第12讲  余数性质与定理

【学习目标】

1、掌握余数的性质，用余数的性质解决问题

2、余数定理的应用

一、余数的性质 

性质1：在带余除式中，余数总是比除数小。 

性质2：A、B两数如果被同一除数来除，得到两个余数，那么A、B两数之和被这个除数除，它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数。 

性质3：A、B两数如果被同一除数来除，得到两个余数，那么A、B 两数的积被这个除数除，它的余数就是两个余数的积被这个除数除所得的余数。 

二、余数与周期 

1、图形中的周期问题； 2.数列中的周期问题； 3.年月日中的周期问题。

弃九法：在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：

例如：检验算式

1234除以9的余数为1，1898除以9的余数为8

18922除以9的余数为4，678967除以9的余数为7

178902除以9的余数为0，这些余数的和除以9的余数为2

而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。

【温故知新】

例题1：求2349635×1234除以9的余数。

【答案】5

举一反三1：

1、2349635×23456除以9的余数。

2、求4217×364除以6的余数。

【答案】1、1          2、2

例题2：已知2014年的儿童节是星期日，求2024年的儿童节是星期几？

【答案】2014年儿童节到2024年儿童节之间共有3个闰年7个平年，即有“366×3+365×7”天。 答：2024年的儿童节是星期一。

举一反三2：

1、已知2014年国庆是星期三。求2018年国庆是星期几？

2、已知2002年的“七月一日”是星期一。求2015年的“十月一日”是星期几？

【答案】1、星期一      2、星期四

模块二、余数定理的应用

例题3：有一个大于1的整数，除所得的余数相同，求这个数。

【答案】根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．，，，的约数有，所以这个数可能为。

举一反三3：

1、有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数。

2、有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？

【答案】1、（法1），，，12的约数是，因为余数为3要小于除数，这个数是；

（法2）由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．，，，所以这个数是．

2、由于这个数除345和543的余数相同，那么它可能整除543-345，并且得到的商为33．所以所求的数为。

模块三、余数综合应用

※例4：著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？

【答案】斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：

1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……

第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余数为0，所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数，为0.

举一反三4：

有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？

【答案】由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数．所以这串数除以5的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，……可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数．由于，所以前2009个数中，有401个是5的倍数．

小结：

【巩固练习】

1、求1992×59除以7的余数。

2、求879×4376×5283除以11的余数。

3、计算五年之后你的生日是星期几？

4、一个自然数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，并且三个商数的和是570，求这个自然数。

5、有连续的三个自然数、、，它们恰好分别是9、8、7的倍数，求这三个自然数中最小的数至少是多少？

【答案】

1、因为1992×59≡4×3≡5（mod 7），所以1992×59除以7的余数是5。

2、1         

3、略     

4、这个数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，所以这个数加上6后能被7，8，9整除，而，所以这个数加上6后是504的倍数．由于这个数被7，8，9除的三个商数的和是570，那么这个数加上6后被被7，8，9除的三个商数的和是，而，，

所以这个数加上6等于504的3倍，这个数是．

5、法一：由是8的倍数，得到被8除余7，由是7的倍数，得到被7除余5，现在相当于一个数除以9余0，除以8余7，除以7余5.运用中国剩余定理求 （用逐步满足的方法也可以）

7和8的公倍数中除以9余1的最小为280；7和9的公倍数中除以8余1的最小是441；8和9的公倍数中除以7余1的最小是288，根据中国剩余定理，

符合各个余数条件，但4527不是最小的，还需要减去7、8、9的公倍数，可知是满足各个余数条件的最小值，所以至少是495．

法二：仔细观察，可知由于、、恰好分别是9、8、7的倍数，那么、、也分别是9、8、7的倍数，即是9、8、7的公倍数，那么的最小值是，即至少是．

：                                                        

                                                。