期末复习综合测试题（3）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册

必修第一册综合复习测试题三

一．选择题（共8小题）

1．已知全集为实数集，，，则　　

A． B． C． D．

2．设，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．若，则化简得　　

A． B． C． D．

4．若，，则下列不等式中必然成立的一个是　　

A． B． C． D．

5．若函数与在区间，上都是严格减函数，则实数的取值范围为　　

A． B．，， C． D．，

6．模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天）的模型：其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为　　

A．60 B．65 C．66 D．69

7．已知指数函数的图象经过点，，（1），，则　　

A． B． C． D．

8．已知函数，的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则的单调递减区间是　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

二．多选题（共5小题）

9．设集合，，则下列关系正确的是　　

A． B． C． D．

10．已知，，设，，则下列说法正确的是　　

A．有最小值，最小值为1 B．有最大值，最大值为 

C．没有最小值 D．有最大值，最大值为

11．已知函数的图象关于直线对称，则　　

A． 

B．函数的图象关于，中心对称 

C．函数在，上单调递增 

D．若，则的最小值为

12．已知定义在上的函数满足，且当时，，则可作为方程实根的有　　

A． B． C． D．

三．填空题（共4小题）

13．命题：，的否定是　　．

14．若函数，的图象恒过定点，则点的坐标为　　；若点在角的终边上，则　　．

15．已知函数的图象向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，函数在区间，上的最大值是　　．

16．已知函数，若函数有四个零点，则实数的取值范围是　　．

四．解答题（共6小题）

17．已知是第四象限角，且，计算：

（1）；

（2）．

18．已知函数．

（1）求的值及函数的最小正周期；

（2）求在区间上的最值及对应的值．

19．已知函数．

（1）求的值及函数的单调增区间；

（2）若，，不等式恒成立，求实数的取值集合．

20．已知某工厂生产机器设备的年固定成本为200万元，每生产1台还需另投入20万元，设该公司一年内共生产该机器设备台并全部销售完，每台机器设备销售的收入为万元，且．

（1）求年利润（万元）关于年产量（台的函数解析式；

（2）当年产量为多少台时，该工厂生产所获得的年利润最大？并求出最大年利润．

21．已知．

（1）若对任意的，恒成立，求的取值范围；

（2）试判断在，上的零点个数．

22．已知函数是偶函数（其中为自然对数的底数，．

（1）求的值；

（2）若方程在区间，上有实数根，求实数的取值范围．

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．已知全集为实数集，，，则　　

A． B． C． D．

【分析】可求出集合，然后进行补集和交集的运算即可．

【解答】解：，，

，．

故选：．

【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．

2．设，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】解不等式，根据集合的包含关系判断即可．

【解答】解：，

，

故是的充分不必要条件，

故选：．

【点评】本题考查了集合的包含关系，考查充分必要条件，是一道基础题．

3．若，则化简得　　

A． B． C． D．

【分析】利用有理数指数幂的运算性质求解．

【解答】解：，

．

故选：．

【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，是基础题．

4．若，，则下列不等式中必然成立的一个是　　

A． B． C． D．

【分析】根据题意取特殊值即可判断，利用不等式的基本性质即可判断．

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，若，，，，满足，，但不满足，错误，

对于，若，，，，满足，，但不满足，错误，

对于，若，则，又由，则，正确，

对于，若，，，，满足，，但不满足，错误，

故选：．

【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题．

5．若函数与在区间，上都是严格减函数，则实数的取值范围为　　

A． B．，， C． D．，

【分析】结合函数图象的变换及反比例函数与一次函数性质可求．

【解答】解：因为与在区间，上都是严格减函数，

所以，

故．

故选：．

【点评】本题主要考查了基本初等函数单调性的应用，属于基础题．

6．模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天）的模型：其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为　　

A．60 B．65 C．66 D．69

【分析】由已知可得方程，解出即可．

【解答】解：由已知可得，解得，

两边取对数有，

解得，

故选：．

【点评】本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，是基础题．

7．已知指数函数的图象经过点，，（1），，则　　

A． B． C． D．

【分析】设，利用待定系数法进行求的解析，然后判断，，的大小关系．

【解答】解：设，

的图象经过点，

（3），则，即．（1），

，

，，

，

故选：．

【点评】本题主要考查指数函数解析式和单调性，利用待定系数法求出函数的解析式是解决本题的关键，属基础题．

8．已知函数，的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则的单调递减区间是　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

