辽宁省葫芦岛市兴城市2021年中考数学一模试题含解析

这是一份辽宁省葫芦岛市兴城市2021年中考数学一模试题含解析，共30页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年辽宁省葫芦岛市兴城市中考数学一模试卷
一、选择题（共10小题）.
1．在1、﹣1、3、﹣2这四个数中，最大的数是（　　）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣2
2．下列几何体其中左视图是矩形的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列运算正确的是（　　）
A．4xy﹣2y＝2x B．（x﹣3）2＝x2﹣9
C．（﹣2a2）3＝﹣8a5 D．a6÷a4＝a2
4．下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（　　）
A．调查一批新型节能灯泡的使用寿命
B．调查一批饮料的防腐剂情况
C．对某市初中生每天阅读时间的调查
D．对某班学生视力情况的调查
5．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
6．若关于x的方程2x（x﹣1）+mx＝﹣2有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　）
A．﹣2 B．6 C．﹣2或6 D．2或﹣6
7．一次函数y＝kx+b满足kb＞0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD∥AB，∠BCD＝30°，AB＝6，则的长为（　　）

A．π B．4π C．2π D．45π
9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧分别交于点D，E，直线DE交AC于点F，交AB于点G，AC＝4，AB＝3，则CG的长为（　　）

A．4 B． C． D．2
10．如图，△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝4，点D为AC中点，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C作匀速运动，点P与点C重合时停止运动．设点P的运动时间为x秒，△PBD的面积为y，则下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分，不要把答案写在题中横线上）
11．某种冠状病毒的直径为0.00000012纳米，这个数用科学记数法应表示为　 　．
12．分解因式：2a3﹣8a＝　 　．
13．在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中有5个红球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个黄球的概率为　 　．
14．如图所示，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1的度数为　 　．

15．如图，甲，乙两艘船同时从港口A出发，甲船沿北偏东45°的方向前进，乙船沿北偏东75°方向以每小时30海里的速度前进，两船航行两小时分别到达B，C处，此时测得甲船在乙船的正西方向，则甲船每小时行驶　 　海里．

16．如图，正方形ABCD中，将线段AD绕点A顺时针旋转30°得到线段AE，CE的延长线交正方形ABCD的对角线BD于点F，则∠DFC的度数为　 　．

17．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（2，0），点C从点O出发，在第一象限沿射线y＝x运动，当△ABC是直角三角形时，点C的坐标为　 　．

18．如图，等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，点E在线段BD上，∠ACE＝45°，AE的延长线交BC于点F，点G在线段AF上，GE＝EF，连接CG交BD于点H．下面结论：①CE＝AE；②∠ACG＝30°；③EB＝（﹣1）DE；④CH+DH＝AB，其中正确结论的序号为　 　．

三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．先化简，再求值（x+1﹣）．其中x＝﹣2．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（5，3），C（2，4）．
（1）请作出△ABC绕O点逆时针旋转90°的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC扩大为原来的2倍，在y轴的左侧得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）请直接写出∠ABC的正弦值．

四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．某校八年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5：2，请结合图中相关数据回答下列问题：

发言次数n
A
0≤n＜3
B
3≤n＜6
C
6≤n＜9
D
9≤n＜12
E
12≤n＜15
F
15≤n＜18

（1）求出样本容量，并补全直方图；
（2）该年级共有学生500人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数；
（3）已知A组发言的学生中恰有1位女生，E组发言的学生中有2位男生．现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率．
22．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交于点A（，0），与反比例函数y＝（a≠0）的图象在第一象限交于点B（4，m），过点B作BC⊥x轴上点C，△ACD的面积为．
（1）求反比例函数y＝的解析式；
（2）求证：△BCD是等腰三角形．

五、解答题（本小题满分12分）
23．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O为AB上一点，以O为圆心，AO为半径的圆经过点D．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若BD＝AD＝，求阴影部分的面积．

六、解答题（本小题满分12分）
24．兴城泳装在国内外享有较高的知名度，网店经销某品牌泳装，每件成本30元，网店按单价不低于成本，且不高于50元销售．在销售过程中发现，泳装每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该泳装每天的销售量y（件）与x（元）之间的函数关系式；
（2）当每件泳装的售价为多少元时，每天销售泳装获得的利润为1050元？
（3）销售单价定为多少元时，才能使每天销售泳装获得的利润W（元）最大？最大利润是多少元？

七、解答题（满分12分）
25．如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°（AB＜AD），△ADE绕点A旋转．

