高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.2 导数的运算学案

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.2 导数的运算学案，共10页。学案主要包含了f±g的导数，fg和eq \f的导数，导数四则运算法则的应用等内容，欢迎下载使用。
导语
同学们，上节课我们学习了基本初等函数的导数，实际上，它是我们整个导数的基础，而且我们也只会幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类函数的求导法则，我们知道，可以对基本初等函数进行加减乘除等多种形式的组合，组合后的函数，又如何求导，将是我们本节课要解决的内容．
一、f(x)±g(x)的导数
问题 令y＝f(x)＋g(x)，如何求该函数的导数？
提示 Δy＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(fx＋Δx＋gx＋Δx))－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(fx＋gx))；
eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(fx＋Δx＋gx＋Δx))－\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(fx＋gx)),Δx)
＝eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)＋eq \f(gx＋Δx－gx,Δx)，
y′＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx＋Δx－fx,Δx)＋\f(gx＋Δx－gx,Δx)))
＝f′(x)＋g′(x)．
所以有[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)．
知识梳理
两个函数和或差的导数：[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
注意点：推广[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x)．
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝x5－x3＋cs x；
(2)y＝lg x－ex.
解 (1)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x5))′－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3))′＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs x))′＝5x4－3x2－sin x.
(2)y′＝(lg x－ex)′＝(lg x)′－(ex)′＝eq \f(1,xln 10)－ex.
反思感悟 两个函数和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，对于每一项分别利用函数的求导法则即可．
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)f(x)＝eq \f(1,5)x5＋eq \f(4,3)x3；
(2)g(x)＝lg x－ex.
解 (1)∵f(x)＝eq \f(1,5)x5＋eq \f(4,3)x3，
∴f′(x)＝x4＋4x2.
(2)∵g(x)＝lg x－ex，
∴g′(x)＝eq \f(1,xln 10)－ex.
二、f(x)g(x)和eq \f(fx,gx)的导数
知识梳理
1．(f(x)·g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，(Cf(x))′＝Cf′(x)(C为常数)．
2.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,g2x)(g(x)≠0)．
注意点：注意两个函数的乘积和商的导数的结构形式．
例2 求下列函数的导数：
(1)y＝x2＋xln x；
(2)y＝eq \f(ln x,x2)；
(3)y＝eq \f(ex,x)；
(4)y＝(2x2－1)(3x＋1)．
解 (1)y′＝(x2＋xln x)′＝(x2)′＋(xln x)′
＝2x＋(x)′ln x＋x(ln x)′
＝2x＋ln x＋x·eq \f(1,x)
＝2x＋ln x＋1.
(2)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ln x,x2)))′＝eq \f(ln x′·x2－ln xx2′,x4)
＝eq \f(\f(1,x)·x2－2xln x,x4)
＝eq \f(1－2ln x,x3).
(3)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ex,x)))′＝eq \f(ex′x－exx′,x2)＝eq \f(ex·x－ex,x2).
(4)方法一 y′＝[(2x2－1)(3x＋1)]′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′
＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3
＝12x2＋4x＋6x2－3
＝18x2＋4x－3.
方法二 ∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′
＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′
＝18x2＋4x－3.
反思感悟 (1)先区分函数的运算方式，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．
(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．
跟踪训练2 求下列函数的导数：
(1)y＝eq \f(2x3－3x＋\r(x)＋1,x\r(x))；
(2)y＝eq \f(x2＋1,x2＋3)；
(3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)．
解 (1)∵，
∴.
(2)方法一 y′＝eq \f(x2＋1′x2＋3－x2＋1x2＋3′,x2＋32)
＝eq \f(2xx2＋3－2xx2＋1,x2＋32)＝eq \f(4x,x2＋32).
方法二 ∵y＝eq \f(x2＋1,x2＋3)＝eq \f(x2＋3－2,x2＋3)＝1－eq \f(2,x2＋3)，
∴y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,x2＋3)))′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－2,x2＋3)))′
＝eq \f(－2′x2＋3－－2x2＋3′,x2＋32)
＝eq \f(4x,x2＋32).
(3)方法一 y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23.
