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初中数学苏科版七年级下册第9章 从面积到乘法公式综合与测试复习练习题
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这是一份初中数学苏科版七年级下册第9章 从面积到乘法公式综合与测试复习练习题，共21页。试卷主要包含了1 单项式乘单项式等内容，欢迎下载使用。
【题型1计算单项式乘单项式】（2021·黑龙江集贤·八年级期末）计算：______．
【变式1-1】（2021·河南兰考·八年级期中）5x3y•（﹣3y）2＋（﹣xy）•（﹣6xy）3＝________．
【变式1-2】（1）； （2）；
【题型2利用单项式乘法求字母的值】（2021·河南兰考·八年级期中）若（mx4）·（4xk）＝12x12，则m＝___，k＝___．
【变式2-1】（2020·全国·七年级课时练习）如果单项式与单项式的乘积为，则__________．
【变式2-2】（2020·江西萍乡·七年级期中）若，则________，________.
【题型3利用单项式乘法求代数式的值】（2020·全国·八年级课时练习）若单项式与的积为，则________．
【变式3-1】（2019·黑龙江大庆·七年级期中）若5am+1b2与3an+2bn的积是15a8b4，则nm＝_____．
【题型4单项式乘法的应用】（2020·辽宁大石桥·七年级阶段练习）小王购买了一套房子，他准备将地面都铺上地砖，地面结构如图所示，请根据图中的数据（单位：米），解答下列问题：
（1）用含x，y的代数式表示地面总面积；
（2）若x＝5，y＝1，铺地砖每平方米的平均费用为100元，则铺地砖的总费用为多少元？
【变式4-1】（2021·浙江杭州·七年级期中）如图是某一长方形闲置空地，宽为米，长为b米，为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径为a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长b米，宽a米的甬路，剩余部分种草．（提示：取3）
（1）甬路的面积为________平方米；种花的面积为_______平方米；
（2）当，时，请计算该长方形场地上种草的面积；
（3）在（2）的条件下，种花的费用为每平方米30元，种草的费用为每平方米20元，甬路的费用为每平方米10元．那么美化这块空地共需要资金多少元？
9.2 单项式乘多项式
【题型1计算单项式乘多项式】（2021·吉林·四平市铁西区教师进修学校八年级期末）计算题：
【变式1-1】（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）计算：．
【变式1-2】（2021·全国·八年级课时练习）化简．
【题型2单项式乘多项式的应用】（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学八年级期中）如图，学校有一块长为（2a＋b）米，宽为（2a－b）米的长方形地块，其中有两条宽为b米的甬道，学校计划将除甬道外其余部分进行绿化．
（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积；（结果写成最简形式）；
（2）若a＝5，b＝2，请你计算出绿化的总面积；
【变式2-1】（2021·安徽包河·七年级期中）如图是用总长为8米的篱笆（图中所有线段）围成的区域．此区域由面积均相等的三块长方形①②③拼成的，若FC=EB=x米．
（1）用含x的代数式表示AB、BC的长；
（2）用含x的代数式表示长方形ABCD的面积．（要求化简）
【题型3利用单项式乘多项式求值】（2022·四川省荣县中学校八年级阶段练习）先化简，再求值：，其中a，b满足a=2，．
【变式3-1】（2021·四川·南部县第二中学八年级期中）先化简，再求值：，其中．
9.3 多项式乘多项式
【题型1计算多项式乘多项式】（2021·上海奉贤·七年级期末）计算：（2x﹣y）（x﹣2y）＝_____．
【变式1-1】（2022·全国·七年级）计算（3a﹣b）（a+b）+（2a+3b）（2a﹣7b）．
【变式1-2】（2021·福建省福州外国语学校八年级阶段练习）计算：（3x2＋2）（2x＋1）﹣2x（2x＋1）．
【变式1-3】（2022·吉林延边·八年级期末）计算：．
【题型2 (x+p)(x+q)型多项式乘积】（2022·四川凉山·八年级期末）若，则为（ ）
A．－15B．2C．8D．－2
【变式2-1】（2022·上海浦东新·七年级期末）乘积的计算结果是_______．
【变式2-2】（2022·宁夏原州·八年级期末）在计算时我们如果能总结规律，并加以归纳，得出数学公式，一定会提高解题的速度，在解答下面问题中请留意其中的规律．
（1）计算后填空：（x+1）（x+2）＝ ；（x+3）（x﹣1）＝ ；
（2）归纳、猜想后填空：（x+a）（x+b）＝x2+ x+ ；
（3）运用（2）猜想的结论，直接写出计算结果：（x+2）（x+m）＝ ．
【题型3已知多项式的乘积不含某项求字母的值】（2021·河南·泌阳县第一初级中学八年级期中）若（mx＋8）（2﹣3x）中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．0B．3C．12D．16
【变式3-1】（2022·重庆一中七年级期末）如果展开后不含项，那么__________．
【变式3-2】（2021·全国·七年级专题练习）已知与的乘积中不含和项，求的值．
【题型4多项式乘多项式--化简求值】（2021·四川省绵阳南山中学双语学校八年级期中）化简求值：，其中，．
【变式4-1】（2021·湖南·衡阳市实验中学八年级期中）先化简，再求值：，其中．
【题型5多项式乘多项式与图形面积】（2022·北京·八年级期末）图中的四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式：____________．
【变式5-1】（2021·福建师范大学附属中学初中部八年级期中）根据几何图形的面积关系多种表达方式可以形象直观地表示多项式的乘法，请根据图中长方形面积的两种表达形式直接写出一个关于多项式乘多项式的等式：___．
【题型6多项式乘法中的规律性问题】（2021·安徽阜阳·八年级期中）仔细观察，探究规律：
则算式值的个位数字为（ ）
A．1B．3C．5D．7
【变式6-1】（2021·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）观察：下列算式：
①1×3－22=3－4=－1；
②2×4－32=8－9=－1；
③3×5－42=15－16=－1
尝试：（1）请你按照三个算式的规律写出第④个、第⑤个算式；
发现：（2）请你把这个规律用含字母的式子表示出来，并说明其正确性；