（1）如图1，若连接BD、CE，求证：BD＝CE，BD⊥CE；
（2）如图2，若连接CD、BE，取BE中点F，连接AF，试探究AF与CD的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，当△ADE旋转到如图3的位置时，点D落在BC延长线上，若AF＝1.5，AC＝2，请直接写出线段AD的长．
八、解答题（满分14分）
26．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（3，0），B（﹣1，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A和点C．
（1）求抛物线和直线AC的解析式；
（2）连接CD，若抛物线上存在一点P，使△ACP的面积是△ACD面积的2倍，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段QA绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且A1恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．



参考答案
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在1、﹣1、3、﹣2这四个数中，最大的数是（　　）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣2
解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣2＜﹣1＜1＜3，
∴在1、﹣1、3、﹣2这四个数中，最大的数是3．
故选：C．
2．下列几何体其中左视图是矩形的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：圆柱的左视图是矩形；三棱柱的左视图是矩形；长方体的左视图是矩形；圆锥的左视图是三角形；
所以其中左视图是矩形的有3个．
故选：C．
3．下列运算正确的是（　　）
A．4xy﹣2y＝2x B．（x﹣3）2＝x2﹣9
C．（﹣2a2）3＝﹣8a5 D．a6÷a4＝a2
解：A.4xy与﹣2y不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，故本选项不合题意；
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6，故本选项不合题意；
D．a6÷a4＝a2，正确．
故选：D．
4．下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（　　）
A．调查一批新型节能灯泡的使用寿命
B．调查一批饮料的防腐剂情况
C．对某市初中生每天阅读时间的调查
D．对某班学生视力情况的调查
解：A、调查一批新型节能灯泡的使用寿命，适宜采用抽样调查方式，故本选项不合题意；
B、调查一批饮料的防腐剂情况，适宜采用抽样调查方式，故本选项不合题意；
C、对某市初中生每天阅读时间的调查，适宜采用抽样调查方式，故本选项不合题意；
D、对某班学生视力情况的调查，适宜采用全面调查，故本选项符合题意；
故选：D．
5．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
解：解不等式x+3＞2，得：x＞﹣1，
解不等式4﹣x＞1，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣1＜x＜3，
故选：B．
6．若关于x的方程2x（x﹣1）+mx＝﹣2有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　）
A．﹣2 B．6 C．﹣2或6 D．2或﹣6
解：方程整理为2x2+（m﹣2）x+2＝0，
根据题意得△＝（m﹣2）2﹣4×2×2＝0，
解得m1＝6或m2＝﹣2．
故选：C．
7．一次函数y＝kx+b满足kb＞0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：根据y随x的增大而减小得：k＜0，又kb＞0，则b＜0，
故此函数的图象经过第二、三、四象限，
即不经过第一象限．
故选：A．
8．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD∥AB，∠BCD＝30°，AB＝6，则的长为（　　）

A．π B．4π C．2π D．45π
解：连接OC，如图：
∵AB是⊙O的直径，
∴OA＝AB＝3，
∵CD∥AB，
∴∠ABC＝∠BCD＝30°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，
∴的长为＝π；
故选：A．

9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧分别交于点D，E，直线DE交AC于点F，交AB于点G，AC＝4，AB＝3，则CG的长为（　　）

A．4 B． C． D．2
解：由基本作图方法得出，DG垂直平分AC，
则AG＝GC，
设GC＝x，则BG＝3﹣x，
∵∠B＝90°，AC＝4，AB＝3，
∴BC＝＝，
∴BG2+BC2＝CG2，
即（3﹣x）2+（）2＝x2，
解得：x＝．
故选：B．
10．如图，△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝4，点D为AC中点，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C作匀速运动，点P与点C重合时停止运动．设点P的运动时间为x秒，△PBD的面积为y，则下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
解：∵AB＝BC＝5，点D为AC中点，
∴，BD⊥AC，AD＝CD＝，
∴＝＝，
∴＝＝10，
∴S△ABD＝S△BDC＝5，
设点D到AB的距离为h，
∴，
即，
解得h＝2，
∴点D到AB的距离为2，
同理可得点D到BC的距离为2，
当P在AB上时，PB的长为：5﹣x，高为2，
∴S△PDB＝＝5﹣x（0≤x≤5）；
当P在BC上时，PB的长为：x﹣5，高为2，
∴S△PDB＝＝x﹣5（5＜x≤10），
故只有选项A符合题意．
故选：A．
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分，不要把答案写在题中横线上）
11．某种冠状病毒的直径为0.00000012纳米，这个数用科学记数法应表示为　1.2×10﹣7　．
解：0.00000012＝1.2×10﹣7．
故答案为：1.2×10﹣7．
12．分解因式：2a3﹣8a＝　2a（a+2）（a﹣2）　．
解：原式＝2a（a2﹣4）＝2a（a+2）（a﹣2），
故答案为：2a（a+2）（a﹣2）
13．在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中有5个红球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个黄球的概率为　　．
解：设袋子中黄球有x个，
根据题意，得：＝，
解得：x＝3，
即袋中黄球有3个，
所以随机摸出一个黄球的概率为＝，
故答案为：．
14．如图所示，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1的度数为　75°　．