【分析】由题意可得，第一个交点与第三个交点的差是一个周期；第一个交点与第二个交点的中点的横坐标对应的函数值是最大值．从这两个方面考虑可求得参数、的值，进而利用三角函数的单调性求区间．

【解答】解：与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8

知函数的周期为，得，

再由五点法作图可得，求得，

函数，

令，，解得：，，

即，，

故选：．

【点评】本题主要考查三角函数的单调性的求解，根据条件求出函数的周期是解决本题的关键，属于中档题．

二．多选题（共5小题）

9．设集合，，则下列关系正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】由指数函数的性质求出函数的值域即集合，由对数函数的性质即真数大于0，解一元二次不等式得到集合，判断两个集合的关系，结合选项可得正确答案．

【解答】解：集合，

集合，，

，即，

故选：．

【点评】本题考查了集合间的关系，以及指数函数和对数函数的性质，属于基础题．

10．已知，，设，，则下列说法正确的是　　

A．有最小值，最小值为1 B．有最大值，最大值为 

C．没有最小值 D．有最大值，最大值为

【分析】由已知结合基本不等式及不等式的性质分别求解，的取值范围，进而可求判断．

【解答】解：，当且仅当时取等号，

故，即的最大值为，错误，正确；

，则，即没有最小值，有最大值．

故选：．

【点评】本题主要考查了基本不等式及不等式的性质的简单应用，解题的关键是不等式性质的熟练应用．

11．已知函数的图象关于直线对称，则　　

A． 

B．函数的图象关于，中心对称 

C．函数在，上单调递增 

D．若，则的最小值为

【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，得出结论．

【解答】解：函数的图象关于直线对称，

，，，函数．

故有，故错误；

令，求得，可得函数的图象关于，中心对称，故正确；

当，，，函数没有单调性，故错误；

若，则和中，一个最大，另一个最小，

的最小值，故正确，

故选：．

【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．

12．已知定义在上的函数满足，且当时，，则可作为方程实根的有　　

A． B． C． D．

【分析】由已知求得函数解析式，得到，进一步写出分段函数，求解方程得答案．

【解答】解：，为定义在上的奇函数，

当时，，设，则，

得，即．

，则，

令，

当时，解得或或．

故选：．

【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，考查函数与方程思想，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．

三．填空题（共4小题）

13．命题：，的否定是　，　．

【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．

【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，

所以，的否定是：，．

故答案为：，．

【点评】本题考查特称命题与全称命题的否定关系，考查基本知识的应用．

14．若函数，的图象恒过定点，则点的坐标为　　；若点在角的终边上，则　　．

【分析】令幂指数等于零，求得、的值，可得它的图象经过定点的坐标，再根据三角形函数的定义即可求出．

【解答】解：对于函数，，令，求得，，可得它的的图象恒过定点，

点在角的终边上，

，

，

故答案为：，4．

【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，还考查了任意角的三角函数，属于基础题

15．已知函数的图象向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，函数在区间，上的最大值是　　．

【分析】由题意利用三角恒等变换化简的解析式，再利用函数的图象变换规律，得到的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域，求得在区间，上的最大值．

【解答】解：函数

，

把的图象向左平移个单位长度，得到的图象，

然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到 的图象．

当，，，，故当时，取得最大值为，

故答案为：．

【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．

16．已知函数，若函数有四个零点，则实数的取值范围是　　．

【分析】对分段函数进行分类讨论，分别研究当时，函数和的交点个数，然后再研究当时，与有两个交点，利用数形结合的方法进行分析求解，即可得到答案．

【解答】解：若函数有四个零点，需和有四个交点，

当时，作出函数和的图象如下图所示，

直线恒过定点，

设于相切于点，，则，，

由，得，所以，解得，

即当时，函数与有两个交点，

当时，若与有两个交点，需有两个不相等的实根，

当时，无解；

当时，，

由对勾函数图象可得，当，即时，与有两个交点，

故与有两个交点，

综上可得，当时，函数有四个零点．

故答案为：．

【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，涉及了分段函数的应用、对数函数的图象和性质、曲线的切线方程的应用，对于分段函数的问题，解题的方法一般是分类讨论和数形结合

