高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.3 导数在研究函数中的应用第2课时学案

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.3 导数在研究函数中的应用第2课时学案，共5页。学案主要包含了导函数是含参数的二次函数，导函数是含参数的基本初等型函数，导函数是非基本初等函数等内容，欢迎下载使用。

一、导函数是含参数的二次函数
例1 求f(x)＝a2x3＋ax2－x－1的单调区间．
解 f(x)＝a2x3＋ax2－x－1的定义域为R，
f′(x)＝3a2x2＋2ax－1＝(3ax－1)(ax＋1)．
(1)当a＝0时，f′(x)＝－1<0⇒f(x)在R上是减函数，
f(x)的减区间为R，无增区间．
(2)当a≠0时3a2>0时，f′(x)是开口向上的二次函数，
令f′(x)＝0得x1＝eq \f(1,3a)，x2＝－eq \f(1,a)(a≠0)，因此可知(结合f′(x)的图象)，
①当a>0时，x1>x2，
f′(x)>0⇔x<－eq \f(1,a)或x>eq \f(1,3a)；f′(x)<0⇔－eq \f(1,a)此时，f(x)的增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,a)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3a)，＋∞))；f(x)的减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)，\f(1,3a))).
②当a<0时，x10⇔x－eq \f(1,a)；f′(x)<0⇔eq \f(1,3a)此时，f(x)的增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3a)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)，＋∞))；
f(x)的减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3a)，－\f(1,a))).
反思感悟 (1)若导函数的二次项系数含参：
①优先讨论是否为0，达到降次的目的，②当不为0时，再从符号上入手，③确定二次函数的开口方向，由判别式确定其根的情况，若有根，然后通过因式分解或求根公式求导函数大于0或小于0的解，若无根，则导函数大于0或小于0恒成立，从而确定原函数的单调性．
(2)若导函数的一次项系数含参或常数项含参，按上述第③步求解．
跟踪训练1 求f(x)＝2x3＋mx2＋m＋1的单调区间．
解 f(x)＝2x3＋mx2＋m＋1的定义域为R，f′(x)＝6x2＋2mx.
(1)当m＝0时，f′(x)＝6x2≥0，f(x)在R上是增函数，f(x)的增区间为R，无减区间．
(2)当m≠0时，f′(x)是开口向上的二次函数，
令f′(x)＝0，得x1＝－eq \f(m,3)，x2＝0，因此可知(结合f′(x)的图象)，
①当m<0时，x1>x2，
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(m,3)，＋∞))时，f′(x)>0，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(m,3)))时，f′(x)<0，
此时，f(x)的增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(m,3)，＋∞))；f(x)的减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(m,3))).
②当m>0时，x1当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(m,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))时，f′(x)>0，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(m,3)，0))时，f′(x)<0，
此时，f(x)的增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(m,3)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))；f(x)的减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(m,3)，0)).
二、导函数是含参数的基本初等型函数
例2 已知函数f(x)＝eq \f(1,x)－x＋aln x．讨论f(x)的单调性．
解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－eq \f(1,x2)－1＋eq \f(a,x)＝－eq \f(x2－ax＋1,x2).
(1)若a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时f′(x)＝0，
所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
(2)若a>2，令f′(x)＝0得，x＝eq \f(a－\r(a2－4),2)
或x＝eq \f(a＋\r(a2－4),2).
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a－\r(a2－4),2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋\r(a2－4),2)，＋∞))时，f′(x)<0；
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－\r(a2－4),2)，\f(a＋\r(a2－4),2)))时，f′(x)>0.所以f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a－\r(a2－4),2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋\r(a2－4),2)，＋∞))上是减函数，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－\r(a2－4),2)，\f(a＋\r(a2－4),2)))上是增函数．
反思感悟 确定函数的定义域、求导、通分，一般情况下，其分子转化成二次函数型的函数，或利用指数函数、对数函数、三角函数的单调性求解，对参数的讨论一定要做到不重不漏．
跟踪训练2 设函数f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间．
解 f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)>0，
所以f(x)在R上是增函数．
若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，ln a)上是减函数，在(ln a，＋∞)上是增函数．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)的增区间为R，无减区间；当a>0时，f(x)的增区间为(ln a，＋∞)，减区间为(－∞，ln a)．
三、导函数是非基本初等函数
例3 设函数f(x)＝emx＋x2－mx.证明：f(x)在(－∞，0)上是减函数；在(0，＋∞)上是增函数．
证明 方法一 f′(x)＝m(emx－1)＋2x.
若m≥0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1≤0，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，emx－1≥0，f′(x)>0.