解：∵两三角板的斜边互相平行，
∴∠3＝∠2＝45°．
∵∠3＝∠4+∠5，
∴∠5＝∠3﹣∠4＝45°﹣30°＝15°．
又∵∠1+∠5+90°＝180°，
∴∠1＝75°．
故答案为：75°．

15．如图，甲，乙两艘船同时从港口A出发，甲船沿北偏东45°的方向前进，乙船沿北偏东75°方向以每小时30海里的速度前进，两船航行两小时分别到达B，C处，此时测得甲船在乙船的正西方向，则甲船每小时行驶　15（﹣1）　海里．

解：设甲船每小时行驶x海里，则AB＝2x海里，
如图，

作BD⊥AC于点D，在AC上取点E，使BE＝CE，
根据题意可知：
∠BAD＝30°，∠C＝15°，
∴∠BED＝30°，
∴AD＝DE＝x，
CE＝BE＝AB＝2x，
∴AD+DE+CE＝60，
即x+x+2x＝60，
解得x＝15（﹣1）（海里）．
答：甲船每小时行驶15（﹣1）海里．
故答案为：15（﹣1）．
16．如图，正方形ABCD中，将线段AD绕点A顺时针旋转30°得到线段AE，CE的延长线交正方形ABCD的对角线BD于点F，则∠DFC的度数为　120°　．

解：如图，连接DE，BE，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC，∠ADB＝∠BDC＝45°，
∵将线段AD绕点A顺时针旋转30°得到线段AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝30°，
∴AB＝AE，∠EAB＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE，∠ABE＝60°，
∴BE＝BC，∠CBE＝30°，
∴∠BCE＝75°，
∴∠DCF＝15°，
∴∠DFC＝180°﹣∠BDC﹣∠DCF＝120°，
故答案为：120°．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（2，0），点C从点O出发，在第一象限沿射线y＝x运动，当△ABC是直角三角形时，点C的坐标为　（1，）或（2，2）　．

解：∵点A（﹣2，0），B（2，0），
∴OA＝OB＝2，
设点C的坐标为（x，x），
①当∠ACB＝90°时，如图，过点C作CD⊥OB于点D，

∵O是AB的中点，
∴OC＝OA＝OB＝2，
∵OD2+CD2＝OC2，
∴x2+（x）2＝22，
解得x＝1（负值舍去），
∴OD＝1，CD＝，
∴点C的坐标为（1，）；
②当∠ABC＝90°时，如图，

∴x＝OB＝2，
∴BC＝x＝2，
∴点C的坐标为（2，2）；
综上所述：点C的坐标为（1，）或（2，2）．
故答案为：（1，）或（2，2）．
18．如图，等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，点E在线段BD上，∠ACE＝45°，AE的延长线交BC于点F，点G在线段AF上，GE＝EF，连接CG交BD于点H．下面结论：①CE＝AE；②∠ACG＝30°；③EB＝（﹣1）DE；④CH+DH＝AB，其中正确结论的序号为　①②③④　．

解：∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的中线，
∴BD⊥AC，AD＝DC，∠CAB＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴EC＝EA，故①正确，
∵EC＝EA，
∴∠ECA＝∠EAC＝45°，
∴∠BAF＝∠BAC﹣∠EAC＝15°，
∴∠AFC＝∠FAB+∠ABC＝75°，
∵EG＝EF，CE⊥FG，
∴CF＝CG，
∴∠ECF＝∠ECG＝15°，
∴∠ACG＝∠GCF＝30°，故②正确，
设AD＝DC＝m，则AB＝AC＝2m，BD＝m，
∵AD＝DE＝m，
∴BE＝m﹣m，
∴，
∴EB＝DE，故③正确，
在Rt△CDH中，∵∠DCH＝30°，CD＝m，
∴DH＝CD＝m，CH＝m，
∴CH+DH＝m＝AB，故④正确，
故答案为：①②③④．