四．解答题（共6小题）

17．已知是第四象限角，且，计算：

（1）；

（2）．

【分析】又已知利用同角三角函数基本关系式化简可得，的值，

（1）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简即可求解；

（2）利用诱导公式化简即可代入求解；

【解答】解：是第四象限角，且，

可得，

可得，，

（1）；

（2）．

【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

18．已知函数．

（1）求的值及函数的最小正周期；

（2）求在区间上的最值及对应的值．

【分析】（1）利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简函数解析式可得，利用特殊角的三角函数值可得解的值，利用正弦函数的周期公式即可求解的最小正周期．

（2）由已知可求范围，利用正弦函数的性质即可求解．

【解答】解：（1）因为，

所以，

的最小正周期为．

（2）因为，可得，

所以，，

当，即时，取得最小值为，

当，即时，取得最大值为1．

【点评】本题主要考查了二倍角公式，两角和的正弦公式，特殊角的三角函数值，以及正弦函数的性质，考查了函数思想，属于基础题．

19．已知函数．

（1）求的值及函数的单调增区间；

（2）若，，不等式恒成立，求实数的取值集合．

【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，代入计算可求的值，结合正弦函数的单调性列出不等式解出单调区间；

（2）求出在，上的值域，根据题意列出不等式组即可解出的范围．

【解答】解：（1），

，

令，解得，．

的单调递增区间是，，．

（2），，可得，，

当时，取得最大值1，当时，取得最小值．

恒成立，，解得．

实数的取值范围是，．

【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的单调性，三角函数的值域，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．

20．已知某工厂生产机器设备的年固定成本为200万元，每生产1台还需另投入20万元，设该公司一年内共生产该机器设备台并全部销售完，每台机器设备销售的收入为万元，且．

（1）求年利润（万元）关于年产量（台的函数解析式；

（2）当年产量为多少台时，该工厂生产所获得的年利润最大？并求出最大年利润．

【分析】（1）由分段写出函数解析式；

（2）分类利用函数的单调性及换元法、配方法求最值，取最大值中的最大者得结论．

【解答】解：（1）当时，；

当时，．

；

（2）①当时，在，上为增函数，

当时，（万元）；

②当时，，

令，，

当，即时，（万元）．

综上，当年产量为49台时，获得的年利润最大，最大为1780万元．

【点评】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用换元法及配方法求最值，考查运算求解能力，是中档题．

21．已知．

（1）若对任意的，恒成立，求的取值范围；

（2）试判断在，上的零点个数．

【分析】（1）将看成自变量，得到关于为自变量的一次函数，根据一次函数在指定区间的端点处取得最小值，由此构造出关于的不等式组，求解即可；

（2）分离参数，利用对勾函数的单调性研究函数的单调性、最值情况，据此构造出的不等式组，求解．

【解答】解：（1）原函数式可化为（a），．

由题意可得，即，解得，

故的取值范围是，或．

（2）令得，因为，

故，，令，

由对勾函数的性质可知，函数在上单调递减，在上单调递增，

且，，（4）．

故当时，函数只有一个零点；

当时，原函数有两个零点；

当或时，原函数没有零点．

【点评】本题考查函数思想在解决不等式恒成立、方程的根与函数的零点问题中的应用．属于中档题．

22．已知函数是偶函数（其中为自然对数的底数，．

（1）求的值；

（2）若方程在区间，上有实数根，求实数的取值范围．

【分析】（1）利用偶函数的定义，求出的值；

（2）分离参数，然后构造函数并结合单调性求出新函数的值域，则的范围可求．

【解答】解：（1）由是偶函数得：

恒成立，故，即．

（2）由（1）知．

由得，，．

令，，．

当，时，，，故，．

故，时，方程在区间，上有实数根．

即的取值范围是，．

【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，函数的零点与函数值域间的关系．属于中档题．