若m<0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1>0，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，emx－1<0，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．
方法二 f′(x)＝m(emx－1)＋2x，
令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝m2emx＋2>0恒成立，所以y＝f′(x)在R上是增函数，又f′(0)＝0，
所以当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．
反思感悟 在分类讨论此类问题时，其目的是讨论不确定的因式的符号，在讨论参数的取值范围时，也要注意函数的定义域．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝ae2x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－2))ex－x，讨论f(x)的单调性．
解 f(x)的定义域为R，f′(x)＝2ae2x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－2))ex－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(aex－1))(2ex＋1)．
若a≤0，则f′(x)<0恒成立，
故f(x)在R上为减函数；
若a>0，则当x<－ln a时，f′(x)<0，当x>－ln a时，f′(x)>0，
故f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－ln a，＋∞))上为增函数，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－ln a))上为减函数，
综上，当a≤0时，f(x)在R上为减函数；
当a>0时，f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－ln a，＋∞))上为增函数，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－ln a))上为减函数．
1．知识清单：
(1)导函数是二次型函数的单调性问题．
(2)导函数是基本初等型函数的单调性问题．
(3)导函数是复合型函数的单调性问题．
2．方法归纳：分类讨论．
3．常见误区：分类讨论时是否做到“不重不漏”．
课时对点练
1．已知函数f(x)＝x3＋ax.讨论f(x)的单调性．
解 因为f(x)＝x3＋ax，所以f′(x)＝3x2＋a.
①当a≥0时，因为f′(x)＝3x2＋a≥0，所以f(x)在R上是增函数；
②当a<0时，令f′(x)>0，解得x<－eq \f(\r(－3a),3)或x>eq \f(\r(－3a),3).
令f′(x)<0，解得－eq \f(\r(－3a),3)则f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(\r(－3a),3)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(－3a),3)，＋∞))上是增函数；在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(－3a),3)，\f(\r(－3a),3)))上是减函数．
综上，当a≥0时，f(x)在R上是增函数；当a<0时，f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(\r(－3a),3)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(－3a),3)，＋∞))上是增函数，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(－3a),3)，\f(\r(－3a),3)))上是减函数．
2．设函数f(x)＝ax－1－ln x，讨论函数f(x)的单调性．
解 f′(x)＝eq \f(ax－1,x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x>0)).
当a≤0时，f′(x)<0，∴f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))上是减函数；
当a>0时，令f′(x)＝0，则x＝eq \f(1,a)，
∴当0eq \f(1,a)时，f′(x)>0，
∴f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,a)))上是减函数，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，＋∞))上是增函数．
综上，当a≤0时，f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))上是减函数；
当a>0时，f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,a)))上是减函数，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，＋∞))上是增函数．
3．已知函数f(x)＝(x2－2x＋a)ex.讨论函数f(x)的单调性．
解 因为f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－2x＋a))ex，所以f(x)的定义域为R，f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－2))ex＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－2x＋a))ex＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋a－2))ex.
当a≥2时，f′(x)≥0，则f(x)在R上是增函数；
当a<2时，f′(x)＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x2－2－a))ex
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\r(2－a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\r(2－a)))ex，
所以f′(x)＝0⇔x＝±eq \r(2－a)；
f′(x)>0⇔x<－eq \r(2－a)或x>eq \r(2－a)；
f′(x)<0⇔－eq \r(2－a)所以f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(2－a)，\r(2－a)))上是减函数，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\r(2－a)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2－a)，＋∞))上是增函数．
综上，当a≥2时，f(x)在R上是增函数；当a<2时，f(x)在(－eq \r(2－a)，eq \r(2－a))上是减函数，在(－∞，－eq \r(2－a))和(eq \r(2－a)，＋∞)上是增函数．
4．已知函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)－meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋ln x))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m∈R)).当m>1时，讨论f(x)的单调性．
解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝1－eq \f(1,x2)＋eq \f(m,x2)－eq \f(m,x)＝1＋eq \f(m－1,x2)－eq \f(m,x)
＝eq \f(x2－mx＋m－1,x2)＝eq \f(x－1[x－m－1],x2)，
因为m>1，所以m－1>0.
①当00得x>1或0所以f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，m－1))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，＋∞))上是增函数，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－1，1))上是减函数；
②当m－1＝1，即m＝2时，f′(x)≥0，所以f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))上是增函数；
③当m－1>1，即m>2时，由f′(x)>0，得x>m－1或0综上可知，当1当m＝2时，f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))上是增函数；
当m>2时，f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－1，＋∞))上是增函数，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，m－1))上是减函数．