苏教版 (2019)选择性必修第一册5.1 导数的概念学案设计

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册5.1 导数的概念学案设计，共10页。学案主要包含了平均变化率的概念，实际问题中的平均变化率，函数中的平均变化率等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.了解平均变化率的实际背景.2.理解平均变化率的含义.3.会求函数在某一点附近的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题．
导语
恩格斯说“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，而且也表明过程：运动”，大家知道，世界充满着变化，有些变化几乎不易被人们所察觉，而有些变化却让人们发出感叹与惊呼！比如同学们身高、体重的变化，学习成绩的变化，在短时间内不易被发现；比如火箭的发射、F1的赛道上，也能让我们感受到速度与激情．
一、平均变化率的概念
问题 如图，从数学的角度刻画气温“陡升”，用怎样的数学模型刻画变量变化的快慢程度？
提示 陡峭程度反应了气温变化的快与慢；AB两点相差31天，气温增加了15.1°C，则有eq \f(18.6－3.5,32－1)≈0.5；而BC两点相差2天，气温增加了14.8°C，则有eq \f(33.4－18.6,34－32)＝7.4，我们用比值刻画了变量变化的快慢程度，比值称为函数在某一区间上的平均变化率．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
知识梳理
1．一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为eq \f(fx2－fx1,x2－x1).
2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
注意点：(1)函数在区间[x1，x2]上有意义．(2)在式子eq \f(fx2－fx1,x2－x1)中，x2－x1>0，而f(x2)－f(x1)的值可正、可负、可为0.(3)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．(4)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
例1 (教材174页例1改编)巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有用“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．试用数学语言给出解释．
解 从A处到B处高度的平均变化率为eq \f(10－0,50－0)＝eq \f(1,5)，
从B处到C处高度的平均变化率为eq \f(15－10,70－50)＝eq \f(1,4)，
由eq \f(1,4)>eq \f(1,5)，知山路从B处到C处比从A处到B处陡峭．
故从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．
反思感悟 平均变化率的大小反映了某过程在单位时间内或单位距离内的变化的快与慢．
跟踪训练1 某森林公园在过去的10年里，森林占地面积变化如图所示，试分别计算前5年与后5年森林面积的平均变化率．
解 前5年森林面积的平均变化率为eq \f(6.5－2.5,5－0)＝0.8(公顷/年)．
后5年森林面积的平均变化率为eq \f(14.5－6.5,10－5)＝1.6(公顷/年)．
二、实际问题中的平均变化率
例2 (教材174页例2改编)2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面1 500 m处开始实施动力下降，7 500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约1 500 m/s降为零.14分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为v，相对月球纵向速度的平均变化率为a，则( )
A．v＝eq \f(25,14) m/s，a＝eq \f(25,14) m/s2
B．v＝－eq \f(25,14) m/s，a＝eq \f(25,14) m/s2
C．v＝eq \f(25,14) m/s，a＝－eq \f(25,14) m/s2
D．v＝－eq \f(25,14) m/s，a＝－eq \f(25,14) m/s2
答案 D
解析 探测器与月球表面的距离逐渐减小，所以v＝eq \f(0－1 500,14×60)＝－eq \f(25,14) m/s；
探测器的速度逐渐减小，所以a＝eq \f(0－1 500,14×60)＝－eq \f(25,14) m/s2.
反思感悟 平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等．分清自变量和因变量是解决此类问题的关键．
跟踪训练2 蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T＝eq \f(120,t＋5)＋15，其中T为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)，则t＝0到t＝10 min，蜥蜴的体温的平均变化率为________℃/min.
答案 －1.6
解析 eq \f(T10－T0,10－0)
＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(120,10＋5)＋15))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(120,0＋5)＋15)),10)＝－1.6(℃/min)，
∴从t＝0到t＝10 min，蜥蜴的体温的平均变化率为－1.6 ℃/min.
三、函数中的平均变化率
例3 (教材175页例3、例4改编)(1)计算函数y＝f(x)＝x2从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为：
①2；②1；③0.1；④0.01；
(2)思考：当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
解 (1)因为f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－12＝(Δx)2＋2Δx，
所以eq \f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq \f(Δx2＋2Δx,Δx)＝Δx＋2.