应用：（3）计算2018×2020－20192=
9.1
【题型1计算单项式乘单项式】（2021·黑龙江集贤·八年级期末）计算：______．
【答案】
【分析】
按照单项式乘单项式的法则进行计算即可．
【详解】
故答案为：
【点睛】
本题考查了单项式乘单项式的法则，掌握法则是关键．
【变式1-1】（2021·河南兰考·八年级期中）5x3y•（﹣3y）2＋（﹣xy）•（﹣6xy）3＝________．
【答案】
【分析】
根据积的乘方运算法则和单项式乘以单项式的运算法则计算即可．
【详解】
解：原式
故答案为：
【点睛】
本题考查积的乘方运算，单项式乘以单项式的运算，牢记相关的运算法则是解题的关键．
【变式1-2】（2021·全国·八年级课时练习）（1）； （2）；
【答案】（1）；（2）．
【分析】
根据单项式与单项式相乘法则“单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式”进行解答即可得．
【详解】
解：（1）原式=
=；
（2）原式=
=．
【点睛】
本题考查了单项式与单项式相乘，解题的关键是掌握单项式与单项式相乘法则．
【题型2利用单项式乘法求字母的值】（2021·河南兰考·八年级期中）若（mx4）·（4xk）＝12x12，则m＝___，k＝___．
【答案】3 8
【分析】
由单项式乘以单项式的乘法法则得到，由此可得，从而求得结果．
【详解】
解：∵
∴
∴
故答案为：3；8
【点睛】
本题考查利用单项式乘以单项式求字母的值，牢记相关知识点是解题的关键．
【变式2-1】（2020·全国·七年级课时练习）如果单项式与单项式的乘积为，则__________．
【答案】-5
【分析】
根据已知条件可求得，约分可得，根据单项式相乘的原则：底数不变，指数相加可得求解即可.
【详解】
单项式与单项式的乘积为，即
两边约分后可得
根据底数不变，指数相加原则可得
可求得.
故答案为-5.
【点睛】
此题考查单项式乘单项式，解题关键在于掌握运算法则.
【变式2-2】（2020·江西萍乡·七年级期中）若，则________，________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据整式的乘法运算法则即可求解.
【详解】
∵
∴3m+2n=7,2m+3=5,
故解得m=1,n=2
【点睛】
此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知幂的运算及单项式乘法的运算法则.
【题型3利用单项式乘法求代数式的值】（2020·全国·八年级课时练习）若单项式与的积为，则________．
【答案】-2
【分析】
根据整式的乘法运算法则即可求解．
【详解】
由题意，得，，
则．
故答案为：-2．
【点睛】
此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
【变式3-1】（2019·黑龙江大庆·七年级期中）若5am+1b2与3an+2bn的积是15a8b4，则nm＝_____．
【答案】8
【分析】
根据单项式乘单项式的乘法法则计算，然后根据相同字母的指数相等列方程组即可求出m、n．
【详解】
解：，
∴，
解方程组得：，
，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了单项式乘单项式，熟记法则是解题的关键．
【题型4单项式乘法的应用】（2020·辽宁大石桥·七年级阶段练习）小王购买了一套房子，他准备将地面都铺上地砖，地面结构如图所示，请根据图中的数据（单位：米），解答下列问题：
（1）用含x，y的代数式表示地面总面积；
（2）若x＝5，y＝1，铺地砖每平方米的平均费用为100元，则铺地砖的总费用为多少元？
【答案】（1）地面总面积为6x+2y+18（m2）；（2）铺地砖的总费用为5000元．
【分析】
（1）利用长方形面积公式，分块计算各房间结构的面积，再求和；
（2）将x＝5，y＝1，铺地砖每平方米的平均费用为100元，代入（1）中式子计算即可
【详解】
（1）地面总面积为：6x+2×（6﹣3）+2y+3×（2+2）＝6x+6+2y+12＝6x+2y+18（m2）；
（2）当x＝5，y＝1，铺1m2地砖的平均费用为100元，
总费用＝（6×5+2×1+18）×100＝50×100＝5000元答：铺地砖的总费用为5000元．
【点睛】
本题考查代数式与图形面积，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【变式4-1】（2021·浙江杭州·七年级期中）如图是某一长方形闲置空地，宽为米，长为b米，为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径为a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长b米，宽a米的甬路，剩余部分种草．（提示：取3）
（1）甬路的面积为________平方米；种花的面积为_______平方米；
（2）当，时，请计算该长方形场地上种草的面积；
（3）在（2）的条件下，种花的费用为每平方米30元，种草的费用为每平方米20元，甬路的费用为每平方米10元．那么美化这块空地共需要资金多少元？
【答案】（1）ab；3a2；（2）28平方米；（3）1120元
【分析】
（1）利用长方形面积公式和圆的面积公式计算即可；
（2）用总面积减去甬路和花圃面积即可；
（3）表示出甬路、花圃、草地的面积，再求出各自的花费即可．
【详解】
解：（1）甬路的面积：（3a-a-a）•b=ab（平方米），
种花的面积：π•a2≈3a2（平方米），
故答案为：ab；3a2；
（2）种草的面积：3a•b-ab-πa2=2ab-3a2，
当a=2，b=10时，
原式≈2×2×10-3×22=40-12=28（平方米），
答：长方形场地上种草的面积为28平方米；
（3）3×22×30+28×20+2×10×10
=360+560+200
=1120（元）
答：美化这块空地共需要资金1120元．
【点睛】
此题主要考查了列代数式和代数式求值，关键是掌握四个花圃拼在一起组成圆形．
9.2
【题型1计算单项式乘多项式】（2021·吉林·四平市铁西区教师进修学校八年级期末）计算题：
【答案】
【分析】
原式先计算积的乘方和幂的乘方，再计算单项式乘以多项式即可得解．
【详解】
解：
【点睛】
本题主要考查了积的乘方和幂的乘方以及单项式乘以多项式，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
【变式1-1】（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）计算：．
【答案】
【分析】
先去小括号，计算小括号内的运算，再计算单项式乘以多项式去中括号，再合并同类项即可得到答案.
