代入(*)式，得x＝2；将a＝0，b＝1代入(*)式，得x＝2；将a＝－1，b＝1代入(*)式，得x＝1，故A＝{1，2}．

答案：{1，2}

2．设集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a，0}，若A，B相等，则实数a＝________．

【解析】由集合相等的概念得解得a＝1.

答案：1

3．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中至少有一个元素，求实数k的值组成的集合．

【解析】由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根．

①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，符合题意；

②当k≠0时，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根，则Δ＝64－64k≥0，即k≤1.

综合①②可知，实数k的取值集合为{k|k≤1}．

1．已知x∈N，则方程x2＋x－2＝0的解集为(　　)

A．{x|x＝2}    B．{x|x＝1或x＝－2}

C．{x|x＝1}    D．{1，2}

【解析】选C.方程x2＋x－2＝0的解为x＝1或x＝－2.由于x∈N，所以x＝－2舍去．

2．集合{x∈N*|x－3<2}用列举法可表示为(　　)

A．{0，1，2，3，4}    B．{1，2，3，4}

C．{0，1，2，3，4，5}    D．{1，2，3，4，5}

【解析】选B.因为x－3<2，所以x<5，

又因为x∈N*，所以x＝1，2，3，4.

3．(教材二次开发：练习改编)已知集合A＝{x∈N|x<6}，则下列关系不成立的是(　　)

A．0∈A    B．1.5∉A    C．－1∉A    D．6∈A

【解析】选D.因为A＝{x∈N|x<6}＝{0，1，2，3，4，5}，

所以6∉A.

4．集合{x∈N|2x－5<0}中所有元素的和为________．

【解析】由2x－5<0得x<，

因为x∈N，所以x＝0，1，2，所以元素之和为3.

答案：3

5．用列举法表示集合A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N*}为A＝________．

【解析】集合A是由方程x＋y＝3的部分整数解组成的集合，由条件可知，当x＝0时，y＝3；当x＝1时，y＝2；当x＝2时，y＝1，故A＝{(0，3)，(1，2)，(2，1)}．

答案：{(0，3)，(1，2)，(2，1)}