方法二 ∵y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)＝(x2＋4x＋3)(x＋5)
＝x3＋9x2＋23x＋15，
∴y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23.
三、导数四则运算法则的应用
例3 (1)曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是( )
A.eq \r(2) B.eq \f(\r(2),2) C．1 D．2
答案 B
解析 设曲线y＝xln x在点(x0，y0)处的切线与直线x－y－2＝0平行．
∵y′＝ln x＋1，
∴k＝ln x0＋1＝1，
解得x0＝1，
∴y0＝0，即切点坐标为(1,0)．
∴切点(1,0)到直线x－y－2＝0的距离为d＝eq \f(|1－0－2|,\r(1＋1))＝eq \f(\r(2),2)，
即曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是eq \f(\r(2),2).
(2)设f(x)＝a·ex＋bln x，且f′(1)＝e，f′(－1)＝eq \f(1,e)，求a，b的值．
解 f′(x)＝(a·ex)′＋(bln x)′＝a·ex＋eq \f(b,x)，
由f′(1)＝e，f′(－1)＝eq \f(1,e)，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ae＋b＝e，,\f(a,e)－b＝\f(1,e)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝0，))所以a，b的值分别为1,0.
反思感悟 (1)熟练掌握导数的运算法则和基本初等函数的求导公式．
(2)涉及切点、切点处的导数、切线方程等问题时，会根据题意进行转化，并分清“在点”和“过点”的问题．
跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝eq \f(aln x,x＋1)＋eq \f(b,x)，曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，则a，b的值分别为________．
答案 1,1
解析 f′(x)＝eq \f(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋1,x)－ln x)),x＋12)－eq \f(b,x2).
由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－eq \f(1,2)，且过点(1,1)，
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f1＝1，,f′1＝－\f(1,2)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝1，,\f(a,2)－b＝－\f(1,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝1.))
(2)曲线y＝f(x)＝eq \f(2,e) (x－1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为________．
答案 1
解析 由题意可知，f′(x)＝eq \f(2,e)x·ex，f′(1)＝2，
∴切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
令x＝0得y＝－2；令y＝0得x＝1.
∴曲线y＝eq \f(2,e)(x－1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为S＝eq \f(1,2)×2×1＝1.
1．知识清单：
(1)导数的运算法则．
(2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
(3)导数四则运算法则的应用．
2．方法归纳：公式法、转化法．
3．常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则．
1．函数y＝x(x2＋1)的导数是( )
A．x2＋1 B．3x2 C．3x2＋1 D．3x2＋x
答案 C
解析 ∵y＝x(x2＋1)＝x3＋x，
∴y′＝(x3＋x)′＝(x3)′＋x′＝3x2＋1.
2．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是( )
A.eq \f(19,3) B.eq \f(16,3) C.eq \f(13,3) D.eq \f(10,3)
答案 D
解析 ∵f′(x)＝3ax2＋6x，
∴f′(－1)＝3a－6＝4，
∴a＝eq \f(10,3).
3．若函数f(x)＝eq \f(1,2)f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 A
解析 因为f(x)＝eq \f(1,2)f′(－1)x2－2x＋3，
所以f′(x)＝f′(－1)x－2.
所以f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2，
所以f′(－1)＝－1.
4．已知函数f(x)＝ex·sin x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是____________．
答案 y＝x
解析 ∵f(x)＝ex·sin x，∴f′(x)＝ex(sin x＋cs x)，f′(0)＝1，f(0)＝0，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y－0＝1×(x－0)，即y＝x.
课时对点练
1．(多选)下列运算中正确的是( )
A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′
B．(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin x,x2)))′＝eq \f(sin x′－x2′,x2)
D．(cs x·sin x)′＝(cs x)′sin x＋cs x(sin x)′
答案 AD
解析 A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确；
B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，故错误；
C项中，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin x,x2)))′＝eq \f(sin x′x2－sin xx2′,x22)，故错误；
D项中，(cs x·sin x)′＝(cs x)′sin x＋cs x(sin x)′，故正确．
2．曲线f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(3π,4) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,3)
答案 B
解析 因为f′(x)＝x2－2x，k＝f′(1)＝－1，所以在x＝1处的切线的倾斜角为eq \f(3π,4).