【详解】
解：
．
【点睛】
本题考查的是单项式乘以多项式，整式的乘法运算，熟练的运用单项式乘以多项式的法则进行运算是解题的关键.
【变式1-2】（2021·全国·八年级课时练习）化简．
【答案】
【分析】
先根据单项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项即可．
【详解】
解：
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【题型2单项式乘多项式的应用】（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学八年级期中）如图，学校有一块长为（2a＋b）米，宽为（2a－b）米的长方形地块，其中有两条宽为b米的甬道，学校计划将除甬道外其余部分进行绿化．
（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积；（结果写成最简形式）；
（2）若a＝5，b＝2，请你计算出绿化的总面积；
【答案】（1）；（2）60
【分析】
（1）长方形地块的长与宽分别减小b米后的长方形面积就是要绿化的总面积，最后化简即可；
（2）把a与b的值代入（1）中化简后的代数式中，求值即可．
【详解】
（1）长方形地块的长、宽分别减小b米后的长方形长为2a+b-b=2a(米)，宽为2a-b-b=(2a-2b)米，从而要绿化的总面积为：2a(2a-2b)=(4a2-4ab)平方米；
即绿化的总面积为(4a2-4ab)平方米；
（2）当a=5，b=2时，（平方米）．
【点睛】
本题考查了列代数式及求代数式的值，正确表示去掉路宽后的长方形的长与宽是关键．
【变式2-1】（2021·安徽包河·七年级期中）如图是用总长为8米的篱笆（图中所有线段）围成的区域．此区域由面积均相等的三块长方形①②③拼成的，若FC=EB=x米．
（1）用含x的代数式表示AB、BC的长；
（2）用含x的代数式表示长方形ABCD的面积．（要求化简）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据长方形的性质即可得到AE=DF=HG=2x，DH=HA=GE=FG，根据线段的和差关系可用含x的代数式表示AB和BC的长度；
（2）根据长方形的面积公式求出答案即可
【详解】
（1）解： 根据题意可得，AE=DF=GH=2x，DH=HA=GE=FG
∴AB=2x+x=3x
BC=AD=EF=；
（2）解： S长方形ABCD=AB×BC=3x×=8x-8x2
【点睛】
本题主要考查了列式表示数量关系，长方形的面积公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
【题型3利用单项式乘多项式求值】（2022·四川省荣县中学校八年级阶段练习）先化简，再求值：，其中a，b满足a=2，．
【答案】
【分析】
先计算单项式乘以多项式与积的乘方运算，再计算单项式乘以单项式，再合并同类项即可得到化简后的答案，再把代入化简后的代数式进行计算即可.
【详解】
解：
，
原式
【点睛】
本题考查的是积的乘方运算，单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，熟悉以上运算的运算法则是解本题的关键.
【变式3-1】（2021·四川·南部县第二中学八年级期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】-x2，
【分析】
根据积的乘方原则，单项式乘以多项式的法则，合并同类项原则，将原式化简，代入求值即可．
【详解】
解：原式=
当时，原式=
【点睛】
本题考查整式的运算，积的乘方等相关知识点，能够熟练应用相关知识点进行准确计算是解题关键．
9.3
【题型1计算多项式乘多项式】（2021·上海奉贤·七年级期末）计算：（2x﹣y）（x﹣2y）＝_____．
【答案】2x2﹣5xy+2y2
【分析】
根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可．
【详解】
原式＝2x•x﹣2x•2y﹣y•x+y•2y
＝2x2﹣4xy﹣xy+2y2
＝2x2﹣5xy+2y2．
故答案为：2x2﹣5xy+2y2．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式，正确的计算是解题的关键．
【变式1-1】（2022·全国·七年级）计算（3a﹣b）（a+b）+（2a+3b）（2a﹣7b）．
【答案】7﹣6ab﹣22
【分析】
根据多项式乘以多项式的法则计算．
【详解】
解：（3a﹣b）（a+b）+（2a+3b）（2a﹣7b）
＝3+3ab﹣ab﹣+4﹣14ab+6ab﹣21
＝7﹣6ab﹣22．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式1-2】（2021·福建省福州外国语学校八年级阶段练习）计算：（3x2＋2）（2x＋1）﹣2x（2x＋1）．
【答案】
【分析】
根据整式乘法运算展开，再合并同类项即可；
【详解】
原式，
，
．
【点睛】
本题主要考查了整式乘法和合并同类项，准确计算是解题的关键．
【变式1-3】（2022·吉林延边·八年级期末）计算：．
【答案】
【分析】
根据整式的乘法运算法则、合并同类项法则进行计算即可．
【详解】
解：
=
=．
【点睛】
本题考查整式的乘除、合并同类项，熟练掌握运算法则是解答的关键．
【题型2 (x+p)(x+q)型多项式乘积】（2022·四川凉山·八年级期末）若，则为（ ）
A．－15B．2C．8D．－2
【答案】B
【分析】
根据多项式乘以多项式展开，即可得值．
【详解】
解：
故选B
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式，正确的计算是解题的关键．
【变式2-1】（2022·上海浦东新·七年级期末）乘积的计算结果是_______．
【答案】
【分析】
根据多项式乘以多项式的运算法则即可得．
【详解】
解：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．
【变式2-2】（2022·宁夏原州·八年级期末）在计算时我们如果能总结规律，并加以归纳，得出数学公式，一定会提高解题的速度，在解答下面问题中请留意其中的规律．
（1）计算后填空：（x+1）（x+2）＝ ；（x+3）（x﹣1）＝ ；
（2）归纳、猜想后填空：（x+a）（x+b）＝x2+ x+ ；
（3）运用（2）猜想的结论，直接写出计算结果：（x+2）（x+m）＝ ．
【答案】（1）x2+3x+2，x2+2x﹣3；（2）（a+b），ab；（3）x2+（2+m）x+2m
【分析】
（1）根据多项式乘以多项式法则进行计算即可；
（2）根据（1）的结果得出规律即可；
（3）根据（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab得出即可．
（1）解： ；
，
故答案为：x2+3x+2，x2+2x﹣3；
（2）解：．
故答案为：（a+b），ab；
（3）解： ．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式的应用，主要考查学生的计算能力．
【题型3已知多项式的乘积不含某项求字母的值】（2021·河南·泌阳县第一初级中学八年级期中）若（mx＋8）（2﹣3x）中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．0B．3C．12D．16
【答案】C
【分析】
先计算多项式乘以多项式得到结果为，结合不含的一次项列方程，从而可得答案.