①当Δx＝2时，平均变化率为Δx＋2＝4，
即函数f(x)＝x2在区间[1,3]上的平均变化率为4；
②当Δx＝1时，平均变化率为Δx＋2＝3，
即函数f(x)＝x2在区间[1,2]上的平均变化率为3；
③当Δx＝0.1时，平均变化率为Δx＋2＝2.1，即函数f(x)＝x2在区间[1,1.1]上的平均变化率为2.1；
④当Δx＝0.01时，平均变化率为Δx＋2＝2.01，即函数f(x)＝x2在区间[1,1.01]上的平均变化率为2.01.
(2)当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变小，并接近于2.
反思感悟 求函数平均变化率的步骤
(1)求自变量的改变量x2－x1.
(2)求函数值的改变量f(x2)－f(x1)．
(3)求平均变化率eq \f(fx2－fx1,x2－x1).
跟踪训练3 (1)求函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率；
(2)求函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率．
解 (1)函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为
eq \f(f2.1－f2,2.1－2)＝eq \f(3×2.12＋2－3×22＋2,0.1)＝12.3.
(2)函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率为eq \f(g－1－g－2,－1－－2)
＝eq \f([3×－1－2]－[3×－2－2],－1－－2)
＝eq \f(－5－－8,－1＋2)＝3.
1．知识清单：
(1)平均变化率．
(2)平均变化率的几何意义及应用．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：对平均变化率的理解不透彻导致出错．
1．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
答案 B
解析 平均变化率为eq \f(1－3,3－1)＝－1.故选B.
2．一物体的运动方程是S＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( )
A．0.4 B．2 C．0.3 D．0.2
答案 B
解析 eq \x\t(v)＝eq \f(S2.1－S2,2.1－2)＝eq \f(7.2－7,0.1)＝2.
3．设函数f(x)＝x2－1，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率是( )
A．2.1 B．0.21 C．1.21 D．0.121
答案 A
解析 Δx＝1.1－1＝0.1，Δy＝f(1.1)－f(1)＝1.12－1－(12－1)＝0.21，
所以函数f(x)＝x2－1在区间[1,1.1]上的平均变化率为eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f1.1－f1,Δx)＝eq \f(0.21,0.1)＝2.1.
4．如图是某变量变化的折线图，则该变量在区间[0,2]上的平均变化率为______.
答案 eq \f(3,4)
解析 由折线图知，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x＋3,2)，－1≤x≤1，,x＋1，1所以该变量在区间[0,2]上的平均变化率为eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0)),2－0)＝eq \f(3－\f(3,2),2)＝eq \f(3,4).
课时对点练
1．已知函数y＝2＋eq \f(1,x)，当x由1变到2时，函数值的改变量Δy等于( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C．1 D．－1
答案 B
解析 Δy＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(1,2)))－(2＋1)＝－eq \f(1,2).
2．已知函数f(x)＝x2＋2，则该函数在区间[1,3]上的平均变化率为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 A
解析 ∵f(3)＝11，f(1)＝3，
∴该函数在区间[1,3]上的平均变化率为eq \f(f3－f1,3－1)＝eq \f(11－3,3－1)＝4.
3．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，则治污效果较好的是( )
A．甲厂 B．乙厂 C．两厂一样 D．不确定
答案 B
解析 在t0处，虽然有W甲(t0)＝W乙(t0)，
但W甲(t0－Δt)所以在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小，所以乙厂治污效果较好．
4．一根金属棒的质量y(单位：kg)是长度x(单位：m)的函数，y＝f(x)＝3eq \r(x)，则从4 m到9 m这一段金属棒的平均线密度是( )
A.eq \f(2,5)kg/m B.eq \f(3,5)kg/m C.eq \f(3,4)kg/m D.eq \f(1,2)kg/m
答案 B
解析 从4 m到9 m这一段金属棒的平均线密度是
eq \f(f9－f4,9－4)＝eq \f(3\r(9)－\r(4),9－4)＝eq \f(3,5)(kg/m)．
5．质点运动规律的方程是S＝t2＋3，则在时间[3,3＋Δt]内，相应的平均速度是( )
A．6＋Δt B．6＋Δt＋eq \f(9,Δt)
C．3＋Δt D．9＋Δt
答案 A
解析 平均速度为eq \f(3＋Δt2＋3－32－3,Δt)＝eq \f(6Δt＋Δt2,Δt)
＝6＋Δt.
6．(多选)如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是( )
A．在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度
C．在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
答案 BC
解析 在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为eq \x\t(v)＝eq \f(s0,t0)，故A错误，B正确；在t0到t1范围内，甲的平均速度为eq \f(s2－s0,t1－t0)，乙的平均速度为eq \f(s1－s0,t1－t0).因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以eq \f(s2－s0,t1－t0)>eq \f(s1－s0,t1－t0)，故C正确，D错误．
7．若函数f(x)＝x2－x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，t))上的平均变化率为2，则t＝_________.