3．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于( )
A．e2 B．e C.eq \f(ln 2,2) D．ln 2
答案 B
解析 ∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1(x>0)，由f′(x0)＝2，得ln x0＋1＝2，即ln x0＝1，解得x0＝e.
4．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )
A．－1 B．－2 C．2 D．0
答案 B
解析 ∵f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(x)为奇函数，
∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
5．设f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为( )
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
答案 C
解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝2x－2－eq \f(4,x)＝eq \f(2x－2x＋1,x)>0，解得x>2，所以f′(x)>0的解集为(2，＋∞)．
6．(多选)当函数y＝eq \f(x2＋a2,x)(a＞0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0可以是( )
A．a B．0 C．－a D．a2
答案 AC
解析 y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2＋a2,x)))′＝eq \f(2x·x－x2＋a2,x2)＝eq \f(x2－a2,x2)，
由xeq \\al(2,0)－a2＝0得x0＝±a.
7．已知函数f(x)＝x3－mx＋3，若f′(1)＝0，则m＝_________________________________.
答案 3
解析 因为f′(x)＝3x2－m，
所以f′(1)＝3－m＝0，所以m＝3.
8．已知函数f(x)＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))cs x＋sin x，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))的值为________．
答案 1
解析 ∵f′(x)＝－f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))sin x＋cs x，
∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(2),2)，
得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \r(2)－1.
∴f(x)＝(eq \r(2)－1)cs x＋sin x，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝1.
9．求下列函数的导数：
(1)y＝ln x＋eq \f(1,x)；
(2)y＝eq \f(cs x,ex)；
(3)f(x)＝(x2＋9)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,x)))；
(4)f(x)＝eq \f(sin x,xn).
解 (1)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln x＋\f(1,x)))′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln x))′＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))′＝eq \f(1,x)－eq \f(1,x2).
(2)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs x,ex)))′＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs x))′ex－cs x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ex))′,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ex))2)＝－eq \f(sin x＋cs x,ex).
(3)f(x)＝x3＋6x－eq \f(27,x)，f′(x)＝3x2＋eq \f(27,x2)＋6.
(4)f′(x)＝eq \f(sin x′xn－sin x·xn′,xn2)
＝eq \f(xncs x－nxn－1sin x,x2n)
＝eq \f(xcs x－nsin x,xn＋1).
10．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．
解 (1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b，
又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
(2)由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin x＋excs x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cs 0＋2×0－8＝－7，
又g(0)＝3，
所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.
11．已知曲线f(x)＝eq \f(x2＋a,x＋1)在点(1，f(1))处切线的倾斜角为eq \f(3π,4)，则实数a等于( )
A．1 B．－1 C．7 D．－7
答案 C
解析 ∵f′(x)＝eq \f(2xx＋1－x2＋a,x＋12)＝eq \f(x2＋2x－a,x＋12)，
又f′(1)＝tan eq \f(3π,4)＝－1，∴a＝7.
12．已知曲线f(x)＝(x＋a)·ln x在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，则a等于( )
A.eq \f(1,2) B．1 C．－eq \f(3,2) D．－1
答案 C
解析 因为f(x)＝(x＋a)·ln x，x>0，
所以f′(x)＝ln x＋(x＋a)·eq \f(1,x)，
所以f′(1)＝1＋a.
又因为f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，
所以f′(1)＝－eq \f(1,2)，所以a＝－eq \f(3,2).
13．如图，有一个图象是函数f(x)＝eq \f(1,3)x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图象，则f(－1)等于( )
A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3) C.eq \f(7,3) D．－eq \f(1,3)或eq \f(5,3)
答案 B
解析 f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，图(1)与图(2)中，导函数的图象的对称轴都是y轴，此时a＝0，与题设不符合，故图(3)中的图象是函数f(x)的导函数的图象．由图(3)知f′(0)＝0，即f′(0)＝a2－1＝0，得a2＝1，又由图(3)得对称轴为－eq \f(2a,2)＝－a>0，则a