【详解】
解：（mx＋8）（2﹣3x）
（mx＋8）（2﹣3x）中不含x的一次项，
解得：
故选C
【点睛】
本题考查的是多项式乘法中不含某项，掌握“多项式乘法中不含某项即某项的系数为0”是解题的关键.
【变式3-1】（2022·重庆一中七年级期末）如果展开后不含项，那么__________．
【答案】1
【分析】
先利用多项式乘以多项式的计算法则把展开，然后利用含项的系数为0即可得到答案．
【详解】
解：
，
∵展开后不含项，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了多项式乘以多项式中不含某一项问题，解题的关键在于能够熟知不含某一项，即该项的系数为0．
【变式3-2】（2021·全国·七年级专题练习）已知与的乘积中不含和项，求的值．
【答案】，
【分析】
先把按多项式与多项式相乘的法则进行运算，再根据乘积不含和项，列出，，即可求解．
【详解】
解：
∵乘积中不含和项，
∴，，
∴，．
【点睛】
本题考查了多项式乘多项式，灵活掌握多项式乘以多项式的法则，注意各项符号的处理．
【题型4多项式乘多项式--化简求值】（2021·四川省绵阳南山中学双语学校八年级期中）化简求值：，其中，．
【答案】，8．
【分析】
先根据整式的四则混合运算法则化简，然后将x、y的值代入计算即可．
【详解】
解：
=
=
当、时，．
【点睛】
本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的四则混合运算法则成为解答本题的关键．
【变式4-1】（2021·湖南·衡阳市实验中学八年级期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】
按单项式乘以单项式法则和平方差公式化简，然后把给定的值代入求值．
【详解】
解：原式，
当时，原式．
【点睛】
考查的是整式的混合运算，主要考查了公式法、单项式与多项式相乘以及合并同类项的知识点，解题的关键是掌握相应的运算法则．
【题型5多项式乘多项式与图形面积】（2022·北京·八年级期末）图中的四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式：____________．
【答案】(x＋2y)(x＋y)＝
【分析】
根据图形，从两个角度计算长方形面积即可求出答案．
【详解】
解：大长方形的面积=(x＋2y)(x＋y)，
大长方形的面积= ，
∴(x＋2y)(x＋y)＝，
故答案为：(x＋2y)(x＋y)＝．
【点睛】
本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用运算法则．
【变式5-1】（2021·福建师范大学附属中学初中部八年级期中）根据几何图形的面积关系多种表达方式可以形象直观地表示多项式的乘法，请根据图中长方形面积的两种表达形式直接写出一个关于多项式乘多项式的等式：___．
【答案】
【分析】
根据长方形的面积计算公式求解即可；
【详解】
由题可得：；
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查了多项式乘以多项式，准确分析计算是解题的关键．
【题型6多项式乘法中的规律性问题】（2021·安徽阜阳·八年级期中）仔细观察，探究规律：
则算式值的个位数字为（ ）
A．1B．3C．5D．7
【答案】B
【分析】
仔细观察，探索规律可知：，依此计算即可求解．
【详解】
解：观察所给等式得出如下规律：
，
变形得：，
令其x=2，n=2021得：
，
∵2n的个位数字分别为2，4，8，6，即4次一循环，且，
∴22022的个位数字是4，
∴22022-1的个位数字是3，
∴的个位数字是3．
故选：B．
【点睛】
此题考查了多项式的乘法，乘方的末位数字的规律，注意从简单情形入手，发现规律，是解决问题的关键．
【变式6-1】（2021·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）观察：下列算式：
①1×3－22=3－4=－1；
②2×4－32=8－9=－1；
③3×5－42=15－16=－1
尝试：（1）请你按照三个算式的规律写出第④个、第⑤个算式；
发现：（2）请你把这个规律用含字母的式子表示出来，并说明其正确性；
应用：（3）计算2018×2020－20192=
【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）-1
【分析】
（1）按照前3个算式的规律写出即可；
（2）观察发现，算式序号与比序号大2的数的积减去比序号大1的数的平方，等于-1，根据此规律写出即可；
（3）应用（2）中的规律，即可求解．
【详解】
解：（1）①1×3－22=3－4=－1；
②2×4－32=8－9=－1；
③3×5－42=15－16=－1
④
⑤
（2）第n个式子是：
理由如下：
因此
（3）由上面的规律可得：
【点睛】
本题是对数字变化规律的考查，观察出算式中的数字与算式的序号之间的关系是解题的关键．
【题型1计算单项式乘单项式】（2021·黑龙江集贤·八年级期末）计算：______．
【变式1-1】（2021·河南兰考·八年级期中）5x3y•（﹣3y）2＋（﹣xy）•（﹣6xy）3＝________．
【变式1-2】（1）； （2）；
【题型2利用单项式乘法求字母的值】（2021·河南兰考·八年级期中）若（mx4）·（4xk）＝12x12，则m＝___，k＝___．
【变式2-1】（2020·全国·七年级课时练习）如果单项式与单项式的乘积为，则__________．
【变式2-2】（2020·江西萍乡·七年级期中）若，则________，________.