三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．先化简，再求值（x+1﹣）．其中x＝﹣2．
解：原式＝﹣÷
＝﹣•
＝﹣，
当x＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（5，3），C（2，4）．
（1）请作出△ABC绕O点逆时针旋转90°的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC扩大为原来的2倍，在y轴的左侧得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）请直接写出∠ABC的正弦值．

解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；

（3）∵BC＝＝，AC＝＝，AB＝＝，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴sin∠ABC＝sin45°＝．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．某校八年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5：2，请结合图中相关数据回答下列问题：

发言次数n
A
0≤n＜3
B
3≤n＜6
C
6≤n＜9
D
9≤n＜12
E
12≤n＜15
F
15≤n＜18

（1）求出样本容量，并补全直方图；
（2）该年级共有学生500人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数；
（3）已知A组发言的学生中恰有1位女生，E组发言的学生中有2位男生．现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率．
解：（1）∵B、E两组发言人数的比为5：2，E组发言人数占8%，
∴B组发言的人数占20%，
由直方图可知B组人数为10人，
所以，被抽查的学生人数为：10÷20%＝50人，
C组人数为：50×30%＝15人，
B组人数所占的百分比为：×100%＝20%，
F组的人数为：50×（1﹣6%﹣20%﹣30%﹣26%﹣8%），
＝50×（1﹣90%），
＝50×10%，
＝5，
∴样本容量为50人．补全直方图如图；

（2）F组发言的人数所占的百分比为：10%，
所以，估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数为：500×（8%+10%）＝90人；

（3）A组发言的学生：50×6%＝3人，所以有1位女生，2位男生，
E组发言的学生：50×8%＝4人，所以有2位女生，2位男生，
列表如下：

画树状图如下：

共12种情况，其中一男一女的情况有6种，
所以P（一男一女）＝＝．

22．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交于点A（，0），与反比例函数y＝（a≠0）的图象在第一象限交于点B（4，m），过点B作BC⊥x轴上点C，△ACD的面积为．
（1）求反比例函数y＝的解析式；
（2）求证：△BCD是等腰三角形．

解：（1）∵B（4，m），
∴点C坐标为（4，0），
点A（，0），
故AC＝4﹣＝，
∴S△ACD＝×AC×OD＝×OD＝，
∴OD＝3，
故点D坐标为（0，﹣3），
设直线AD的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，
故直线的解析式为y＝2x﹣3，
把点B的坐标代入上式得：m＝2×4﹣3＝5，
故点B（4，5），
将点B的坐标代入反比例函数表达式得：5＝，解得：a＝20，
故反比例函数的解析式为y＝；

（2）由点B（4，5），点C（4，0）得：BC＝5，
在Rt△COD中，CD＝＝＝5，
∴BC＝5＝CD，
故△BCD为等腰三角形．
五、解答题（本小题满分12分）
23．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O为AB上一点，以O为圆心，AO为半径的圆经过点D．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若BD＝AD＝，求阴影部分的面积．

解：（1）连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∴∠BDO＝∠ACB＝90°，
∴DC⊥DO，
∵DO为⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切；


（2）∵BD＝AD＝，
∴∠B＝∠DAB，
∵∠BAD＝∠DAC，
∴∠B＝∠BAD＝∠DAC，
∵∠C＝90°，
∴∠B＝∠BAD＝30°，
∴∠BOD＝60°，
在Rt△BDO中，BO＝2DO，BO2＝DO2+BD2，
∵BD＝，
∴DO＝1，
∴S△BDO＝＝，
∴S扇形ODE＝＝，
∴阴影部分的面积＝﹣．

六、解答题（本小题满分12分）
24．兴城泳装在国内外享有较高的知名度，网店经销某品牌泳装，每件成本30元，网店按单价不低于成本，且不高于50元销售．在销售过程中发现，泳装每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该泳装每天的销售量y（件）与x（元）之间的函数关系式；
（2）当每件泳装的售价为多少元时，每天销售泳装获得的利润为1050元？
（3）销售单价定为多少元时，才能使每天销售泳装获得的利润W（元）最大？最大利润是多少元？

