高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.3 导数在研究函数中的应用第1课时学案

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.3 导数在研究函数中的应用第1课时学案，共12页。学案主要包含了函数的单调性与导数的关系，利用导数求函数的单调区间，由导数的信息画函数的大致图象等内容，欢迎下载使用。
第1课时 单调性
学习目标 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间．
导语
我们知道f′(x)刻画了函数f(x)在每一点处的变化趋势，而函数在每一点处的变化趋势可以反映函数的一些性质，比如函数的单调性，既然导数能刻画函数的变化趋势，我们不禁会想导数与函数的单调性是否有某种联系，这就是本节课要讨论的内容．
一、函数的单调性与导数的关系
问题 观察下面几个图象，探究函数的单调性和导数的正负的关系．
提示 (1)函数y＝x的定义域为R，并且在定义域上是增函数，其导数y′＝1>0；
(2)函数y＝x2的定义域为R，在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数．而y′＝2x，当x0；当x＝0时，其导数y′＝0.
(3)函数y＝x3的定义域为R，在定义域上为增函数．而y′＝3x2，当x≠0时，其导数3x2>0；当x＝0时，其导数3x2＝0；
(4)函数y＝eq \f(1,x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为减函数，而y′＝－eq \f(1,x2)，因为x≠0，所以y′0)．
解 (1)因为f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2＋2x－5，所以f′(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，所以函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2＋2x－5在R上是增函数．
(2)因为f(x)＝x－eq \f(1,x)－ln x，x∈(0，＋∞)，
所以f′(x)＝1＋eq \f(1,x2)－eq \f(1,x)＝eq \f(x2－x＋1,x2)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4),x2)>0，所以f(x)＝x－eq \f(1,x)－ln x在(0，＋∞)上是增函数．
(3)因为f(x)＝x－ex，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝1－ex\f(1,2)))；
(2)f(x)＝eq \f(ln x,x)(x>e)．
解 (1)因为f(x)＝x2－2x＋aln x，x∈(0，＋∞)，
所以f′(x)＝2x－2＋eq \f(a,x)＝eq \f(2x2－2x＋a,x)，对于y＝2x2－2x＋a，a>eq \f(1,2)，Δ＝4－8a＝8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－a))0恒成立，即f′(x)>0，
所以f(x)＝x2－2x＋aln x在x∈(0，＋∞)上是增函数．
(2)因为f(x)＝eq \f(ln x,x)，x>e，所以f′(x)＝eq \f(xln x′－x′ln x,x2)＝eq \f(1－ln x,x2)0，解得x>eq \f(\r(3),3)，由f′(x)