【题型3利用单项式乘法求代数式的值】（2020·全国·八年级课时练习）若单项式与的积为，则________．
【变式3-1】（2019·黑龙江大庆·七年级期中）若5am+1b2与3an+2bn的积是15a8b4，则nm＝_____．
【题型4单项式乘法的应用】（2020·辽宁大石桥·七年级阶段练习）小王购买了一套房子，他准备将地面都铺上地砖，地面结构如图所示，请根据图中的数据（单位：米），解答下列问题：
（1）用含x，y的代数式表示地面总面积；
（2）若x＝5，y＝1，铺地砖每平方米的平均费用为100元，则铺地砖的总费用为多少元？
【变式4-1】（2021·浙江杭州·七年级期中）如图是某一长方形闲置空地，宽为米，长为b米，为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径为a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长b米，宽a米的甬路，剩余部分种草．（提示：取3）
（1）甬路的面积为________平方米；种花的面积为_______平方米；
（2）当，时，请计算该长方形场地上种草的面积；
（3）在（2）的条件下，种花的费用为每平方米30元，种草的费用为每平方米20元，甬路的费用为每平方米10元．那么美化这块空地共需要资金多少元？
9.2 单项式乘多项式
【题型1计算单项式乘多项式】（2021·吉林·四平市铁西区教师进修学校八年级期末）计算题：
【变式1-1】（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）计算：．
【变式1-2】（2021·全国·八年级课时练习）化简．
【题型2单项式乘多项式的应用】（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学八年级期中）如图，学校有一块长为（2a＋b）米，宽为（2a－b）米的长方形地块，其中有两条宽为b米的甬道，学校计划将除甬道外其余部分进行绿化．
（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积；（结果写成最简形式）；
（2）若a＝5，b＝2，请你计算出绿化的总面积；
【变式2-1】（2021·安徽包河·七年级期中）如图是用总长为8米的篱笆（图中所有线段）围成的区域．此区域由面积均相等的三块长方形①②③拼成的，若FC=EB=x米．
（1）用含x的代数式表示AB、BC的长；
（2）用含x的代数式表示长方形ABCD的面积．（要求化简）
【题型3利用单项式乘多项式求值】（2022·四川省荣县中学校八年级阶段练习）先化简，再求值：，其中a，b满足a=2，．
【变式3-1】（2021·四川·南部县第二中学八年级期中）先化简，再求值：，其中．
9.3 多项式乘多项式
【题型1计算多项式乘多项式】（2021·上海奉贤·七年级期末）计算：（2x﹣y）（x﹣2y）＝_____．
【变式1-1】（2022·全国·七年级）计算（3a﹣b）（a+b）+（2a+3b）（2a﹣7b）．
【变式1-2】（2021·福建省福州外国语学校八年级阶段练习）计算：（3x2＋2）（2x＋1）﹣2x（2x＋1）．
【变式1-3】（2022·吉林延边·八年级期末）计算：．
【题型2 (x+p)(x+q)型多项式乘积】（2022·四川凉山·八年级期末）若，则为（ ）
A．－15B．2C．8D．－2
【变式2-1】（2022·上海浦东新·七年级期末）乘积的计算结果是_______．
【变式2-2】（2022·宁夏原州·八年级期末）在计算时我们如果能总结规律，并加以归纳，得出数学公式，一定会提高解题的速度，在解答下面问题中请留意其中的规律．
（1）计算后填空：（x+1）（x+2）＝ ；（x+3）（x﹣1）＝ ；
（2）归纳、猜想后填空：（x+a）（x+b）＝x2+ x+ ；
（3）运用（2）猜想的结论，直接写出计算结果：（x+2）（x+m）＝ ．
【题型3已知多项式的乘积不含某项求字母的值】（2021·河南·泌阳县第一初级中学八年级期中）若（mx＋8）（2﹣3x）中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．0B．3C．12D．16
【变式3-1】（2022·重庆一中七年级期末）如果展开后不含项，那么__________．
【变式3-2】（2021·全国·七年级专题练习）已知与的乘积中不含和项，求的值．
【题型4多项式乘多项式--化简求值】（2021·四川省绵阳南山中学双语学校八年级期中）化简求值：，其中，．
【变式4-1】（2021·湖南·衡阳市实验中学八年级期中）先化简，再求值：，其中．
【题型5多项式乘多项式与图形面积】（2022·北京·八年级期末）图中的四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式：____________．
【变式5-1】（2021·福建师范大学附属中学初中部八年级期中）根据几何图形的面积关系多种表达方式可以形象直观地表示多项式的乘法，请根据图中长方形面积的两种表达形式直接写出一个关于多项式乘多项式的等式：___．
【题型6多项式乘法中的规律性问题】（2021·安徽阜阳·八年级期中）仔细观察，探究规律：
则算式值的个位数字为（ ）
A．1B．3C．5D．7
【变式6-1】（2021·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）观察：下列算式：
①1×3－22=3－4=－1；
②2×4－32=8－9=－1；
③3×5－42=15－16=－1
尝试：（1）请你按照三个算式的规律写出第④个、第⑤个算式；
发现：（2）请你把这个规律用含字母的式子表示出来，并说明其正确性；
应用：（3）计算2018×2020－20192=
9.1
【题型1计算单项式乘单项式】（2021·黑龙江集贤·八年级期末）计算：______．
【答案】
【分析】
按照单项式乘单项式的法则进行计算即可．
【详解】
故答案为：
【点睛】
本题考查了单项式乘单项式的法则，掌握法则是关键．
【变式1-1】（2021·河南兰考·八年级期中）5x3y•（﹣3y）2＋（﹣xy）•（﹣6xy）3＝________．
【答案】
【分析】
根据积的乘方运算法则和单项式乘以单项式的运算法则计算即可．