答案 5
8．已知函数y＝sin x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上的平均变化率分别为k1，k2，那么k1，k2的大小关系为_______．
答案 k1>k2
解析 当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))时，平均变化率k1＝eq \f(sin \f(π,6)－sin 0,\f(π,6))＝eq \f(3,π)，
当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))时，平均变化率k2＝eq \f(sin \f(π,2)－sin \f(π,3),\f(π,2)－\f(π,3))＝eq \f(32－\r(3),π)，
k1>k2.
9．已知函数f(x)＝x2＋3x在[0，m]上的平均变化率是函数g(x)＝2x＋1在[1,4]上的平均变化率的3倍，求实数m的值．
解 函数g(x)在[1,4]上的平均变化率为eq \f(g4－g1,4－1)＝eq \f(9－3,3)＝2.
函数f(x)在[0，m]上的平均变化率为eq \f(fm－f0,m－0)＝eq \f(m2＋3m,m)＝m＋3.令m＋3＝2×3，得m＝3.
10．为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从25 m/s到0 m/s花了5 s，乙车从18 m/s到0 m/s花了4 s，试比较两辆车的刹车性能．
解 甲车速度的平均变化率为eq \f(0－25,5)＝－5(m/s2)．
乙车速度的平均变化率为eq \f(0－18,4)＝－4.5(m/s2)，
平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好．
11．函数f(x)的图象如图，则函数f(x)在下列区间上平均变化率最大的是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，2)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，3)) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3，4)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4，7))
答案 C
解析 函数f(x)在区间上的平均变化率为eq \f(Δy,Δx)，
由函数图象可得，在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4，7))上，eq \f(Δy,Δx)<0，即函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4，7))上的平均变化率小于0；
在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，2))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，3))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3，4))上，eq \f(Δy,Δx)>0且Δx相同，由图象可知函数在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3，4))上的eq \f(Δy,Δx)最大．
所以函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3，4))上的平均变化率最大．
12．已知函数f(x)＝－x2＋x的图象上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，则eq \f(Δy,Δx)等于( )
A．3 B．3Δx－(Δx)2
C．3－(Δx)2 D．3－Δx
答案 D
解析 ∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)
＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2)＝3Δx－(Δx)2
∴eq \f(Δy,Δx)＝3－Δx.
13．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )
A．6升 B．8升 C．10升 D．12升
答案 C
解析 由题意知第二次加油量即为这段时间的耗油量V＝60(升)，这段时间的行驶里程数S＝35 600－35 000＝600(千米)，故这段时间，该车每100千米平均耗油量为eq \f(60,600)×100＝10(升)，故选C.
14．某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，表示c＝c(t)，下表给出了c(t)的一些函数值：
服药后30～70 min这段时间内，药物浓度的平均变化率为________mg/(mL·min)．
答案 －0.002
解析 eq \f(c70－c30,70－30)＝eq \f(0.90－0.98,40)＝－0.002mg/(mL·min)．
15．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为eq \f(28π,3)，则m的值为________．
答案 2
解析 体积的增加量ΔV＝eq \f(4π,3)m3－eq \f(4π,3)＝eq \f(4π,3)(m3－1)，
所以eq \f(ΔV,ΔR)＝eq \f(\f(4π,3)m3－1,m－1)＝eq \f(28π,3)，
所以m2＋m＋1＝7，所以m＝2或m＝－3(舍)．
16．圆柱形容器，其底面直径为2 m，深度为1 m，盛满液体后以0.01 m3/s的速率放出，求液面高度的平均变化率．
解 设液体放出t秒后液面高度为y m，
则π·12·y＝π·12×1－0.01t，
∴y＝1－eq \f(0.01,π)t，
液面高度的平均变化率为
eq \f(Δy,Δt)＝eq \f(1－\f(0.01,π)t＋Δt－1＋\f(0.01,π)t,Δt)
＝－eq \f(0.01,π)，
故液面高度的平均变化率为－eq \f(0.01,π).加油时间
加油量(升)
加油时累计里程(千米)
2021年10月1日
12
35 000
2021年10月15日
60
35 600
t/min
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
c(t)/
(mg/mL)
0.84
0.89
0.94
0.98
1.00
1.00
0.97
0.90
0.79
0.63