中学生标准学术能力诊断性测试2022届高三下学期3月诊断性考试 数学（文科）

中学生标准学术能力诊断性测试2022年3月测试

文科数学试卷

本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知A＝{－1，0，1，3，5}，B＝{x|x(x－4)<0}，则A∩B＝

A.{0，1}     B.{－1，1，3}     C.{0，1，3}     D.{1，3}

2.命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是

A.∀x∈R，x2<0     B.∀x∈R，x2≥0     C.∃x0∈R，x02<0     D.∃x0∈R，x02≥0

3.函数f(x)＝sin2x＋cos2x的最小正周期和最大值分别为

A.π和2     B.π和1＋     C.2π和2     D.2π和1＋

4.若实数x、y满足约束条件，则z＝2x＋y的最大值为

A.1     B.3     C.4     D.6

5.已知F1、F2为椭圆Γ：的左、右焦点，M为Γ上的点，则△MF1F2面积的最大值为

A.     B.2     C.2     D.4

6.科学家以里氏震级来度量地震的强度，设I为地震时所释放出的能量，则里氏震级r可定义为r＝lgI＋3.2。若I＝1.2×104，则相应的震级为(已知：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)

A.5.8     B.5.9     C.6.0     D.6.1

7.右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

A.26π     B.28π     C.30π     D.32π

8.已知＝(1，)，且，则＝

A.2     B.2     C.2     D.4

9.在复平面xOy内，复数z1，z2，所对应的点分别为Z1，Z2，给出下列四个式子：①z12＝|z1|2；②|z1·z2|＝|z1|·|z2|；③；④。其中恒成立的个数为

A.1     B.2     C.3     D.4

10.已知无穷等差数列{an}的首项a1<0，公差d>0，Sn为其前n项和。则下列判断正确的是

A.Sn单调递增     B.Sn单调递减     C.Sn有最小值     D.Sn有最大值

11.已知直线a、b、l和平面α、β，aα，bβ，α∩β＝l，且α⊥β。对于以下命题，下列判断正确的是

①若a、b异面，则a、b至少有一个与l相交；

②若a、b垂直，则a、b至少有一个与l垂直。

A.①是真命题，②是假命题     B.①是假命题，②是真命题

C.①是假命题，②是假命题     D.①是真命题，②是真命题

12.已知定义域为R的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足：f(x)＋g(x) ＝2x。若存在实数a，使得关于x的不等式(nf(x)－a)(g(x)－a)≤0在区间[1，2]上恒成立，则正整数n的最小值为

A.1     B.2     C.3     D.4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知一组数据a，1，3，7的中位数为4，则该组数据的方差为            。

14.学号分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九位同学参加甲、乙两项公益活动，其中甲组四人，乙组五人，则1号同学和9号同学恰好分在同一组的概率为           。

15.已知抛物线Γ：y2＝2px(p>0)的焦点为F，斜率为1的直线l与抛物线Γ相交于A、B两点，若|AF|＝3，|BF|＝5，则|AB|＝           。

16.已知函数f(x)＝＋|x＋a|＋b。若函数f(x)在(0，－∞)上存在两个不相等的零点，则实数a的取值范围是           。

三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，且对任意n∈N*，都有Sn＋1－2Sn＝2。

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn。

18.(12分)“双减”实施后学生自主学习的时间增加了，某校调查了某年级200名学生每周的自主学习时间(单位：小时)，并制成了如图所示的频率分布直方图，其时间的范围是[7，12]，样本数据分组为[7，8)，[8，9)，[9，10)，[10，11)，[11，12]。根据直方图，计算下列问题。

(1)求a的值及自主学习时间在[9，10)内的学生人数；

(2)从这200名学生中随机抽取1人，记所抽取学生自主学习时间在[8，11)内为事件A，所抽取学生自主学习时间在[10，12]内为事件B，判断事件A和B是否互相独立，并说明理由。

19.(12分)在三棱锥D－ABC中，AD⊥CD，AD⊥BC，AC⊥BC，AD＝CD，AC＝BC＝2。

(1)求三棱锥D－ABC的体积；

(2)求异面直线AC与BD所成角的大小。

20.(12分)已知双曲线Γ：的左、右顶点分别为A1(－1，0)、A2(1，0)，离心率为2，过点F(2，0)斜率不为0的直线l与Γ交于PQ、两点。

(1)求双曲线Γ的渐近线方程；

(2)记直线A1P、A2Q的斜率分别为k1、k2、，求证：为定值。

21.(12分)已知函数f(x)＝lnx＋a。

(1)若曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线经过点(0，1)，求实数a的值；

(2)若对任意x∈(0，＋∞)，都有ex－a≥f(x)(e为自然对数的底)，求证：a≤1。

22.(10分)已知函数f(x)＝|2x－4|＋|x2＋a|(x∈R)。

(1)若a＝1，求证：f(x)≥4；

(2)若对于任意x∈[1，2]，都有f(x)≤4，求实数a的取值范围。