【详解】
解：原式
故答案为：
【点睛】
本题考查积的乘方运算，单项式乘以单项式的运算，牢记相关的运算法则是解题的关键．
【变式1-2】（2021·全国·八年级课时练习）（1）； （2）；
【答案】（1）；（2）．
【分析】
根据单项式与单项式相乘法则“单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式”进行解答即可得．
【详解】
解：（1）原式=
=；
（2）原式=
=．
【点睛】
本题考查了单项式与单项式相乘，解题的关键是掌握单项式与单项式相乘法则．
【题型2利用单项式乘法求字母的值】（2021·河南兰考·八年级期中）若（mx4）·（4xk）＝12x12，则m＝___，k＝___．
【答案】3 8
【分析】
由单项式乘以单项式的乘法法则得到，由此可得，从而求得结果．
【详解】
解：∵
∴
∴
故答案为：3；8
【点睛】
本题考查利用单项式乘以单项式求字母的值，牢记相关知识点是解题的关键．
【变式2-1】（2020·全国·七年级课时练习）如果单项式与单项式的乘积为，则__________．
【答案】-5
【分析】
根据已知条件可求得，约分可得，根据单项式相乘的原则：底数不变，指数相加可得求解即可.
【详解】
单项式与单项式的乘积为，即
两边约分后可得
根据底数不变，指数相加原则可得
可求得.
故答案为-5.
【点睛】
此题考查单项式乘单项式，解题关键在于掌握运算法则.
【变式2-2】（2020·江西萍乡·七年级期中）若，则________，________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据整式的乘法运算法则即可求解.
【详解】
∵
∴3m+2n=7,2m+3=5,
故解得m=1,n=2
【点睛】
此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知幂的运算及单项式乘法的运算法则.
【题型3利用单项式乘法求代数式的值】（2020·全国·八年级课时练习）若单项式与的积为，则________．
【答案】-2
【分析】
根据整式的乘法运算法则即可求解．
【详解】
由题意，得，，
则．
故答案为：-2．
【点睛】
此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
【变式3-1】（2019·黑龙江大庆·七年级期中）若5am+1b2与3an+2bn的积是15a8b4，则nm＝_____．
【答案】8
【分析】
根据单项式乘单项式的乘法法则计算，然后根据相同字母的指数相等列方程组即可求出m、n．
【详解】
解：，
∴，
解方程组得：，
，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了单项式乘单项式，熟记法则是解题的关键．
【题型4单项式乘法的应用】（2020·辽宁大石桥·七年级阶段练习）小王购买了一套房子，他准备将地面都铺上地砖，地面结构如图所示，请根据图中的数据（单位：米），解答下列问题：
（1）用含x，y的代数式表示地面总面积；
（2）若x＝5，y＝1，铺地砖每平方米的平均费用为100元，则铺地砖的总费用为多少元？
【答案】（1）地面总面积为6x+2y+18（m2）；（2）铺地砖的总费用为5000元．
【分析】
（1）利用长方形面积公式，分块计算各房间结构的面积，再求和；
（2）将x＝5，y＝1，铺地砖每平方米的平均费用为100元，代入（1）中式子计算即可
【详解】
（1）地面总面积为：6x+2×（6﹣3）+2y+3×（2+2）＝6x+6+2y+12＝6x+2y+18（m2）；
（2）当x＝5，y＝1，铺1m2地砖的平均费用为100元，
总费用＝（6×5+2×1+18）×100＝50×100＝5000元答：铺地砖的总费用为5000元．
【点睛】
本题考查代数式与图形面积，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【变式4-1】（2021·浙江杭州·七年级期中）如图是某一长方形闲置空地，宽为米，长为b米，为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径为a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长b米，宽a米的甬路，剩余部分种草．（提示：取3）
（1）甬路的面积为________平方米；种花的面积为_______平方米；
（2）当，时，请计算该长方形场地上种草的面积；
（3）在（2）的条件下，种花的费用为每平方米30元，种草的费用为每平方米20元，甬路的费用为每平方米10元．那么美化这块空地共需要资金多少元？
【答案】（1）ab；3a2；（2）28平方米；（3）1120元
【分析】
（1）利用长方形面积公式和圆的面积公式计算即可；
（2）用总面积减去甬路和花圃面积即可；
（3）表示出甬路、花圃、草地的面积，再求出各自的花费即可．
【详解】
解：（1）甬路的面积：（3a-a-a）•b=ab（平方米），
种花的面积：π•a2≈3a2（平方米），
故答案为：ab；3a2；
（2）种草的面积：3a•b-ab-πa2=2ab-3a2，
当a=2，b=10时，
原式≈2×2×10-3×22=40-12=28（平方米），
答：长方形场地上种草的面积为28平方米；
（3）3×22×30+28×20+2×10×10
=360+560+200
=1120（元）
答：美化这块空地共需要资金1120元．
【点睛】
此题主要考查了列代数式和代数式求值，关键是掌握四个花圃拼在一起组成圆形．
9.2
【题型1计算单项式乘多项式】（2021·吉林·四平市铁西区教师进修学校八年级期末）计算题：
【答案】
【分析】
原式先计算积的乘方和幂的乘方，再计算单项式乘以多项式即可得解．
【详解】
解：
【点睛】
本题主要考查了积的乘方和幂的乘方以及单项式乘以多项式，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
【变式1-1】（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）计算：．
【答案】
【分析】
先去小括号，计算小括号内的运算，再计算单项式乘以多项式去中括号，再合并同类项即可得到答案.