解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式，
得：，
解得：，
故函数的表达式为：y＝﹣2x+160；
（2）∵利润为W，
由题意得：W＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵获得的利润为1050元，
∴﹣2（x﹣55）2+1250＝1050，
解得：x＝65或45，
∵30≤x≤50，
∴x＝45，
故当每件泳装的售价为45元时，每天销售泳装获得的利润为1050元；
（3）∵W＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，故当x＜55时，W随x的增大而增大，而30≤x≤50，
∴当x＝50时，W有最大值，此时，W＝1200，
故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元．
七、解答题（满分12分）
25．如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°（AB＜AD），△ADE绕点A旋转．

（1）如图1，若连接BD、CE，求证：BD＝CE，BD⊥CE；
（2）如图2，若连接CD、BE，取BE中点F，连接AF，试探究AF与CD的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，当△ADE旋转到如图3的位置时，点D落在BC延长线上，若AF＝1.5，AC＝2，请直接写出线段AD的长．
【解答】证明：（1）如图1，设EC与BD交于点O，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝EC，∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠CBD+∠ACB＝90°，
∴∠CBD+∠ACB+∠ACE＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴BD⊥CE；
（2）CD＝2AF，CD⊥AF，
理由如下：如图2，延长EA至H，使AH＝AE，连接BH，延长FA交CD于G，

∵BF＝EF，AE＝AH，
∴BH＝2AF，BH∥AF，
∴∠EAF＝∠H，
∵∠DAH＝∠BAC＝90°，
∴∠BAH＝∠DAC，
又∵AB＝AC，DA＝AE＝AH，
∴△ABH≌△ACD（SAS），
∴BH＝CD，∠ADC＝∠H，
∴∠EAF＝∠ADC，CD＝2AF，
∵∠EAF+∠DAG＝90°，
∴∠ADC+∠DAG＝90°，
∴∠AGD＝90°，
∴AF⊥CD；
（3）如图3，过点A作AN⊥BC于N，

由（2）可知：CD＝2AF＝3，
∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，AN⊥BC，
∴BC＝4，AN＝BN＝CN＝2，
∴DN＝5，
∴AD＝＝＝．
八、解答题（满分14分）
26．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（3，0），B（﹣1，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A和点C．
（1）求抛物线和直线AC的解析式；
（2）连接CD，若抛物线上存在一点P，使△ACP的面积是△ACD面积的2倍，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段QA绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且A1恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bc+c中，得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
当x＝0时，y＝3，
∴点C的坐标是（0，3），
把A（3，0）和C（0，3）代入y＝kx+b1中，得，解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3；

（2）当点P在直线AC下方时，如图1，连接BC，

∵点D是抛物线与x轴的交点，
∴AD＝BD，
∴S△ABC＝2S△ACD，
∵S△ACP＝2S△ACD，
∴S△ACP＝S△ABC，此时，点P与点B重合，
即：P（﹣1，0），
过B点作PB∥AC交抛物线于点P，则直线BP的解析式为y＝﹣x﹣1①，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3②，
联立①②解得，（是点B的纵横坐标）或，
∴P（4，﹣5），
当点P在AC上方时，如图2，

过点P作PH∥y轴交AC于H，
设点P（m，﹣m2+2m+3），
∴H（m，﹣m+3），
∴PH＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵S△ACD＝AD•yC＝×（3﹣1）×3＝3，
∴（﹣m2+3m）＝2×3＝6，
∴m2﹣3m+12＝0，
此方程无实数根，此种情况不存在，
∴即点P的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）；

（3）存在，理由：
如图3，①当点Q在x轴上方时，设AC与对称轴交点为Q'，

由（1）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝2，
∴Q'坐标为（1，2），
∵Q'D＝AD＝BD＝2，
∴∠Q'AB＝∠Q'BA＝45°，
∴∠AQ'B＝90°，
∴点Q'为所求；
②当点Q在x轴下方时，设点Q（1，m），
过点A1'作A1'E⊥DQ于E，
∴∠A1'EQ＝∠QDA＝90°，
∴∠DAQ+∠AQD＝90°，
由旋转知，AQ＝A1'Q，∠AQA1'＝90°，
∴∠AQD+∠A1'QE＝90°，
∴∠DAQ＝∠A1'QE，
∴△ADQ≌△QEA1'（AAS），
∴AD＝QE＝2，DQ＝A1'E＝﹣m，
∴点A1'的坐标为（﹣m+1，m﹣2），
代入y＝﹣x2+2x+3中，
解得，m＝﹣3或m＝2（舍），
∴Q的坐标为（1，﹣3），
∴点Q的坐标为（1，2）和（1，﹣3）．