【详解】
解：
．
【点睛】
本题考查的是单项式乘以多项式，整式的乘法运算，熟练的运用单项式乘以多项式的法则进行运算是解题的关键.
【变式1-2】（2021·全国·八年级课时练习）化简．
【答案】
【分析】
先根据单项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项即可．
【详解】
解：
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【题型2单项式乘多项式的应用】（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学八年级期中）如图，学校有一块长为（2a＋b）米，宽为（2a－b）米的长方形地块，其中有两条宽为b米的甬道，学校计划将除甬道外其余部分进行绿化．
（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积；（结果写成最简形式）；
（2）若a＝5，b＝2，请你计算出绿化的总面积；
【答案】（1）；（2）60
【分析】
（1）长方形地块的长与宽分别减小b米后的长方形面积就是要绿化的总面积，最后化简即可；
（2）把a与b的值代入（1）中化简后的代数式中，求值即可．
【详解】
（1）长方形地块的长、宽分别减小b米后的长方形长为2a+b-b=2a(米)，宽为2a-b-b=(2a-2b)米，从而要绿化的总面积为：2a(2a-2b)=(4a2-4ab)平方米；
即绿化的总面积为(4a2-4ab)平方米；
（2）当a=5，b=2时，（平方米）．
【点睛】
本题考查了列代数式及求代数式的值，正确表示去掉路宽后的长方形的长与宽是关键．
【变式2-1】（2021·安徽包河·七年级期中）如图是用总长为8米的篱笆（图中所有线段）围成的区域．此区域由面积均相等的三块长方形①②③拼成的，若FC=EB=x米．
（1）用含x的代数式表示AB、BC的长；
（2）用含x的代数式表示长方形ABCD的面积．（要求化简）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据长方形的性质即可得到AE=DF=HG=2x，DH=HA=GE=FG，根据线段的和差关系可用含x的代数式表示AB和BC的长度；
（2）根据长方形的面积公式求出答案即可
【详解】
（1）解： 根据题意可得，AE=DF=GH=2x，DH=HA=GE=FG
∴AB=2x+x=3x
BC=AD=EF=；
（2）解： S长方形ABCD=AB×BC=3x×=8x-8x2
【点睛】
本题主要考查了列式表示数量关系，长方形的面积公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
【题型3利用单项式乘多项式求值】（2022·四川省荣县中学校八年级阶段练习）先化简，再求值：，其中a，b满足a=2，．
【答案】
【分析】
先计算单项式乘以多项式与积的乘方运算，再计算单项式乘以单项式，再合并同类项即可得到化简后的答案，再把代入化简后的代数式进行计算即可.
【详解】
解：
，
原式
【点睛】
本题考查的是积的乘方运算，单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，熟悉以上运算的运算法则是解本题的关键.
【变式3-1】（2021·四川·南部县第二中学八年级期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】-x2，
【分析】
根据积的乘方原则，单项式乘以多项式的法则，合并同类项原则，将原式化简，代入求值即可．
【详解】
解：原式=
当时，原式=
【点睛】
本题考查整式的运算，积的乘方等相关知识点，能够熟练应用相关知识点进行准确计算是解题关键．
9.3
【题型1计算多项式乘多项式】（2021·上海奉贤·七年级期末）计算：（2x﹣y）（x﹣2y）＝_____．
【答案】2x2﹣5xy+2y2
【分析】
根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可．
【详解】
原式＝2x•x﹣2x•2y﹣y•x+y•2y
＝2x2﹣4xy﹣xy+2y2
＝2x2﹣5xy+2y2．
故答案为：2x2﹣5xy+2y2．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式，正确的计算是解题的关键．
【变式1-1】（2022·全国·七年级）计算（3a﹣b）（a+b）+（2a+3b）（2a﹣7b）．
【答案】7﹣6ab﹣22
【分析】
根据多项式乘以多项式的法则计算．
【详解】
解：（3a﹣b）（a+b）+（2a+3b）（2a﹣7b）
＝3+3ab﹣ab﹣+4﹣14ab+6ab﹣21
＝7﹣6ab﹣22．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式1-2】（2021·福建省福州外国语学校八年级阶段练习）计算：（3x2＋2）（2x＋1）﹣2x（2x＋1）．
【答案】
【分析】
根据整式乘法运算展开，再合并同类项即可；
【详解】
原式，
，
．
【点睛】
本题主要考查了整式乘法和合并同类项，准确计算是解题的关键．
【变式1-3】（2022·吉林延边·八年级期末）计算：．
【答案】
【分析】
根据整式的乘法运算法则、合并同类项法则进行计算即可．
【详解】
解：
=
=．
【点睛】
本题考查整式的乘除、合并同类项，熟练掌握运算法则是解答的关键．
【题型2 (x+p)(x+q)型多项式乘积】（2022·四川凉山·八年级期末）若，则为（ ）
A．－15B．2C．8D．－2
【答案】B
【分析】
根据多项式乘以多项式展开，即可得值．
【详解】
解：
故选B
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式，正确的计算是解题的关键．
【变式2-1】（2022·上海浦东新·七年级期末）乘积的计算结果是_______．
【答案】
【分析】
根据多项式乘以多项式的运算法则即可得．
【详解】
解：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．
【变式2-2】（2022·宁夏原州·八年级期末）在计算时我们如果能总结规律，并加以归纳，得出数学公式，一定会提高解题的速度，在解答下面问题中请留意其中的规律．
（1）计算后填空：（x+1）（x+2）＝ ；（x+3）（x﹣1）＝ ；
（2）归纳、猜想后填空：（x+a）（x+b）＝x2+ x+ ；
（3）运用（2）猜想的结论，直接写出计算结果：（x+2）（x+m）＝ ．
【答案】（1）x2+3x+2，x2+2x﹣3；（2）（a+b），ab；（3）x2+（2+m）x+2m
【分析】
（1）根据多项式乘以多项式法则进行计算即可；
（2）根据（1）的结果得出规律即可；
（3）根据（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab得出即可．
（1）解： ；
，
故答案为：x2+3x+2，x2+2x﹣3；
（2）解：．
故答案为：（a+b），ab；
（3）解： ．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式的应用，主要考查学生的计算能力．
【题型3已知多项式的乘积不含某项求字母的值】（2021·河南·泌阳县第一初级中学八年级期中）若（mx＋8）（2﹣3x）中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．0B．3C．12D．16
【答案】C
【分析】
先计算多项式乘以多项式得到结果为，结合不含的一次项列方程，从而可得答案.
【详解】
解：（mx＋8）（2﹣3x）
（mx＋8）（2﹣3x）中不含x的一次项，
解得：
故选C
【点睛】
本题考查的是多项式乘法中不含某项，掌握“多项式乘法中不含某项即某项的系数为0”是解题的关键.
【变式3-1】（2022·重庆一中七年级期末）如果展开后不含项，那么__________．
【答案】1
【分析】
先利用多项式乘以多项式的计算法则把展开，然后利用含项的系数为0即可得到答案．
【详解】
解：
，
∵展开后不含项，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了多项式乘以多项式中不含某一项问题，解题的关键在于能够熟知不含某一项，即该项的系数为0．
【变式3-2】（2021·全国·七年级专题练习）已知与的乘积中不含和项，求的值．
【答案】，
【分析】
先把按多项式与多项式相乘的法则进行运算，再根据乘积不含和项，列出，，即可求解．
【详解】
解：
∵乘积中不含和项，
∴，，
∴，．
【点睛】
本题考查了多项式乘多项式，灵活掌握多项式乘以多项式的法则，注意各项符号的处理．
【题型4多项式乘多项式--化简求值】（2021·四川省绵阳南山中学双语学校八年级期中）化简求值：，其中，．
【答案】，8．
【分析】
先根据整式的四则混合运算法则化简，然后将x、y的值代入计算即可．
【详解】
解：
=
=
当、时，．
【点睛】
本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的四则混合运算法则成为解答本题的关键．
【变式4-1】（2021·湖南·衡阳市实验中学八年级期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】
按单项式乘以单项式法则和平方差公式化简，然后把给定的值代入求值．
【详解】
解：原式，
当时，原式．
【点睛】
考查的是整式的混合运算，主要考查了公式法、单项式与多项式相乘以及合并同类项的知识点，解题的关键是掌握相应的运算法则．
【题型5多项式乘多项式与图形面积】（2022·北京·八年级期末）图中的四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式：____________．
【答案】(x＋2y)(x＋y)＝
【分析】
根据图形，从两个角度计算长方形面积即可求出答案．
【详解】
解：大长方形的面积=(x＋2y)(x＋y)，
大长方形的面积= ，
∴(x＋2y)(x＋y)＝，
故答案为：(x＋2y)(x＋y)＝．
【点睛】
本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用运算法则．
【变式5-1】（2021·福建师范大学附属中学初中部八年级期中）根据几何图形的面积关系多种表达方式可以形象直观地表示多项式的乘法，请根据图中长方形面积的两种表达形式直接写出一个关于多项式乘多项式的等式：___．
【答案】
【分析】
根据长方形的面积计算公式求解即可；
【详解】
由题可得：；
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查了多项式乘以多项式，准确分析计算是解题的关键．
【题型6多项式乘法中的规律性问题】（2021·安徽阜阳·八年级期中）仔细观察，探究规律：
则算式值的个位数字为（ ）
A．1B．3C．5D．7
【答案】B
【分析】
仔细观察，探索规律可知：，依此计算即可求解．
【详解】
解：观察所给等式得出如下规律：
，
变形得：，
令其x=2，n=2021得：
，
∵2n的个位数字分别为2，4，8，6，即4次一循环，且，
∴22022的个位数字是4，
∴22022-1的个位数字是3，
∴的个位数字是3．
故选：B．
【点睛】
此题考查了多项式的乘法，乘方的末位数字的规律，注意从简单情形入手，发现规律，是解决问题的关键．
【变式6-1】（2021·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）观察：下列算式：
①1×3－22=3－4=－1；
②2×4－32=8－9=－1；
③3×5－42=15－16=－1
尝试：（1）请你按照三个算式的规律写出第④个、第⑤个算式；
发现：（2）请你把这个规律用含字母的式子表示出来，并说明其正确性；
应用：（3）计算2018×2020－20192=
【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）-1
【分析】
（1）按照前3个算式的规律写出即可；
（2）观察发现，算式序号与比序号大2的数的积减去比序号大1的数的平方，等于-1，根据此规律写出即可；
（3）应用（2）中的规律，即可求解．
【详解】
解：（1）①1×3－22=3－4=－1；
②2×4－32=8－9=－1；
③3×5－42=15－16=－1
④
⑤
（2）第n个式子是：
理由如下：
因此
（3）由上面的规律可得：
【点睛】
本题是对数字变化规律的考查，观察出算式中的数字与算式的序号之间的关系是解题的关键．
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